Como se utilizan los conceptos de números en básica y media. Dagne Aguilera Angélica Fernández

Introducción: Los niños conforme se van desarrollando y van adquiriendo una serie de capacidades tales como hablar, leer, calcular, razonar de manera abstracta comprende como se producen estos logros e intentan discriminar hasta que punto la evolución que observamos es fruto de un cambio evolutivo que sufre el niño. Ya que lo que se espera de la educación matemática es que los niños y niñas puedan interpretar el mundo con ayuda de herramientas matemáticas, fortalezcan su formación ética, su crecimiento y autoafirmación personal y la forma como se relacionan con otras personas y con el mundo y desarrollen una actitud positiva hacia las matemáticas.

Malla curricular: La malla curricular nos señala las materias que tienen que ser vista durante el año que están cursando, de esta manera los profesores saben las materias que tienen que enseñar dentro del año que estén enseñando. Y de cierta forma obliga a que durante los 12 años de escolaridad entregar todos los contenidos necesarios para salir a la educación superior.

División de Malla curricular: De Primero a Cuarto básico la malla curricular es la misma si a simple vista la observamos como materia a estudiar, pero esta cambia en cuanto a la dificultad de ejercicio Este programa está organizado en dos semestres, en cada uno de los cuales se abordan los cuatro ejes de este subsector

Cuadro comparativo por año: 1° Básico 2° Básico 3° Básico 4° Básico 1 Números 2 Operaciones aritméticas 3 Forma y espacio 4 Resolución de problemas

El eje resolución de problemas no se aborda aisladamente, sino de modo integrado en los otros tres ejes. Es decir, para que los estudiantes entiendan la resolución de problemas es necesario conocer los números, operaciones aritméticas y las formas y espacios, ya que esto conlleva: 1.      el uso de los números, 2.      la comprensión del sistema de numeración decimal y 3.      desarrollar el sentido de la cantidad.

Cuando hablamos de uso de número nos estamos refiriendo a que estos sepan identificar, ordenar y cuantificar cantidades. Para comprensión del sistema de numeración es necesario que estos entiendan: ·        1.-la formación de los números y ·        2.-la comprensión y descomposición de números.

Formación de un número: 1° Básico: Como se forman los números del 0 al 100.  

2° Básico: La formación de números del 0 al 1.000

3° Básico: la formación de números del 0 a 1. 000. 000 3° Básico: la formación de números del 0 a 1.000.000. combinando los múltiplos de 1.000 con los números del 0 al 999. Comprensión y descomposición de los números se ve a partir del segundo semestre de 3º Básico, para continuar con ello en 4º Básico.

Por ejemplo, entender que estamos hablando del número 359 y cuando nos referimos a la descomposición saber que este numero lo puedo escribir como: 359= 300 +50 +5 De esta misma manera entender el valor de posición del número, ya que si este cambia varia la cantidad, es decir: 359 395 935

  Para lograr todos estos objetivos en cada semestre, se definen aprendizajes esperados, con indicadores para observarlos, y se proponen ejemplos de actividades a realizar para el logro de tales aprendizajes.

Cuadro comparativo por año: 1° Básico 2° Básico 3° Básico 4° Básico 1 Números 2 Operaciones aritméticas 3 Forma y espacio 4 Resolución de problemas

3 Multiplicación y múltiplos 5° Básico 6° Básico 7° Básico 8° Básico 1 Tiempo y programación 2 Grandes números 3 Multiplicación y múltiplos 4 División y divisores 5 Geometría 6 Fracciones 7 Espacio   1 Números naturales en la vida cotidiana 2Multiplicación y división de fracciones 3 Fracciones y decimales en la vida cotidiana 4Números decimales 1 Números decimales en la vida cotidiana 2 Geometría: prismas, pirámides y triángulos 3 Sistemas de numeración en la historia y actuales 4 Relaciones de proporcionalidad 5 Potencias en la geometría y en los números 1 Polígonos, circunferencias, áreas y perímetros 2 Relaciones proporcionales 3 Números y ecuaciones 4 Potencias 5 Volumen

1º Medio 2º Medio 3º Medio 4º Medio 1 Números. 2 Lenguaje algebraico. 3Transformaciones isométricas. 4 Variaciones proporcionales. 5 Variaciones porcentuales. 6 Factorizaciones y productos. 7 Congruencia de figuras planas.   1 Nociones de probabilidades 2 Semejanza de figuras planas 3 Las fracciones en lenguaje algebraico 4 La circunferencia y sus ángulos 5 Ecuación de la recta y otras funciones, modelos de situaciones diarias 6 Sistemas de ecuaciones lineales. 1 Las funciones cuadrática y raíz cuadrada 2 Inecuaciones lineales 3 Más sobre triángulos rectángulos 4 Otro paso en el estudio de las probabilidades. 1 Estadística y probabilidad 2 Funciones potencia, logarítmica y exponencial 3 Geometría

