CINEMÁTICA Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado En ciencias naturales es fundamental la: Observación de un fenómeno natural, el Registro de datos, la Elaboración de gráficas y, a partir de ellas, la realización de un Análisis para determinar la ley o Modelo matemático que rige el comportamiento del fenómeno. El tema se abordará a partir de un video (el cual se puede detener), a partir de él, se adquirirán datos de posición y su respectivo tiempo. Con ellos se hará una tabulación de posición contra tiempo (x vs. t) Se hará una gráfica de x vs. t Se realizará una análisis gráfico con los conocimientos hasta ahora adquiridos del tema de movimiento rectilíneo uniforme (mru). Ver video (mrua posición)

Video de m. r. u. a. Llenar la siguiente tabla de x vs. t Para ello, deje avanzar el video y deténgalo. Ya detenido, controle su avance con la esferita que corre en la parte inferior t(s) 2 4 6 8 10 12 14 x(m)

Tabulación de m. r. u. a. t(s) 2 4 6 8 10 12 14 x(m) 4.6 18.4 41.4 2 4 6 8 10 12 14 x(m) 4.6 18.4 41.4 73.6 115 165.6 225.4 Realice la gráfica de x vs. t Recuerde o revise como se realiza una gráfica En que eje van las variables dependientes e independientes Elegir una escala adecuada Usar papel milimétrico Etc.

Gráfica de posición vs. tiempo Toda vez que realice su propia gráfica, siga el hipervínculo (posición vs. tiempo) donde se volverá a correr el video pero con su respectiva gráfica. En la siguiente diapositiva se muestra la gráfica, (compárela con la que Usted obtuvo)

Análisis de datos Dt = t1 – t0 = t2 – t1 = t3 – t2 = ….. t7 – t6 = 2 s Note que los intervalos de tiempo consecutivos son iguales: Dt = t1 – t0 = t2 – t1 = t3 – t2 = ….. t7 – t6 = 2 s y los respectivos desplazamientos: Dx = x1 – x0 = 4.6 m – 0 m = 4.6 m Dx = x2 – x1 = 18.4 m - 4.6 m = 13.8 m Dx = x3 – x2 = 41.4 m – 18.4 m m = 23 m

Análisis de datos Dx = x4 – x3 = 73.6 m – 41.4 m = 32.2 m se puede observar que los cambios de posición en intervalos de tiempo de 2 s no son iguales, es decir el movimiento es rectilíneo no uniforme (recorre distancias diferentes en iguales intervalos de tiempo).

Análisis de datos Entre t1 y t0 Entre t2 y t0 Entre t3 y t0 .En consecuencia las velocidades medias evaluadas en intervalos de tiempo distintos no serán constantes: Entre t1 y t0 Entre t2 y t0 Entre t3 y t0 .

Análisis de datos Entre t4 y t0 Entre t5 y t0 Entre t6 y t0

Velocidad instantánea Las velocidades medias representan la pendiente de la recta secante a la curva en los intervalos de tiempo considerados y sus respectivas posiciones. La información que proporciona la velocidad media solo es útil cuando el movimiento es rectilíneo uniforme. Como no es nuestro caso, se requiere generar un nuevo concepto: Velocidad instantánea El proceso para generarla es el siguiente. En su gráfica elija un punto donde desee conocer la velocidad instantánea (por ejemplo a los 6 s) Calcule la pendiente de la recta secante que une a ese punto que seleccionó y el último punto registrado en su gráfica (llámele vm6)

Velocidad instantánea Tome un instante de tiempo anterior al último registrado, trace la recta secante entre ese punto y el seleccionado y calcule la pendiente de esa nueva recta secante (llámele vm5) . Siga con el mismo procedimiento de tomar intervalos de tiempo cada vez menores y de calcular las pendientes de las rectas secantes. Compare como son los intervalos de tiempo y las pendientes de las rectas secantes. Siga con el mismo desarrollo de tomar intervalos de tiempo cada vez mas pequeños hasta que estos tiendan a cero (sin hacerse cero) y saque sus propias conclusiones. El procedimiento anterior se muestra en las siguientes gráficas

Velocidad instantánea Comparando podemos observar que satisfacen a mediada que el intervalo de tiempo tiende a cero. Pero los valores de la velocidad media no disminuyen arbitrariamente, se van acercado a un valor limite. Este valor limite es la velocidad instantánea evaluada en el punto que tomamos como referencia.

