CLASE 4

FORMAS DE EXPRESAR FUNCIONES BOOLEANAS Forma POS (Suma de productos) Suma (OR) de términos productos (AND), formadas por varias variables complementadas o no. f(a,b,c) = a’bc + ab’c’ + abc + c Términos producto Formas de representación Forma POS (Producto de sumas) Productos (AND) de términos sumas (OR) formados por varias variables complementadas o no. f(a,b,c) = (a + b + c) (a + b’ + c) (c’ + a) Términos suma

FORMAS CANONICAS En una expresión en forma canónica, cada variable aparece en cada termino. Mintermino: Termino de producto en el cual cada variable aparece una sola vez en su forma verdadera o complementada pero no ambas. Maxtermino: Termino de suma en el cual cada variable aparece una sola vez en su forma verdadera o complementada, pero no en ambas.

FORMAS CANONICAS F(A,B,C) = (A+B+C)(A+B’+C)(A’+B+C) = M0.M2.M5 f(a,b,c) = A’B’C+A’BC+AB´C+ABC’+ABC = m1 + m3 + m5 + m6 + m7 Por teorema de Demorgan es posible observar que: 𝑚 𝑖 ′= 𝑀 𝑖 y 𝑀 𝑖 ′= 𝑚 𝑖 m1’ = (A’B’C)’ = (A + B + C’) = M1

CONVERSION ENTRE FORMAS CANONICAS SOP estándar POS estándar f(x,y,z) = x’y’z’ + x’yz + x’yz’ + xy’z f(x,y,z)=(x+y+z’)(x’+y+z) (x’+y’+z)(x’+y’+z’) Pasos: Evaluar en que valores binarios se representa la SOP estándar f(x,y,z) = x’y’z’ + x’yz + x’yz’ + xy’z 000 011 101 010 3 5 2 Determinar los números binarios no incluidos en el paso 1. Al tenerse 3 variables (x, y, z) serán 8 ( 2 3 ) posibles combinaciones, si se observa la anterior expresión los números faltantes son: 1,4,6,7  001, 100,110,111. Escribir los términos suma equivalentes para los valores encontrados en el paso 2 y expresarlos en POS. f(x,y,z) = (x + y + z’)(x’ + y + z)(x’ + y’ + z)(x’ + y’ + z’)

EJERCICIOS DE REPASO Convierta a SOP estándar la siguiente función: f(x,y,z,w) = xy + zw’ + x’w’ Convierta a POS estándar: f(x,y,z,w) = (x + y’)(z + w’)(x + w) Exprese la función en forma SOP y POS estándar: f(x,y,z,w) = (x + y’ + w)(y’ + z + w’)(x + y’ + z’ + w)

SIMPLIFICACION DE CIRCUITOS LOGICOS Algebra booleana: Buen conocimiento de las reglas. Habilidad para aplicar las reglas. Mapas de Karnagh: Método de simplificación grafico. Basado en teoremas booleanos, pero de mayor facilidad al utilizarlo. Método de simplificación tabular. Directo, sistemático y no importa el numero de variables. No lo vamos a tratar en el curso.

SIMPLIFICACION POR ALGEBRA BOOLEANA Para la siguiente tabla de verdad encuentre las dos formas canónicas, la SOP, el POS y la forma no estándar mínima. Además represéntela en términos de su implementación en compuertas. S = x’y’c + x’yc’ + xy’c’ + xyc 𝑺= 𝒎(𝟏,𝟐,𝟒,𝟕) POS canónica 𝑺 S = (x+y+c)(x+y’+c’)(x’+y+c’)(x’+y’+c) 𝑺= 𝑴(𝟎,𝟑,𝟓,𝟔) SOP canónica Co = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc 𝑪 𝒐 = 𝒎(𝟑,𝟓,𝟔,𝟕) POS canónica 𝑪 𝒐 Co = (x’+y+c)(x+y’+c)(x+y+c’)(x+y+c) 𝑪 𝒐 = 𝑴(𝟎,𝟏,𝟐,𝟒) SOP canónica

SIMPLIFICACION POR ALGEBRA BOOLEANA Para llevar la forma canónica a una forma no estándar simplificada se usa algebra booleana. S = x’y’c + x’yc’ + xy’c’ + xyc = c(x’y’+xy)+c’(x’y+xy’) = (x⊕y)’c + (x⊕y)c’ = (x ⊕ y) ⊕ c Co = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc + xyc = x’yc + xy’c + xy(c’ + c) + xyc + xyc = yc(x’+x) + xc(y’+y) + xy = xy + yc +xc Para su implementación en puertas lógicas se aprovecha uno de los XOR de la suma. = xy(c+c’)+c(x’y+xy’) = xy + c(x ⊕ y)

MAPAS DE KARNAUGH Es una representación gráfica de una tabla de verdad, ya que muestra todos los posibles valores de las variables de entrada y los valores de salida de las respectivas combinación de entradas. Un mapa de Karnaugh puede mapear 2 𝑛 posibles minterminos de una función booleana de n variables. Para una función booleana de n variables, un mapa de Karnaugh será: Si n es par: Un cuadrado de 2 𝑛/2 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 ∗ 2 𝑛/2 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 . Si n es impar: Un rectángulo de 2 (𝑛−1)/2 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 ∗ 2 (𝑛+1)/2 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 . Pagina muy buena: http://medusa.unimet.edu.ve/sistemas/bpis03/mdkminimizacion.htm

MAPAS DE KARNAUGH Los Mapas de Karnaugh se utilizan para hacer simplificación de funciones lógicas de 2, 3, 4, 5 y 6 variables como máximo. Cada celda representa un mintermino. 1 4 5 3 2 7 6 A BC 00 01 10 11

MAPAS DE KARNAUGH Los mapas de Karnaugh utilizan código gray en la numeración de las celdas, esto hace que solo cambie una sola variable entre celdas adyacentes. 1 3 2 7 5 6 4 C AB 00 01 10 11 AB’C’ AB’C A’B’C’ ABC’ 1 4 5 3 2 7 6 A BC 00 01 10 11

SOP EN MAPAS DE KARNAUGH Se dibuja el mapa y se coloca un 1 en las celdas que corresponden a los mintérminos de la función. Si se tiene una función SOP no estándar, ésta debe completarse y una vez hecho esto se ubican todos los mintérminos en el mapa de Karnaugh. 𝑓 𝐴,𝐵,𝐶 = 𝑚 1,3,4,5 = 𝐴 ′ 𝐵 ′ 𝐶+ 𝐴 ′ 𝐵𝐶+𝐴 𝐵 ′ 𝐶′+𝐴 𝐵 ′ 𝐶 1 4 5 3 2 7 6 A BC 00 01 10 11 1 4 5 3 2 7 6 A BC 00 01 10 11

SOP EN MAPAS DE KARNAUGH 𝑓 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷 = 𝑚 0,3,4,5,9,12,15 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 AB CD 00 01 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 AB CD 00 01

SOP EN MAPAS DE KARNAUGH ¿Qué sucede cuando una función booleana no esta dada en forma canónica? Supóngase que de da la siguiente función que no esta escrita en forma estándar: Paso 1. Completar a forma canónica: Paso 2. Encontrar los minterminos (Aunque la posición de los 1 se puede deducir a partir la forma canónica). Paso 3. Ubicar en el mapa 𝑓 𝐴,𝐵,𝐶 =𝐵𝐶+ 𝐴 𝐶 𝑓 𝐴,𝐵,𝐶 =𝐵𝐶 𝐴+ 𝐴 + 𝐴 𝐶 𝐵+ 𝐵 =𝐴𝐵𝐶+ 𝐴 𝐵𝐶+ 𝐴 𝐶 𝐵+ 𝐴 𝐶 𝐵 𝑓 𝐴,𝐵,𝐶 = 𝑚(0,2,3,7) 1 4 5 3 2 7 6 A BC 00 01 10 11 1 1