La evolución de la geometría 5ª Básico 6º básico 7º básico 8º básico Cuerpos geométricos. Figuras geométricas. Identificar lado, vértices y ángulos. Perímetro y área.   Creación de figuras geométricas. Estudio y trazado de cuadriláteros. Perímetro y áreas Estudio de triángulos. Construcción de altura y bisectrices. Construcción con uso de instrumentos. Perímetro y área de triángulos. Polígonos Polígonos convexos y regulares Circunferencia y circulo Volúmenes

Transformaciones isométricas: Traslaciones Reflexiones y simetría 1ª Medio 2º medio 3º medio 4º medio Transformaciones isométricas: Traslaciones Reflexiones y simetría Rotaciones, simetría rotacional y central Congruencia de triángulos Construcción de triángulos congruentes y sus criterios   Semejanza de figuras planas Circunferencia y ángulos Triángulos rectángulos. Rectas y ángulos. Teorema de Euclides Teorema de Pitágoras y sus aplicaciones Rectas y planos en el espacio. Rotación y traslación. Rectas en el espacio.  

La evolución de los fracciones: 5ª Básico 6º básico 7º básico 8º básico Partición, reparto y medidas. Establecer equivalencias. Ubicar, y ordenar una fracción entre 2 naturales. Adición y sustracción de fracciones   Uso de sistema métrico y decimal. Transformación de fracciones a decimal y viceversa. Multiplicación y división de fracciones. Números decimales. Multiplicación y división de números decimales. Análisis entre las relaciones entre factor y producto Representación de potencias positivas y negativas Analizar crecimiento y decrecimiento exponencial. Números decimales y fracciones.

Relación entre porcentaje numero decimales y fracciones. 1ª Medio 2º medio 3º medio 4º medio Relación entre porcentaje numero decimales y fracciones.   Expresiones algebraicas, binomio, producto notables, suma y simplificación. Potencia con exponentes enteros. Multiplicación y División de potencias. No  

La evolución de los números 5ª Básico 6º básico 7º básico 8º básico Extensión de los números naturales. Calculo de adición y sustracción con numero de hasta 5 cifras.   Números naturales en la vida cotidiana. Divisibilidad. Comparar la escritura en los números en el sistema decimal con la de otro sistemas antiguos. Interpretación del uso de signos, en una recta numérica. Sumar, restar, multiplicar y dividir números enteros. Ecuaciones de primer grado.

1ª Medio 2º medio 3º medio 4º medio Potencia de base un entero, un decimal, o una fracción positiva. Multiplicación de potencias. Números racionales e irracionales.   Sistema de ecuaciones lineales, resolución con 2 incógnitas. Planteo y resolución de problemas que involucren sistemas de ecuaciones. Sistema de inecuaciones lineales con una incógnita. Planteo y resolución de sistemas. Relación entre las ecuaciones y las inecuaciones. No

La evolución a la probabilidad: 2ª Medio 3ª Medio 4ª Medio Juegos de azar. Como proporción entre el numero de resultado favorable y el numero total de resultados posibles.   Variable aleatoria. Relación entre la probabilidad y la frecuencia relativa. Grafico de datos estadísticos. Uso de planilla de calculo para análisis. Muestras al azar considerando situaciones en la vida cotidiana.

La evolución de las Funciones: 2ª Medio 3ª Medio 4ª Medio Función afín y ecuación lineal. Interpretación de la pendiente, condición de paralelismo y perpendicularidad   Raíces cuadradas y cúbicas. Función cuadrática y raíz cuadrada. Grafico de funciones. Función potencia. Función logarítmica y exponencial. Análisis de tasas de crecimientos y su grafica

¿Qué son los Mapas de Progreso? Aparte del programa de cada año encontramos Los Mapas que describen el aprendizaje en 7 niveles, que abarcan desde primero básico a cuarto medio. En estos 7 niveles se describe una secuencia que los estudiantes recorren a diferentes ritmos y, por lo mismo, los niveles no corresponden exactamente a lo que todos logran en un determinado grado escolar. Sin embargo, cada nivel está asociado a una expectativa para dos años de escolaridad. Por ejemplo, el nivel 1 corresponde aproximadamente al logro que se espera para la mayoría de los niños y niñas al término del 2° Básico; el Nivel 2 corresponde al término de 4° Básico y así sucesivamente. El último nivel (7), describe el aprendizaje de un alumno o alumna que al egresar es “sobresaliente”, es decir va más allá de la expectativa que se espera para la mayoría que es el nivel 6.