Velocidad instantánea Gráficamente las rectas secantes tienden a una recta tangente x (m) * vm6 180 * Recta secante 140 * vm = pendientes de las rectas secantes 100 60 * * punto elegido como referencia 20 * t (s) * * l l l l l l 2 4 6 8 10 12 14

Velocidad instantánea Gráficamente las rectas secantes tienden a una recta tangente x (m) * vm6 180 * vm5 Rectas secantes 140 * vm = pendientes de las rectas secantes 100 60 * * punto elegido como referencia 20 * t (s) * * l l l l l l 2 4 6 8 10 12 14

Velocidad instantánea Gráficamente las rectas secantes tienden a una recta tangente x (m) * vm6 180 * vm5 Rectas secantes 140 vm = pendientes de las rectas secantes vm4 * 100 60 * * punto elegido como referencia 20 * t (s) * * l l l l l l 2 4 6 8 10 12 14

Velocidad instantánea Gráficamente las rectas secantes tienden a una recta tangente x (m) * vm6 180 * vm5 Rectas secantes 140 * vm = pendientes de las rectas secantes vm4 100 vm3 60 * * punto elegido como referencia 20 * t (s) * * l l l l l l 2 4 6 8 10 12 14

Velocidad instantánea Gráficamente las rectas secantes tienden a una recta tangente x (m) * vm6 180 * vm5 Rectas secantes 140 * vm = pendientes de las rectas secantes vm2 vm4 100 vm3 60 * * punto elegido como referencia 20 * t (s) * * l l l l l l 2 4 6 8 10 12 14

Interpretación gráfica de la velocidad instantánea . x (m) * 180 * 140 * 100 Recta tangente 60 * * Punto elegido como referencia 20 * * * l l l l l l 2 4 6 8 10 12 14 t (s)

Velocidad instantánea En resumen se tiene un proceso para calcular las velocidades instantáneas a partir de una gráfica de x vs. t Su valor, es el de la tangente (mejor conocida como pendiente) a la curva en el instante de tiempo en que deseamos conocerla. En el contexto matemático, se define la velocidad instantánea como:

Velocidad instantánea Como ejemplo adicional calcule las velocidades instantáneas en los instantes de tiempo t = 0, 2, 4, 6, 8,10, 12 y 14 s (para ello, trace rectas tangentes a cada uno de esos instantes de tiempo) Sugerencia: Para calcular la pendiente de la recta tangente requiere de dos puntos (t, x). El primer punto es el punto elegido (donde la recta toca a la curva y lo puede leer en la tabulación de x vs. t). El segundo punto, haga que la recta tangente corte el eje horizontal, ahí, los datos para posición son (x = 0 m) y el tiempo léalo en ese mismo lugar. Aplique la fórmula para cálculo de pendientes

Cálculo gráfico de la velocidad instantánea . x (m) * 180 Recta tangente Punto donde queremos la velocidad instantánea * 140 * * 100 Primer punto 60 * 20 * * * l l l l l l 2 4 6 8 10 12 14 t (s) Segundo punto

Velocidad instantánea En función de sus cálculos, complete la siguiente tabla de v vs. t Ir a hipervínculo rectas tangentes , subir pantalla dejando la proyección en el pizarrón. Los alumnos pasan al pizarrón trazan las tangentes auxiliándose de una regla, toman datos y realizar los cálculos para llenar la tabla. Nota al profesor: en la siguiente diapositiva se presenta la tabla t (s) 2 4 6 8 10 12 14 v (m/s)

Velocidad instantánea Usted debió aproximarse a los siguientes valores Como podrá observar la velocidad cambia de instante a instante. La pregunta que surge es ¿Cómo cambia la velocidad? t (s) 2 4 6 8 10 12 14 v (m/s) 4.6 9.2 13.8 18.4 23 27.6 32.2

Aceleración Media Para describir como cambia la velocidad v (t) se define el concepto de aceleración media: El cual nos indica cuan rápido es el cambio de velocidad en el intervalo de tiempo Sus unidades son

