MATEMATICAS FINANCIERAS INTERES COMPUESTO

Depósito inicial Interés Saldo final Es el proceso mediante el cual, el interés generado por un capital en una unidad de tiempo , se capitaliza, formando un nuevo capital, mismo que genera un nuevo interés en la siguiente unidad de tiempo, y así sucesivamente durante el plazo pactado. Veamos si podemos generalizarlo con un ejemplo: Hagamos cálculos para saber el monto final de un depósito inicial de $ 1.000.000, a 5 años plazo con un interés compuesto de 10 % (como no se especifica, se subentiende que es 10 % anual). Año Depósito inicial Interés Saldo final 0 (inicio) $1.000.000 ($1.000.000 x 10% = ) $100.000 $1.100.000 1 ($1.100.000 × 10% = ) $110.000 $1.210.000 2 ($1.210.000× 10% = ) $121.000 $1.331.000 3 ($1.331.000 × 10% = ) $133.100 $1.464.100

Elementos de la tasa de interés compuesto: M: Monto, principal o valor futuro. C: Capital, principal o calor presente. i: tasa de interés compuesto por unidad de tiempo. N: tiempo que se impuso el capital (días, meses…etc)

Formula de interés compuesto M= C (1 + i)n Elementos del interés compuesto M= monto C= capital i = tasa n = tiempo

Ejemplo 1 Calcula el monto de un capital inicial de $1 200 colocado durante 3 años a una tasa efectiva anual de 16% Solución M= ? C= 1200 M= C (1 + i)ⁿ i= 16% anual 16 = 0.16 100 n= 3 años (tasa y tiempo debe estar en la misma unidad) Sustituimos cantidades: M= $1200 ( 1 + 0.16)³ M= $1, 873.08

Ejemplo 2 Un banco paga por los depósitos que recibe del publico una tasa nominal mensual del 2% con capitalización trimestral, ¿qué monto se habrá acumulado con un capital inicial de $2500 colocado durante 6 meses? Solución M= ? M= C (1 + i)ⁿ C= 2500 i= 2% mensual 2 x 3 = 6 trimestral (como la capitalización es trimestral se multiplica por 3 y dividimos entre 100) 6 = 0.06 100 n= 6 meses (como la tasa es trimestral tiene q ser expresado es trimestres) n= 2 trimestres SUSTITUIMOS VALORES: M= 2500 (1 + 0.06)² M = $2800

Ejemplo 3 Un capital de 1400 es depositado en un banco donde gana una tasa efectiva anual del 12% ¿qué monto tendrá que pagarse si el deposito se cancela al finalizar el primer semestre? Solución M= ? C= 1400 i= 12% anual = 0.12 % n= 1 semestre (se hace una conversión para tener el valor anual) 1 sem= 1 año = 1 año 2 sem 2 Sustituimos valores: M= 1400 ( 1 + 0.12)½ M= $1 481.62

Tasa de Interés Efectiva y Nominal Es importante hacer una diferenciación entre estos dos tipos de tasas de interés, ya que las dos nos pueden llegar a decir cosas muy diferentes y las entidades financieras pueden utilizar cualquiera de estos dos tipos de tasa para determinar el interés a pagar, y en la mayoría de los casos las personas no saben diferenciar y no saben cuanto interés están pagando realmente por las deudas que contraen con las entidades bancarias.

Tasa de Interés Efectiva Cuando hablamos de tasa de interés efectiva, nos referimos a la tasa que estamos aplicando verdaderamente a una cantidad de dinero en un periodo de tiempo. La tasa efectiva siempre es compuesta y vencida, ya que se aplica cada mes al capital existente al final del periodo. Ejemplo 1 Si invertimos $100 al 2% efectivo mensual durante 2 meses obtendremos: en el primer mes $102 y $104,04 en el segundo mes, ya que estamos aplicando en el segundo mes la tasa de interés del 2% sobre el acumulado al final del segundo mes de $102.

Usamos la formula de la tasa de interés compuesto: Debemos recordar que cuando trabajamos con tasas efectivas no podemos decir que una tasa de interés del 2% mensual equivale al 24% anual, ya que esta tasa genera intereses sobre los intereses generados en periodos anteriores. En caso de invertir los $100 durante un año al 2% efectivo mensual el calculo sería el siguiente: Usamos la formula de la tasa de interés compuesto: M = $100*(1+0,02)^12 M = $126,82 La tasa efectiva del 2% mensual expresada anualmente sería ($126,82-$100)/$100= 26,82% diferente de 24%.

Tasa de Interés Nominal Por otro lado, la tasa de interés nominal es una tasa expresada anualmente que genera intereses varias veces al año. Para saber los intereses generados realmente necesitaremos cambiar esta tasa nominal a una efectiva. Retomando el ejemplo anterior, si invertimos $100 al 24% capitalizable trimestralmente, significa que obtendremos intereses a una tasa del 6% cada tres meses. La tasa de interés la calculamos así: i=24%/4, dónde 4 es el numero de veces que se capitaliza al año (12 meses/3 meses) i=6% (Cada 3 meses se paga el interés del 6%)

Tasa de Interés Nominal a Efectiva Para saber el interés real generado utilizamos de nuevo la formula del interés compuesto: M = $100*(1+0,06)^4 M = $126,24 La tasa efectiva del 6% trimestral expresada anualmente sería ($126,24-$100)/100=26,24% diferente de 24% nominal. Se le llama nominal ya que solo es por nombre y no representa la realidad, sin embargo se utiliza mucho para denotar el tipo de interés que se va a aplicar.

Importancia en el Análisis Financiero En muchas ocasiones se generan problemas al no saber interpretar las tasas de interés y los tipos de interés, más aun teniendo en cuenta las muchas formas en las cuales se pueden encontrar expresadas las tasas de interés nominales y efectivas. En el análisis financiero lo ideal es llevar todo a tasas efectivas para evitar confusiones que pueden generar imprevistos en las inversiones personales o de una organización.