CLASE 2

RANGOS NUMERICOS PARA NUMEROS BINARIOS DE n BITS Dado un numero de n bits, existen 2 𝑛 posibles combinaciones. Representación sin signo Rango: 0, 2 𝑛−1 . Representación con signo Signo magnitud: −2 𝑛−1 , +2 𝑛−1 . Dos representaciones para el cero. Complemento a 1: Complemento a 2: −2 𝑛−1 , +2 𝑛−1 −1 .

Una investigación sobre las leyes del pensamiento. ALGEBRA DE BOOLE George Boole ¿Como es que se realizan decisiones lógicas con base en circunstancias verdaderas o falsas (casos)? Una investigación sobre las leyes del pensamiento. LOGICA

ALGEBRA DE BOOLE ALGEBRA BOOLEANA Símbolos + Operadores A

ALGEBRA DE BOOLE Nivel lógico Algebra tradicional Algebra booleana Variables Representan números reales Representan solo 0 o 1. Operadores Retornan números reales. Retornan solo 0 o 1. 0 lógico 1 lógico Falso Verdadero Apagado Encendido Bajo Alto No Si Interruptor abierto Interruptor cerrado Operadores básicos AND, OR, NOT Ejemplo: Don Ramón se pone bravo si doña Florinda le pega o el chavo le da bomba y la chilindrina no lo consuela. F: Don Ramón se pone bravo. (F=1, don Ramón bravo; F=0 don Ramón calmado). A: El chavo le da bomba a don Ramón. B: Doña florinda le pega a don Ramón. C: La chilindrina consuela a don Ramón. F = (A OR B)AND(NOT(C)) Expresión booleana

ALGEBRA BOOLEANA ASPECTOS CLAVES Algebra booleana: Sistema algebraico que opera sobre variables booleanas. La naturaleza binaria (de 2 estados) del algebra booleana la hace apta para el análisis, simplificación y diseño de circuitos lógicos. Variables booleana: Variable que puede tomar solo dos posibles valores, tales como HIGH/LOW, 1/0, On/Off o TRUE/FALSE. Expresión booleana: Expresión algebraica compuesta por variables booleanas y operadores tales como AND, OR o NOT. También es conocida como función booleana o función lógica. F = (A OR B)AND(NOT(C))

OPERADORES BOOLEANOS LOGICOS BASICOS NOT AND Este operador retorna V solo cuando ambas entradas son V. Este operador retorna V cuando cualquiera de las entradas es V. Este operador retorna como salida el valor opuesto a la entrada. Ejemplo: Dada la función lógica mostrada a continuación. ¿Cuál es su valor si A=1, B=0, D=0, C=0 y E=1? 𝐹=𝐴.𝐵+ 𝐶+ 𝐷 .𝐸

TABLA DE VERDAD Es una herramienta para describir la forma en que la salida de una función o circuito lógico depende de los niveles lógicos presentes a la entrada. Entradas (3) Salida Circuito lógico A B C x Para N entradas existen un total de 2^N combinaciones posibles y por ende 2^N filas en la tabla de verdad asociada a la función que esta se encuentra representando. Filas (8) Ejemplo: Se tiene un circuito con 3 entradas el cual se enciende en los siguientes casos: Cuando dos de las entradas se encuentran en alto. Cuando las tres entradas son iguales. Llene la tabla de verdad asociada a este circuito.

COMPUERTAS LOGICAS Las funciones lógicas pueden representar circuitos lógicos. Tabla de verdad Función booleana 𝐹= 𝐴 ′ 𝐵 𝐶 ′ +𝐴 𝐵 ′ 𝐶 ′ +𝐴 𝐵 ′ 𝐶+𝐴𝐵𝐶 Circuito lógico Compuerta lógica Circuito electrónico que realiza una función lógica booleana.

OPERADORES BOOLEANOS Y COMPUERTAS LOGICAS Inversor Z A Compuerta AND A B Z Z A B Compuerta NOR Z A B Compuerta NAND Compuerta XOR Z A B Compuerta OR Z A B

COMPUERTA NOT A X 𝑋= 𝐴 𝑋= NOT(A) 𝑋=𝐴′ La operación NOT produce una salida cuyo valor es el opuesto al valor de su entrada.

COMPUERTA AND A X B 𝑋=𝐴 𝐴𝑁𝐷 𝐵 𝑋=𝐴𝐵 La operación AND produce una salida de 1 solo cuando todas sus entradas son 1. En cualquier otro caso la salida es 0.

COMPUERTA OR A X B 𝑋=𝐴 𝑂𝑅 𝐵 𝑋=𝐴+𝐵 La operación OR produce una salida de 1 siempre que cualquiera de sus entradas sea 0. En cualquier otro caso la salida es 0.

DIAGRAMAS DE TIEMPO PARA LAS COMPUERTAS AND, OR Y NOT

COMPUERTA NOR A X B 𝑋=(𝐴+ 𝐵)′ 𝑋= 𝐴+𝐵 La operación NOR produce una salida de 1 solo cuando todas sus entradas son 0. En cualquier otro caso la salida es 0.

COMPUERTA NAND A X B 𝑋=(𝐴∙𝐵)′ 𝑋= 𝐴∙𝐵 𝑋= 𝐴𝐵 La operación NAND produce una salida de 0 solo cuando todas sus entradas son 1. En cualquier otro caso la salida es 1.

COMPUERTA XOR A X B 𝑋=𝐴 𝑋𝑂𝑅 𝐵 𝑋=𝐴⨁𝐵 La operación XOR produce una salida de 1 cuando sus entradas son diferentes. En cualquier otro caso la salida es 0.

COMPUERTA XNOR A X B 𝑋=(𝐴⨁𝐵)′ 𝑋= 𝐴⊕𝐵 Produce una salida 1 solo cuando las entradas son iguales, en caso opuesto la salida producida es 0.

RESUMEN COMPUERTAS Compuerta Símbolo Tabla de verdad Expresión AND OR 𝑋=𝐴𝐵 𝑋=𝐴+𝐵 OR NOT 𝑋= 𝐴

RESUMEN COMPUERTAS Compuerta Símbolo Tabla de verdad Expresión NOR 𝑋= 𝐴+𝐵 NAND 𝑋= 𝐴𝐵 XNOR 𝑋= 𝐴⊕𝐵

RESUMEN COMPUERTAS Compuerta Símbolo Tabla de verdad Expresión XOR 𝑋=𝐴⨁𝐵

REPASO DE LO VISTO Ejemplo 1: Determine la forma de onda de salida para la compuerta OR, cuando se tiene la siguiente entrada a estas:

REPASO DE LO VISTO Ejemplo 2: Para la compuerta OR de 3 entradas mostrada a continuación, determine la forma de onda a la salida. Ejemplo 3: Como seria la salida si lo que se tuviera fuera una compuerta AND de 3 entradas

PREGUNTAS DE REPASO ¿Cual es el único conjunto de condiciones de entrada que producirán una salida baja en cualquier compuerta OR? ¿Escriba la expresión booleana para una compuerta OR de 6 entradas? ¿Si la entrada A del punto anterior permaneciera en alto, cual seria el resultado de a la salida? ¿Cual es la única combinación de entradas que producirá un ALTO a la salida de una compuerta AND de 5 entradas? ¿Cual es el nivel lógico que debería ser aplicado a la segunda entrada de una compuerta AND de 2 entradas si la señal lógica en la primera entrada es inhibida de buscar la salida? Cierto o falso: ¿ La salida de una compuerta AND siempre diferirá de la salida de una compuerta OR para las mismas condiciones de entrada?

DESCRIBIENDO CIRCUITOS LOGICOS ALGEBRAICAMENTE Cualquier circuito lógico, sin importar su complejidad, pueden ser completamente descritos usando las tres operaciones básicas: OR, AND y NOT. ¿Como se interpreta AB + C? Se aplica un OR entre A.B y el termino C Se aplica un AND entre A y el termino B+C ORDEN DE PROCEDENCIA

ORDEN DE PRESEDENCIA Las operaciones AND se hace antes que las operaciones OR Los paréntesis hacen mas clara la precedencia pero no son necesarios para el caso anterior Cuando in inversor esta presente en un diagrama de circuito lógico, su expresión de salida simplemente es igual a la expresión de entrada con una barra sobre esta.

REGLAS DE PRECEDENCIA EN ALGEBRA BOOLEANA La siguiente tabla muestra el orden de precedencia, siendo la mas alta la que va de primero.

PRECEDENCIA EN ALGEBRA BOOLEANA ALGUNOS EJEMPLOS Evalué las siguientes expresiones booleanas, asumiendo que a=1, b = 1, c = 0 y d = 1. Respuesta: * tiene precedencia sobre +, así que cuando se evalúa la expresión se tiene que F=(1*1) + 0 = 1 + 0 = 1. F = a*b + c Respuesta: El problema es similar al anterior +, solo que en este caso se usa la notación alternativa para la operación AND. F = ab + c Respuesta: Primero debe evaluarse b’ por que el NOT tiene precedencia sobre el AND, esto resulta en: F=1*(1’)=1*(0)=1*0=0. F = ab’ Respuesta: Primero se evalúa lo que esta dentro de paréntesis para luego se negar el resultado: F=(1*0)’=(0)’=0’=1. F = (ac)’

PRECEDENCIA EN ALGEBRA BOOLEANA ALGUNOS EJEMPLOS Evalué las siguientes expresiones booleanas, asumiendo que A=0, B = 1, C = 1 y D = 1. 𝒙= 𝑫+ 𝑨+𝑩 𝑪 ∙𝑬 = 𝟏+ 𝟎+𝟎 ∙𝟏 ∙𝟏 = 𝟏+ 𝟎∙𝟏 ∙𝟏 = 𝟏+ 𝟎 ∙𝟏 =𝟏∙𝟏 =𝟏 = 𝟏+𝟏 ∙𝟏 𝒙= 𝑨 𝑩𝑪( 𝑨+𝑫 ) = 𝟎 ∗𝟏∗𝟏∗( 𝟎+𝟏 ) =𝟏∗𝟏∗𝟏∗( 𝟎+𝟏 ) =𝟏∗𝟏∗𝟏∗( 𝟏 ) =𝟏∗𝟏∗𝟏∗𝟎 =𝟎

ANALISIS DE FUNCIONES BOOLEANAS MEDIANTE EL USO DE TABLAS Siempre que se tenga un circuito lógico combinacional y desee saber como funciona, la mejor manera de analizarlo es mediante el uso de una tabla se verdad. Salida Nodos intermedios: No son entradas ni salidas son solo conexiones entre la salida de una compuerta y la entrada de otra Entradas

ANALISIS DE FUNCIONES BOOLEANAS MEDIANTE EL USO DE TABLAS 𝒙=(𝑨+𝑩)( 𝑩 +𝑪) 𝒖 𝒗 Ejercicio: Muestre la tabla de verdad asociada a la siguiente función lógica: 𝒙= 𝑨 𝑩𝑪( 𝑨+𝑫 )

RELACION ENTRE FUNCIONES LOGICAS Y CIRCUITOS DIGITALES Cuando la operación de un circuito esta definida por una función booleana, nosotros podemos dibujar el circuito directamente de la expresión.

ANALISIS DE FUNCIONES BOOLEANAS MEDIANTE EL USO DE TABLAS Dibuje el circuito que implementa la siguiente función lógica: 𝒙= 𝑨 𝑩𝑪( 𝑨+𝑫 ) Dibuje nuevamente el circuito pero esta vez asuma como restricción que este no puede tener compuertas de mas de 3 entradas.

ANALISIS DE FUNCIONES BOOLEANAS MEDIANTE EL USO DE TABLAS Dibuje el circuito que implementa la siguiente función lógica: 𝒙=(𝑨+𝑩)( 𝑩 +𝑪) Como restricción use compuertas que no tengan mas de dos entradas. Ahora siguiendo la misma restricción implemente en un circuito digital la siguiente función lógica. 𝒙= 𝑫+ 𝑨+𝑩 𝑪 ⋅𝑬

TEOREMAS BOOLEANOS El algebra booleana (para números binarios) consiste en: Un conjunto S con dos elementos, S={0,1}. Operadores binarios: AND (.) y OR (+). Operador unitario: NOT (‘, ) Axiomas: Suposiciones básicas en las cuales el resto de los teoremas están soportados. La principal razón para aprender algebra booleana es por que por medio de esta podemos minimizar el numero de compuertas lógicas en un circuito digital.

TEOREMAS BOOLEANOS Postulados de Huntington Las operaciones en algebra booleana están basadas en los siguientes postulados: Postulado 1 (Propiedad de la cerradura): Si x, y ∈ S, entonces x + y ∈ S ; x.y ∈ S Postulado 2 (Propiedad conmutativa): Si x, y ∈ S, entonces x + y = y + x ; xy = yx En aplicación en los circuitos digitales podríamos decir que no importa el orden de conexión de las entradas a una compuerta OR o AND.

TEOREMAS BOOLEANOS Postulado 3 (Propiedad asociativa): Si x, y, z ∈ S, entonces x + (y+z) = (x + y)+z ; x.(y.z) = (x.y).z Postulado 4 (Propiedad distributiva): Si x, y, z ∈ S, entonces x + (y.z) = (x + y).(x+z) ; x.(y+z) = x.y + x.z

TEOREMAS BOOLEANOS Postulado 5 (Identidades): En el conjunto S existen dos elementos 1 (uno) y 0 (cero), únicos, tales que: x + 0 = x ; x.1 = x x x 1 Donde 0 es el elemento neutro par la operación + y 1 es el elemento neutro para la operación ∙. Postulado 6 (Complemento): Para cada elemento x en S existe un elemento 𝑥 , llamado complemento de x tal que: x + 𝑥 = 1 ; x. 𝑥 = 0

TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA Principio de dualidad: Cualquier expresión algebraica derivada de los axiomas continua siendo valida cuando los operandos AND y OR, y los elementos 1 y 0 son intercambiados.

TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA Teorema 1: Los elementos de identidad 0 y 1 son unicos. Teorema 2 (Idempotencia): x + x = x x.x = x Teorema 3 (Elemento nulo): x + 1 = 1 x.0 = 0 Teorema 4 (Leyes de absorción): x + xy = x x(x+y) = x Teorema 5: Cada elemento en el conjunto S tiene un único complemento. Teorema 6 (Teorema de la involucion): 𝑥 =𝑥

TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA Teorema 7 (Absorcion): 𝑥+ 𝑥 𝑦=𝑥+𝑦 𝑥( 𝑥 +𝑦)=𝑥𝑦 Teorema 8 (Teorema de DeMorgan): 𝑥+𝑦 = 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 = 𝑥 + 𝑦 El cual generalizado para mas elementos mas de dos elementos será: 𝑎+𝑏+…+𝑎 = 𝑎 𝑏 … 𝑧 𝑎𝑏…𝑧 = 𝑥 + 𝑦 +…+ 𝑧 Teorema 9 (Teorema de consenso): 𝑥𝑦+ 𝑥 𝑧+𝑦𝑧=𝑥𝑦+ 𝑥 𝑧 (𝑥+𝑦)( 𝑥 +𝑧)(𝑦+𝑧)=(𝑥+𝑦)( 𝑥 +𝑧)

TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA 𝑥𝑦+𝑥 𝑦 𝑧=𝑥𝑦+𝑥𝑧 (𝑥+𝑦)(𝑥+ 𝑦 +𝑧)=(𝑥+𝑦)(𝑥+𝑧) Teorema 11: 𝑥𝑦+ 𝑥 𝑧=(𝑥+𝑧)( 𝑥 +𝑦) 𝑥+𝑦 𝑥 +𝑧 =𝑥𝑧+𝑥𝑦