Aceleración Media De la misma forma que con el desplazamiento y la velocidad, se tiene que la aceleración también puede ser positiva o negativa, depende de: si vf > v0 a > 0 acelerando si vf < v0 a < 0 frenando si vf < v0 a < 0 acelerando si vf > v0 a > 0 frenando

Aceleración Media En algunas situaciones el valor de la aceleración media puede ser diferente sobre intervalos de tiempo distintos. Por ese motivo, es útil definir la aceleración instantánea: la aceleración también puede escribirse como Es decir, en un movimiento en línea recta, la aceleración es igual a la segunda derivada de la posición de la partícula con respecto al tiempo.

Aceleración Media Regresemos al ejemplo anterior: t(s) 2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12 14 x(m) 4.6 18.4 41.4 73.6 115 165.6 225.4 t (s) 2 4 6 8 10 12 14 v (m/s) 4.6 9.2 13.8 18.4 23 27.6 32.2 Analizar como cambia la velocidad calculando Δv (los cálculos se presentan en la siguiente diapositiva)

Aceleración Media Consideremos los cambios de velocidad Dv = vf – v0 Entre t2 y t1 Entre t3 y t2 Entre t4 y t3

Aceleración Media Entre t5 y t4 Entre t6 y t5 Entre t7 y t6

Aceleración Media Y las correspondientes aceleraciones medias Entre t2 y t1 Entre t3 y t2 Entre t4 y t3

Aceleración Media Si evaluamos la aceleración media en los demás intervalos de tiempo la encontraremos igual a Este tipo de movimiento se conoce como: Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) o con Aceleración Constante

Gráficas del MRUA t(s) 2 4 6 8 10 12 14 x(m) 4.6 18.4 41.4 73.6 115 2 4 6 8 10 12 14 x(m) 4.6 18.4 41.4 73.6 115 165.6 225.4 t (s) 2 4 6 8 10 12 14 v (m/s) 4.6 9.2 13.8 18.4 23 27.6 32.2 Los alumnos realizan gráfica v vs. t y se retroalimentan con la diapositiva siguiente

Gráfica de v vs t

Gráfica de v vs t En una gráfica de velocidad contra tiempo el valor de la pendiente de la recta es la aceleración.

Ecuaciones de M R U A La ecuación de la posición x = x(t) que describe el movimiento con aceleración constante, puede ser obtenida al considerar que para este movimiento en particular la velocidad media (promedio) en cualquier intervalo de tiempo coincide con la media aritmética de la velocidad inicial, v0 y de la velocidad final v, es decir : Velocidad media velocidad media aritmética igualando Despejando

Ecuaciones de M R U A Teniendo en cuenta que v = v0 + at , se puede sustituir en Desarrollando queda: Lo que nos indica la grafica x vs t es una sección de parábola (En cursos de matemáticas sería de la forma y = a + bx + cx2)

Ecuaciones de M R U A Las ecuaciones Describen completamente al movimiento uniformemente acelerado o movimiento con aceleración constante.

Ecuaciones de M R U A Sin embargo es posible obtener a partir de éstas un par de ecuaciones mas: Una de ellas relaciona el cambio de la posición con el cambio de velocidad y la aceleración. En ausencia del tiempo: En la otra nos relaciona el cambio de la posición con velocidad y el tiempo, pero en ausencia de la aceleración:

Resumen de Ecuaciones de M R U A Modelo matemático Información adicional x = x0 + v0t + ½ at2 No contiene la velocidad final x = x0 + ½(v + v0)t No contiene la aceleración x = x0 + vt - ½ at2 No contiene la velocidad inicial v = v0 + at No contiene la posición v2 – v02 = 2a(x-x0) No contiene el tiempo

Simulación de problemas de libro de texto Resnick sec. 2-6 problema 35 Resnick sec. 2-6 problema 36 Resnick sec. 2-6 problema 38 Resnick sec. 2-6 problema 45 Resnick sec. 2-6 problema 47

Tarea de M R U A Tarea de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado Fecha de entrega: Asesorías: Talleres extracurriculares: Ligas de interés: