Secciones Cónicas Shirley Bromberg Raquel Valdés Versión Preliminar

Secciones Cónicas El tema de las secciones cónicas no pertenece a la geometría elemental. El tratamiento más antiguo que ha llegado hasta nosotros es el que aparece en las Cónicas escrito por Apolonio de Perga, en el siglo II a.C.

Secciones Cónicas Una SECCION CONICA es la curva que se traza sobre un cono, al ser intersectado por un plano.

Dentro de la Geometría Analítica, las cónicas están dadas por ecuaciones, que corresponden a la traducción analítica de un lugar geométrico descrito sintéticamente. Dada una recta D (directriz) y un punto F (foco) que no está en D, una cónica es el lugar geométrico de todos los puntos P tales que su distancia al foco entre su distancia a la directriz es constante. Esta constante se llama excentricidad.

Dada la directriz y el foco , la relación define la cónica de excentricidad La recta , perpendicular a la directriz y que pasa por el foco es eje de simetría

Cuando es decir, la distancia al foco es justamente igual a la distancia la directriz, la cónica se llama parábola.

PARABOLAS En la figura de la izquierda se trazaron parábolas con foco en el origen y directrices x = 1 x = 2 x = 3 Notemos que, a medida que la directriz se aleja del foco, la parábola se “abre”

Ecuación de una parábola con foco y directriz Como PF = PQ, Por lo tanto, Simplificamos,

Dada la directriz y el foco F y la relación con e < 1, describe la cónica que se llama elipse, pues la distancia al foco se queda corta con respecto a la distancia a la directriz.

Ecuación de una elipse con foco F(0,0) , excentricidad e = 1/2 y directriz x = 1 Como 2PF = PQ, Por lo tanto, Simplificamos,

ELIPSES En la figura de la izquierda se trazaron elipses con excentricidad .6, foco en el origen y con directrices x = 1 x = 2 x = 3 x = 4 Notemos ahora que a medida que la directriz se aleja del foco la elipse se agranda sin cambiar de forma

Dada la directriz y el foco F y la relación cuando e > 1, es decir la distancia al foco excede la distancia a la directriz, la cónica se llama hipérbola.

En la gráfica que está a la izquierda aparecen las cónicas con directriz con foco y con excentricidades

Algunas consideraciones sobre cónicas con excentricidad distinta de 1. Una cónica con e 1, tiene dos puntos sobre el eje de simetría. Para obtenerlos, debemos resolver el sistema de ecuaciones

Algunas consideraciones sobre cónicas con excentricidad distinta de 1. obtenemos es decir,

Algunas consideraciones sobre cónicas con excentricidad distinta de 1. Las expresiones: producen dos puntos si

Algunas consideraciones sobre la elipse. los puntos Cuando están del mismo lado de la directriz. El punto medio es un centro. La recta es un eje de simetría

Algunas consideraciones sobre la elipse. Obtenemos un nuevo foco y una nueva directriz: simétricos, respectivamente, de y de con respecto al eje de simetría

Algunas consideraciones sobre la elipse. Un punto P sobre la elipse satisface, por una parte y por la otra Por lo tanto:

Algunas consideraciones sobre la elipse. La relación es decir, da una definición alternativa de elipse:

Algunas consideraciones sobre la elipse. Una elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias a dos puntos dados, llamados focos, es constante.

Algunas consideraciones sobre cónicas con excentricidad . En este caso : están en lados opuestos de la directriz. Por simetría aparece otro foco y se obtiene, esta vez, que la diferencia de las distancias a los focos es constante.