Matemáticas Acceso a CFGS MATRIZ INVERSA Bloque I * Tema 024 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS MATRIZ INVERSA Dada la matriz cuadrada A=(aij) de orden n, se llama matriz inversa de A aquella que cumple, si es que existe : A . A – 1 = A – 1. A = I , siendo I la matriz identidad. PROPIEDADES La inversa de la inversa es la matriz dada. La inversa de un producto (si existe) es el producto de las inversas (si existen). La transpuesta de una matriz inversa es la inversa (si existe) de la matriz transpuesta. Si A.X = B, siendo A y B matrices … X = B / A, pero como no se pueden dividir matrices … 1 X = ----. B , donde 1 / A = A-1 es la matriz inversa. A @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

CALCULO MATRIZ INVERSA MÉTODO DIRECTO Dada la matriz de orden 2: 3 4 -1 x y A = , hay que hallar A = 5 6 z t -1 Como A . A = I , efectuamos el producto de matrices e identificamos elementos, quedándonos un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas que hay que resolver. 3.x + 4.z = 1 3.x + 4.z = 1 3.y + 4.t = 0 3.y + 4.t = 0 5.x + 6.z = 0 5.x + 6.z = 0 5.y + 6.t = 1 5.y + 6.t = 1 Si el sistema es incompatible, entonces no existe la matriz inversa. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS ... MÉTODO DIRECTO Resolviéndolo: 15.x + 20.z = 5 2.z = 5  z = 5 / 2 15.y + 20.t = 0 x = - 45 / 15  x = -3 15.x + 18.z = 0 2.t = - 3  t = - 3 / 2 15.y + 18.t = 3 y = 30 / 15  y = 2 Podemos comprobar que A.A-1=A-1.A = I 3 4 -3 2 -9+10 6-6 1 0 5 6 . 5/2 -3/2 = -15+15 10-9 = 0 1 -3 2 3 4 -9+10 -12+12 1 0 5/2 -3/2 . 5 6 = 15/2-15/2 10-9 = 0 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Calculo matriz inversa MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Se coloca la matriz A y a su lado la matriz I separadas por una raya vertical de puntos. A continuación se procede a efectuar sobre las filas de A una serie de operaciones elementales, las mismas y al mismo tiempo que sobre las filas de la matriz I. Cuando, actuando así, hemos logrado transformar la matriz A en la I, la matriz de la derecha, que es la I transformada, será la inversa de A. Es decir: (A | I) las mismas operaciones en ambas  ( I | A – 1 ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplo: Dada la matriz de orden 2: 3 4 -1 x y A = , hay que hallar A = -1 5 6 z t Como A . A = I , aplicamos el método de Gauss.Jordan: 3 4 1 0 que es ( A | I ) 5 6 0 1 Divido la primera fila entre 3 . Queda: 1 4/3 1/3 0 5 6 0 1 A la segunda fila la resto 5 veces la primera. Queda: 0 -2/3 -5/3 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS A la primera fila la sumo dos veces la segunda. Queda: 1 0 - 3 2 0 -2/3 -5/3 1 Finalmente divido la segunda fila por -2/3. Queda: 1 0 - 3 2 0 1 5/2 -3/2 Queda: -1 - 3 2 A 5/2 - 3/2 Que es la matriz inversa. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Otro Ejemplo: Dada la matriz de orden 3: 3 4 0 -1 A = -2 1 -1 , hay que hallar A 5 0 6 3 4 0 1 0 0 -2 1 -1 0 1 0 que es ( A | I ) 5 0 6 0 0 1 Divido la primera fila entre 3. Queda: 1 4/3 0 1/3 0 0 -2 1 -1 0 1 0 5 0 6 0 0 1 A la F2 la sumo 2xF1 y a la F3 le resto 5xF1. Queda: 1 4/3 0 1/3 0 0 0 11/3 -1 2/3 1 0 0 -20/3 6 -5/3 0 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS A la F3 la sumo 2xF2. Queda: 1 4/3 0 1/3 0 0 0 11/3 -1 2/3 1 0 0 0 4 -1/3 2 1 A la F3 la divido entre 4 y a la F2 la sumo la nueva F3. Queda: 1 4/3 0 1/3 0 0 0 11/3 0 7/12 3/2 1/4 0 0 1 -1/12 1/2 1/4 A F1 le resto 4/11 de F2. Queda: 1 0 0 4/33 -6/11 -1/11 0 11/3 0 7/12 3/2 1/4 0 0 1 -1/12 1/2 1/4 Y por último divido F2 entre 11/3. Queda: 0 1 0 7/44 9/22 3/44 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS