A GRASP for graph planarization. Resende, Ribeiro. 1996. Meta heurísticas Agustín Pecorari.

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1 A GRASP for graph planarization. Resende, Ribeiro. 1996. Meta heurísticas Agustín Pecorari

2 Descripción del problema Un grafo se dice plano si se lo puede dibujar en un plano de forma que no se crucen las aristas. K 3,3 y K 5 no son planos. Problema de optimización: encontrar el subgrafo plano máximo. NP-Hard. Se utiliza para resolver problemas de layout de circuitos, maquinaría entre otros problemas.

3 Algoritmos disponibles Jayakumar et al. Dos algoritmos de O(|V| 2 ). 1.Construye un subgrafo plano de expansión. Tomando de a un nodo, el que agrega la cantidad máxima de aristas que no conducen a un grafo no plano. 2.Empieza desde subgrafo plano de expansión biconectado y construye el subgrafo plano maximal contenido en él. Cai, Han y Tarjan. Algoritmo de O(|E|.log|V|). Di Battista y Tamassia. Algoritmo de O(|E|.log|V|).

4 Algoritmos disponibles Cimikowski, heurística. Para cada componente biconectado de un grafo no plano, encuentra árboles de expansión aristas-disjuntos cuya unión sea plana. Bajo ciertas condiciones llega a por lo menos 2/3 del óptimo. Jünger y Mutzel. Exact branch-and-cut. Desigualdades que definen facetas. Takefuji y Lee. Redes neuronales. Parten de un secuenciamiento arbitrario de los nodos y determinan dos conjuntos de aristas que pueden ser representadas sin que se crucen respectivamente por encima o debajo de la línea central. Mejorado por Goldschmidt y Takvorian.

5 Heurística de dos fases Goldschmidt y Takvorian. 1994 Fase 1. –Determinar secuencia ∏ de los vértices. π(a)=1 π(b)=2 π(c)=3 π(d)=4 –Supongamos e 1 =(a,b) y e 2 =(c,d). Por ejemplo: –Se dice que e 1 y e 2 están cruzados si: π(a) < π(c) < π(b) < π(d) π(c) < π(a) < π(d) < π(b)

6 Heurística de dos fases. Cont. Goldschmidt y Takvorian. 1994 Fase 2. –Particionar el conjunto E en B, R y P. –| B + R | sea grande (máximo posible). –De manera tal que ningún par de aristas se “cruce”, estando las dos en B o las dos en R. Goldschmidt y Takvorian muestran que si ∏ corresponde a un ciclo Hamiltoniano en un subgrafo H de G o en algún edge-augmentation plano de H => el subgrafo plano que produce contiene por lo menos ¾ de la cantidad de aristas que el máximo subgrafo plano.

7 Heurística de dos fases. Cont. Goldschmidt y Takvorian. 1994 El algoritmo intenta utilizar ordenes ∏ relacionados a ciclos Hamiltonianos. Estos ciclos se buscan con un procedimiento aleatorio. O un algoritmo greedy determinístico. –El primer vértice es el de grado mínimo. –El vértice v k+1 es elegido entre los adyacentes a v k. Se toma el que tenga grado mínimo en el grafo G k inducido por V \{v 1...v k }. –Si no hubiese ningún vértice adyacente a v k, entonces se elije el de grado mínimo en G k.

8 Heurística de dos fases. Cont. Goldschmidt y Takvorian. 1994 Sea H=(E, I): –Los vértices corresponden a aristas de G. –e 1 y e 2 de H están conectados si las correspondientes aristas de G están cruzadas respecto de ∏. H se llama Overlap graph si: –Sus vértices pueden tener una correspondencia biunívoca con una familia de intervalos en una línea. –Dos intervalos se solapan si se cruzan y ninguno está contenido en el otro. –Dos vértices de H están conectados por una arista sii sus correspondientes intervalos se solapan.

9 Heurística de dos fases. Cont. Goldschmidt y Takvorian. 1994 Ejemplo: G 1 4 32 13 4 2 1-3 3-2 1-2 3-42-4 1-4 ∏H

10 Heurística de dos fases. Cont. Goldschmidt y Takvorian. 1994 La segunda fase consiste en colorear con Rojo ( R ) o Azul ( B ) el máximo número de vértices de H, de forma tal que formen un conjunto independiente (estable). Equivale a buscar un subgrafo bipartido con la mayor cantidad de vértices. NP-hard. Usan algoritmo greedy para generar subgrafo maximal. Genera un conjunto independiente máximo B cE de H, reduce H sacando los vértices en B y las aristas incidentes a B.

11 Heurística de dos fases. Cont. Goldschmidt y Takvorian. 1994 Ahora busca el conjunto independiente máximo R c E \ B. Este procedimiento es polinomial (no encuentra el óptimo necesariamente) O(|E| 3 ). GT no produce el óptimo y bajo simples def. de vecindad tampoco óptimos locales.

12 GRASP procedure GRASP(ListSize, MaxIter, RdmSeed) InputInstance(); do k=1,…..MaxIter  ConstructGreedyRandomizedSolution(ListSize, RdmSeed) LocalSearch(BestSolutionFound); UpdateSolution(BestSolutionFound); od; return BestSolutionFound end GRASP

13 GRASP. Generación secuencia ∏. procedure ConstructGreedyRandomSolution(α,seed,V,E, ∏) 1 d = min vЄV {deg G (v)}; đ = max vЄV {deg G (v)}; 2 RCL = {vЄV : d ≤ deg G (v) ≤ α (đ - d) +d}; 3 v 1 = random(seed, RCL); 4 V = V \ {v 1 }; G 1 = grafo inducido en G por V ; 5 do k=2,…,|V|  6 d = min vЄ V {deg Gk-1 (v)}; đ = max vЄ V {deg Gk-1 (v)}; 7 if ADJ Gk-1 (v k-1 ) ≠ Ø  8 RCL = {v Є ADJ Gk-1 (v k-1 ) : d ≤ deg Gk-1 (v) ≤ α (đ - d) +d}; 9 else 10 RCL = {v Є V : d ≤ deg Gk-1 (v) ≤ α (đ - d) +d}; 11 fi; 12 v k =random(seed, RCL); 13 V = V \ {v k }; G k = grafo inducido en G por V ; 14 od; 15 return ∏=(v 1,v 2,…,v |V| ) end ConstructGreedyRandomSolution

14 GRASP. Búsqueda Local procedure LocalSearch(V,E, ∏) 1 do ∏ no es óptima  2 encontrar ∏’ Є N (∏) tal que X (∏’) < X (∏); 3 ∏ = ∏’; 4 od 5 return ∏=(v 1,v 2,…,v |V| ) end LocalSearch Siendo X (∏) cantidad de pares de aristas cruzadas. Y N (∏) vecindad formada por todo ∏’ con 2 pos ≠.

15 GRASP procedure GRASPforGP(α,seed,MaxIter,V,E, ∏*, B *, R *) 1 do k=1,2,…,MaxIter  2 ConstructGreedyRandomSolution(α,seed,V,E, ∏) 3 LocalSearch(V,E, ∏) 4 SecondPhaseGT(V,E, ∏, B, R ) 5 UpdateSolution(∏, B, R, ∏*, B *, R *) 6 od; 7 return ∏*, B *, R * end GRASPforGP

16 procedure EnlargePlanar( B, R, P,V) 1 do p Є P  2 Bp = Ø; 3 do b Є B  4 if p y b se cruzan  5 B p = B p U {b}; 6 do r Є R  7 if r y b se cruzan  goto 12 fi; 8 od; 9 fi; 10 od; 11 ( B,R,P ) = ( B U {p} \ Bp, R U Bp, P \ {p}); 12 od; 13 return B,R end EnlargePlanar GRASP. Post-procesamiento.

17 Conclusiones Se probó un gran conjunto de problemas test standard y en la mayoría de ellos la nueva heurística iguala o mejora los resultados anteriores. En algunos casos encuentra soluciones óptimas antes desconocidas.