POS EN MAPAS DE KARNAUGH El procedimiento consiste en dibujar el mapa y ubicar 0s en las celdas correspondientes a los maxtérminos de la función. Es necesario completar los términos cuando no estén en forma estándar y luego identificar los maxtérminos. 𝑓 𝐴,𝐵,𝐶 =(𝐴+𝐵+𝐶)(𝐴+ 𝐵 + 𝐶 )( 𝐴 + 𝐵 +𝐶)( 𝐴 +𝐵+ 𝐶 ) 𝑓 𝐴,𝐵,𝐶 = 𝑀(0,2,5,6) 1 4 5 3 2 7 6 A BC 00 01 10 11

POS EN MAPAS DE KARNAUGH 𝑓 𝐴,𝐵,𝐶 = 𝑀(1,7,8,10,11,13,14) 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 AB CD 00 01 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 AB CD 00 01

SIMPLIFICACION DE SOP Y POS Reglas de simplificación: Agrupar celdas adyacentes. Se agrupan 1s (minterm) o 0s (maxterm) de acuerdo al tipo de funciones lógicas. Los grupos son potencias de 2, es decir se busca unir 2, 4, 8 (1s o 0s) que estén en celdas consecutivas. Para encontrar la ecuación lógica resultante de los mapas de Karnaugh se observan las variables que no cambian dentro del grupo.

SIMPLIFICACION DE MAPAS DE KARNAUGH Reglas de simplificación: Agrupar celdas adyacentes. Se agrupan 1s (minterm) o 0s (maxterm) de acuerdo al tipo de funciones lógicas. Los grupos son potencias de 2, es decir se busca unir 2, 4, 8 (1s o 0s) que estén en celdas consecutivas. Para encontrar la ecuación lógica resultante de los mapas de Karnaugh se observan las variables que no cambian dentro del grupo.

MINIMIZACION USANDO MAPAS DE KARNAUGH Método general Convierta la función de la ecuación a la forma POS. Coloque los 1s en la celda del mapa apropiada para cada termino. Cubra todos los 1s al dibujar la menor cantidad de círculos grandes, con cada 1 incluido en al menos uno; escriba el correspondiente termino para cada circulo. Hacer un OR de los términos resultantes para crear la función minimizada.

MAPAS DE KARNAUGH DE DOS VARIABLES 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑚(0,2) Algunos tips: Llene cada celda con el correspondiente valor de F. Dibuje los círculos alrededor de los 1s adyacentes. (Grupos de 1, 2 o 4). Los círculos indican oportunidad de optimización (se puede remover una variable). Obtener la función OR de todos los términos contenidos en los círculos. x y 1 2 3 y’ 1 𝒇 𝒙,𝒚 =𝒚′ 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑚(0,2,3) x y 1 2 3 y’ x 𝒇 𝒙,𝒚 = 𝒚 ′ +𝒙

MAPAS DE KARNAUGH DE TRES VARIABLES Recuerde: un K-map gráficamente coloca los minterminos uno próximo a otro solo cuando ellos difieren en una sola variable

MAPAS DE KARNAUGH DE TRES VARIABLES Algunos tips: Los círculos pueden cruzar los lados derecho o izquierdo, esto por que los ejes son adyacentes. Los círculos deben tener 1, 2, 4 o 8 celdas. 3, 5 o 7 no son permitidas. Cuando se llenan todas la celdas la función es igual a 1.

MAPAS DE KARNAUGH DE TRES VARIABLES

MAPAS DE KARNAUGH DE TRES VARIABLES

MAPAS DE KARNAUGH DE 4 VARIABLES

MAPAS DE KARNAUGH DE 4 VARIABLES Algunos tips: Los K-maps de 4 variables siguen el mismo principio: Adyacencia derecha/izquierda. Adyacencia arriba/abajo. Adyacencia implica diferencia en una sola variable: Dos 1s adyacentes significa que una variable puede ser eliminada. Cuatro 1s adyacentes significa que 2 variables pueden ser eliminadas. Ocho 1s adyacentes significa que 3 variables pueden ser eliminadas.