DEMOSTRACIONES Demostrar el teorema 4: 𝑥+𝑥𝑦=𝑥 𝒙+𝒙𝒚=𝑥.1+𝑥𝑦 P5. Identidades: x.1 = x =𝑥(1+𝑦) P4. Propiedad distributiva: x(y+z) = xy + xz =𝑥(1) T3. x + 1 = 1 =𝒙 P5. x.1 = x Demostrar el teorema 5: 𝑥+ 𝑥 𝑦=𝑥+𝑦 𝒙+ 𝒙 𝒚=(𝑥+ 𝑥 )(𝑥+𝑦) P4. Propiedad distributiva: x+y.z = (x+y)(x+z) =(1)(𝑥+𝑦) P6. Complemento: 𝑥+ 𝑥 =1 =𝒙+𝒚 P5. Identidades: x.1=𝑥 Demostrar el teorema 1: 𝑥+𝑥=𝑥 𝒙=𝑥+0 P5. Identidades: x+1 = x =𝑥+𝑥 𝑥 P6. Complemento: x 𝑥 =0 =(𝑥+𝑥)( 𝑥 +𝑥) P4. Propiedad distributiva: x+y.z = (x+y)(x+z) =(𝑥+𝑥)(1) P6. Complemento: 𝑥+ 𝑥 =1 =𝒙+𝒙 P5. Identidades: x.1=𝑥

EJERCICIOS DEMOSTRACIONES Demostrar los siguientes teoremas: T4: 𝑥+𝑥𝑦=𝑥 T7: 𝑥( 𝑥 +𝑦)=𝑥𝑦 T10: 𝑥𝑦+𝑥 𝑦 𝑧=𝑥𝑦+𝑥𝑧 T10 (dual): (𝑥+𝑦)(𝑥+ 𝑦 +𝑧)=(𝑥+𝑦)(𝑥+𝑧)

SIMPLIFICACION DE FUNCIONES Una las principales aplicaciones es la simplificación de funciones lógicas, lo cual tiene un efecto en la disminución del numero de compuertas que tendrá al circuito lógico asociado a la función en cuestión. A este proceso se le conoce como manipulación algebraica. Ejemplo 1: Simplifique la siguiente expresión utilizando las leyes y reglas de boole. ab + a(b+c) + b (b+c) = ab + ab + ac + b + bc = ab + ac + b (1+ c) = ab + ac + b  1 = ab + ac + b = b (a +1) + ac = b  1 + ac = b +ac

SIMPLIFICACION DE FUNCIONES Ejemplo 2: Simplifique la siguiente expresión utilizando las leyes y reglas de Boole. Solución: [ab.(c+bd) +ab]c = [b.(a.(c+bd)+a)].c =b.a.c Forma 1 [abc + abbd + ab]c = [abc + a(bb)d + ab]c = [abc + a(1)d + ab]c = (abc + ad + ab)bc = (ab+ad)bc = abbc + adbc = abc + abcd = abc Forma 2

REPRESENTACION DE FUNCIONES BOOLEANAS MEDIANTE TABLAS DE VERDAD Una tabla de verdad define el valor de una función lógica F, para cada posible combinación de valores de entrada. El numero de filas (posibles combinaciones de la entrada) de esta depende del numero de variables de entrada que contenga la función, y esta dado por: 𝐹= 2 𝑛 , Asumiendo que se tienen n entradas; asi por ejemplo: Función de 2 entradas: 4 filas. Función de 3 entradas: 8 filas. Función de 4 entradas: 16 filas.

REPRESENTACION DE FUNCIONES BOOLEANAS MEDIANTE TABLAS DE VERDAD Ejemplo: Use una tabla de verdad para definir una función F(a,b,c) que sea 1 cuando el numero binario abc sea mayor o igual a 5.

CONVIRTIENDO ENTRE REPRESENTACIONES Podemos convertir desde una representación cualquiera a otra. Circuito Evaluar la ecuación para cada combinación de entrada (fila). Crear columnas intermedias ayuda Ecuación Tabla de verdad Hacer un OR de cada termino de entrada cuya salida sea 1

RESUMEN REPRESENTACION DE FUNCIONES LOGICAS Una función puede ser representada en diferentes formas

PROCESO DE DISEÑO LOGICO COMBINACIONAL Capture la función: Cree la tabla de verdad o las ecuaciones para describir el comportamiento deseado de la lógica combinacional. Convierta a ecuaciones: Este paso es necesario si la función es capturada usando tabla de verdad en vez de ecuaciones. Para crear la ecuación se hace un OR de cada una de las entradas cuya salida es 1. Luego si así lo desea puede simplificar la ecuación. Implemente el circuito digital: Para cada salida cree un circuito asociado a la ecuación.