Característica por nivel Utiliza los números naturales hasta 1.000 para contar, ordenar, comparar, medir, estimar y calcular cantidades de objetos y magnitudes. . Realiza adiciones y sustracciones comprendiendo el significado de estas operaciones y la relación entre ellas. Descomponer en centenas, decenas y unidades. Realiza estimaciones y cálculos mentales de adiciones y sustracciones que requieren de estrategias simples  

Nivel 2: Utiliza los números naturales hasta 1.000.000 para contar, ordenar, comparar, medir, estimar y calcular. Comprende que las fracciones simples y los números decimales permiten cuantificar las partes de un objeto. Multiplica y divide (por un solo dígito) con números naturales. Resuelve problemas rutinarios y/o formula conjeturas en contextos familiares en que los datos no están necesariamente explícitos y requieren reorganizar la información del enunciado.

Comprende y realiza las cuatro operaciones con números decimales y con fracciones. Resuelve problemas no rutinarios y/o formula conjeturas en diversos contextos, que requieren reorganizar la información disponible. Argumenta sobre la validez de un procedimiento, estrategia o conjetura planteada. Nivel 3 Reconoce que los números naturales se pueden expresar como producto de factores y los expresa en forma de potencias. Utiliza números decimales positivos y fracciones positivas para ordenar, comparar, estimar, medir y calcular. Utiliza números enteros para cuantificar magnitudes, ordenar y comparar. Comprende el significado de porcentaje y establece equivalencias entre estos y fracciones o números decimales, para calcular porcentajes simples.

Nivel 4: Comprende que todo número racional es un cuociente entre dos números enteros y los utiliza al estimar, establecer razones, proporciones y calcular porcentajes. Comprende la conexión entre las cuatro operaciones en los números racionales positivos y negativos. Utiliza la notación científica y las potencias de base racional y exponente entero, y sus propiedades, para simplificar cálculos. Resuelve problemas no rutinarios y/o formula conjeturas en diversos contextos en los que se deben establecer relaciones entre conceptos. Justifica la estrategia utilizada, las conjeturas formuladas y los resultados obtenidos, utilizando conceptos, procedimientos y relaciones matemáticas.

Nivel 5 Reconoce a los números irracionales como números decimales no periódicos que no pueden ser escritos como fracción entre dos números enteros y a los números reales, como la unión de los números racionales e irracionales. Realiza las cuatro operaciones con números reales en forma algebraica, utilizando propiedades, e identifica el conjunto numérico al que pertenecen los resultados. Utiliza las potencias de base racional y exponente racional, y sus propiedades, para simplificar cálculos, y establece la relación entre potencias y raíces. Resuelve problemas utilizando estrategias que implican descomponer un problema o situaciones propuestas en partes o sub-problemas.

Nivel 6 Utiliza potencias de base real y exponente racional para resolver problemas. Reconoce a los números complejos como una extensión del campo numérico y los utiliza para resolver problemas que no admiten solución en los reales. Usa las cuatro operaciones con números complejos. Resuelve problemas, utilizando un amplio repertorio de estrategias, combinando o modificando estrategias ya utilizadas. Realiza conjeturas que suponen generalizaciones o predicciones y argumenta la validez de los procedimientos o conjeturas.  

Nivel 7 Comprende los diferentes conjuntos numéricos, las relaciones entre ellos y los problemas que les dieron origen6. Comprende que en cada conjunto numérico se puede operar sobre la base de reglas o propiedades que pueden ser usadas para justificar o demostrar relaciones. Muestra autonomía y flexibilidad para resolver un amplio repertorio de problemas, tanto rutinarios como no rutinarios, utilizando diversas estrategias y para formular conjeturas acerca de objetos matemáticos. Utiliza lenguaje matemático para presentar argumentos en la demostración de situaciones matemáticas.

Resolver ejercicios de distintos niveles de enseñanza. Actividades: Resolver ejercicios de distintos niveles de enseñanza. Geometría Números Fracciones Funciones

Ejercicios de Geometría Ejercicio de 5° Básico: Observan las representaciones de regiones poligonales en las que se indican las medidas de sus lados. Calculan su perímetro. Comentan sus procedimientos.

