Problemas de grafos y Tratabilidad Computacional1  Reconocimiento (recognition)  Isomorfismo (isomorphism)  Conjunto Independiente Máximo (maximum independent set, maximum stable set)  Partición en cliques (clique partition)  Cubrimiento de grafo por cliques (minimum clique cover) Problemas de grafos

Problemas de grafos y Tratabilidad Computacional2  Coloreo de vértices (vertex coloring)  K-coloreo (k-coloring)  Coloreo de aristas (edge coloring)  Circuito Hamiltoniano (Hamiltonian cycle)  Conjunto Dominante (dominating set)  Minimum Clique transversal  Maximum Clique Independent set Problemas de grafos

Problemas de grafos y Tratabilidad Computacional3  Grafo intersección  Grafo de intervalos  Grafo de intervalos propios  Grafo de intervalos unitarios Reconocimiento de UCA graphs

Problemas de grafos y Tratabilidad Computacional4 Reconocimiento de UCA graphs  Grafo arco-circular (CA)

Problemas de grafos y Tratabilidad Computacional5 Reconocimiento de UCA graphs  Grafo arco-circular propio (PCA)

Problemas de grafos y Tratabilidad Computacional6 Reconocimiento de UCA graphs  Grafo arco-circular unitario (UCA)  Caracterización de Tucker [1974] Teorema : Sea G un grafo arco-circular propio.Entonces G es un grafo arco- circular unitario si y sólo si G no contiene a CI(j,k) como subgrafo inducido, donde j,k son primos relativos y j > 2k.

Problemas de grafos y Tratabilidad Computacional7 Reconocimiento de UCA graphs  Reconocimiento de Tucker [1974] Ajustes constantes de los tamaños de los arcos, trabajando con enteros muy grandes y por lo tanto no se puede considerar un algoritmo polinomial.

Problemas de grafos y Tratabilidad Computacional8 Reconocimiento de UCA graphs  Un modelo es normal si no hay dos arcos que cubren todo el círculo.  Teorema (Golumbic[1980], Tucker[1974]) : Sea G un grafo PCA. Entonces G admite un modelo normal.

Problemas de grafos y Tratabilidad Computacional9 Reconocimiento de UCA graphs  Teorema (Tucker[1974]) : Sea G un grafo UCA y (C,A) un modelo normal de G. Entonces G admite un modelo UCA tal que sus extremos tienen el mismo orden circular de (C,A).

Problemas de grafos y Tratabilidad Computacional10 Reconocimiento de UCA graphs  Algoritmo de Reconocimiento de Durán, Gravano, McConnell, Spinrad y Tucker [2004]: O(n 2 ). Calcula dos parametros utilizando técnica golosa. (n,k)-circuit, (m,l)- independent set. No genera modelo en caso positivo ni construye CI(j,k) en caso negativo.

Problemas de grafos y Tratabilidad Computacional11 Reconocimiento de UCA graphs  Algoritmo de Reconocimiento de Lin, Szwarcfiter [2005]: O(n). Genera un modelo UCA en caso positivo. Caso negativo ?

Problemas de grafos y Tratabilidad Computacional12 Reconocimiento de UCA graphs  Segmentos – Variables  Sistemas de ecuaciones (total y reducido)  Grafos de Segmentos  Generar soluciones.