MAPAS DE KARNAUGH DE 4 VARIABLES

SIMPLIFICACION DE SOP 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 AB CD 00 01

SIMPLIFICACION DE SOP 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 AB CD 00 01

SIMPLIFICACION DE POS 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 AB CD 00 01

SIMPLIFICACION DE POS 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 AB CD 00 01

ESTADOS DON’T CARE EN MAPAS K Algunas veces se producen combinaciones de las variables de entrada que no están definidas, es decir que no tienen un valor asignado para una combinación de entradas en especifico. Estas combinaciones se marcan con una X y pueden tomar el valor tanto de “1” ó “0” según la utilidad que presten en la simplificación de la función lógica.

ESTADOS DON’T CARE EN MAPAS K 1 4 X 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 AB CD 00 01 1 4 X 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 AB CD 00 01

CONVERSION SOP  POS BD AD

CONVERSION SOP  POS D A+B

CONVERSION SOP  POS 1 SOP POS AB CD 00 01 AB CD 00 01 4 5 3 2 7 6 12 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 AB CD 00 01 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 AB CD 00 01

PROCESO DE SIMPLIFICACION COMPLETO Construya un K-map y coloque los 1s y 0s en las celdas de acuerdo a la tabla de verdad. Agrupe los 1s aislados los cuales no son adyacentes a otros 1s (single loops). Agrupe cualquier par el cual contenga un 1 adyacente con solo otro 1 (loop doble). Agrupe cualquier octeto aun si este contiene 1 o mas 1s que ya han sido agrupados. Agrupe cualquier cuarteto que contenga uno o mas 1s que aun no han sido agrupados, asegúrese de usar el mínimo numero de grupos. Agrupe cualquier par necesario para incluir cualquier 1s que no han sido aun agrupados, asegúrese de usar el mínimo numero de grupos. Forme la expresión suma (OR) con todos los términos generados por cada grupo.

PROCESO DE SIMPLIFICACION COMPLETO

MAPAS K DE 5 VARIABLES Y 6 VARIABLES Los mapas K de 5 y 6 variables existen pero son difíciles de minimizar.

MAPAS K DE 5 VARIABLES

MAPAS K DE 5 VARIABLES Variables: A, B, C, D y E donde A = MSB y E = LSB. Se hacen 2 mapas de 4 variables, donde un mapa es para una variable y el otro es para la misma variable pero complementada. A = 0 A = 1 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 BC DE 00 01 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 BC DE 00 01

SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS K DE 5 VARIABLES Paso 1. Identificar grupos comunes a ambos Mapas f(A,B,C,D,E) = + CE + CD + BDE BDE + … A = 0 A = 1 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 BC DE 00 01 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 BC DE 00 01

SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS K DE 5 VARIABLES Paso 2. Identificar grupos en cada mapa que agrupen a los 1s faltantes f(A,B,C,D,E) = BDE + CE CD + ABD + ABC ABCDE A = 0 A = 1 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 BC DE 00 01 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 BC DE 00 01

MAPAS K DE 6 VARIABLES

SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS K DE 6 VARIABLES f(A,B,C,D,E,F) A=0 A=1 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 CD EF 00 01 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 CD EF 00 01 B=0 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 CD EF 00 01 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 CD EF 00 01 B=1

SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS K DE 6 VARIABLES 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 CD EF 00 01 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 CD EF 00 01 B=0 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 CD EF 00 01 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 CD EF 00 01 B=1

SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS K DE 6 VARIABLES 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 CD EF 00 01 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 CD EF 00 01 B=0 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 CD EF 00 01 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 CD EF 00 01 B=1

SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS K DE 6 VARIABLES 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 CD EF 00 01 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 CD EF 00 01 B=0 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 CD EF 00 01 1 4 5 3 2 7 6 12 13 8 9 15 14 11 10 CD EF 00 01 B=1