Ejercicio de 8° Básico: ¿Cuánto mide el ε ? Fundamentan. ¿Cuáles otras medidas de ángulos puedes encontrar con la información dada?

Ejercicio de 1° Medio: 1. Considerar los triángulos del siguiente dibujo: ¿Qué transformación o sucesión de transformaciones permite pasar de un triángulo al otro?

Ejercicio de 4° Medio: I. Graficar en el plano la recta L: y = x. • Determinar qué tienen de común los vectores (o los puntos) que pertenecen a ella; II. En el mismo gráfico anterior, trazar la recta L’ : y = x + 3. • Reconocer el paralelismo gráfico entre ambas rectas y justificarlo desde la geometría analítica

Ejercicio de Números: 5° Básico: “Paloma está llenando bolsas con dulces, poniendo cada vez un montón de 4 dulces”. Responden: ¿Cuántos dulces hay en la bolsa después de echar 5 montones? ¿Después de echar 6 montones?, ¿después de echar 10 montones? ¿En algún momento puede haber en la bolsa 18 dulces?, ¿por qué?

Ejercicio de 8° Básico: Resuelven las siguientes situaciones y ponen en común sus respuestas. a) Al final de 10 juegos cada uno de los jugadores ha obtenido los siguientes puntajes: Fernanda ha obtenido en cada una de las etapas del juego 30 puntos. Sebastián en cambio ha obtenido -15 puntos en cada etapa. Gervasio ha obtenido siempre lo mismo y al final contabiliza 200. Lucía, en cambio, tiene un total de -90 puntos y en cada etapa obtuvo igual cantidad de puntos. • ¿Cuál ha sido el puntaje total de Fernanda y de Sebastián? • ¿Cuál es el orden de los jugadores comenzando por el ganador y terminando con el perdedor? • ¿Qué puntaje obtuvieron en cada etapa Gervasio y Lucía?

Ejercicio de 1° Medio: Se sabe que la población de cierto tipo de insectos se cuadruplica cada año. Si la población en este año es de 64 insectos: a) calcular la población para el quinto año. b) utilizando la notación de potencias, escribir una expresión que indique el número teórico de insectos al cabo de 10 años (se supone que todos los insectos permanecen vivos). c) determinar el número de insectos hace dos años.

Ejercicio de 3° Medio: Un comerciante compra una partida de 150 blusas por un total de $525 000. Vende al detalle 80 de estas blusas a $5.800 cada una. ¿A qué precio le conviene vender las blusas restantes en la temporada de liquidación si quiere obtener, como mínimo, un 35% de ganancia?

Ejercicio de Fracciones: 5° Básico: Arman rompecabezas con figuras geométricas equivalentes, a partir de una pieza y de su relación con el rompecabezas completo. Reproducen la pieza en la cantidad necesaria.

Ejercicio de 8° Básico: Dos personas deben reunir $400.000 para un negocio y, como son muy amigas, quieren que el aporte de cada una sea proporcional a sus ingresos (las ganancias las distribuirán también proporcionalmente). Una de ellas, llamada Paula, gana mensualmente $300.000. La otra, llamada Antonio, gana $200.000 por mes. Luego de una larga conversación y de hacer algunos cálculos llegan a la conclusión de que para que sus aportes sean proporcionales a sus sueldos Paula debe aportar $240.000 y Antonio debe aportar $160.000. • Discuten la conclusión: ¿Es adecuado el aporte de cada uno? ¿Es un aporte proporcional a lo que cada uno gana?, ¿por qué? • ¿Qué procedimientos se pueden utilizar para calcular estos aportes proporcionales? Discuten al menos dos procedimientos diferentes.

Ejercicio de 2° Medio: En forma paralela, efectuar sumas o restas de fracciones y la correspondiente suma o resta de expresiones fraccionarias que las representen. Comparar los procedimientos y los resultados.

Funciones: Ejercicio de 2° Medio: Graficar en un mismo sistema de coordenadas, calcular pendiente. y = –3x + 2 y = x – 5 3x + y = 0 x – 3y = 4

Ejercicio de 4° Medio: I. Graficar las funciones y = x³; y = x4; comparar ambos gráficos. II. Graficar funciones de la forma y = ax²; y = ax4 ; considerar valores de a positivos y negativos. III. Graficar funciones de la forma y = ax³; y = ax5 ; considerar valores de a positivos y ² negativos.

Conclusión: La evolución de las materias. Se plantean metas de estudio. Se favorece la resolución de problemas.

Fin…