Modelos de Valoración de Opciones Parte 2 Prof. Dr Modelos de Valoración de Opciones Parte 2 Prof. Dr. Prosper Lamothe Fernández Jorge Otero Rodríguez

Opciones reales - Opción de retrasar de un proyecto de inversión Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Opciones reales - Opción de retrasar de un proyecto de inversión Objetivo: valoración de la opción de retrasar un proyecto de inversión. Black_Scholes_opciones_reales.xls. Ubicación: Hoja proyecto - retrasar. Variables a suministrar. VA de los flujos de caja incrementales por invertir en el proyecto hoy (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S)) Inversión inicial requerida para acometer el proyecto (Equiv. Precio de ejercicio (K)) Fecha de valoración Fecha de vencimiento de la exclusividad Desviación típica del presupuesto de capital requerido (simulación) ó desviación típica media del valor de las empresas de la industria (equiv. Volatilidad subyacente) Tasa de descuento (rentabilidad de deuda con vto similar a la opción) Análisis: Perfil de resultados. Sensibilidad de la opción ante variaciones del activo subyacente (delta). Modelos de Valoración de Opciones

Opciones reales - Opción de expandir un proyecto de inversión Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Opciones reales - Opción de expandir un proyecto de inversión Objetivo: valoración de la opción de expandir un proyecto de inversión. Black_Scholes_opciones_reales.xls. Ubicación: Hoja proyecto - expandir. Variables a suministrar. Estimación del VA de los flujos de caja incrementales de la expansión (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S)) Inversión inicial requerida para la opción de expansión (Equiv. Precio de ejercicio (K)) Fecha de valoración Fecha de vencimiento del proyecto Costes marginales por esperar un año adicional para ejercer la opción de expansión (equiv. Tasa de dividendos (continua)) Desviación típica del presupuesto de capital requerido (simulación) ó desviación típica media del valor de las empresas de la industria (equiv. Volatilidad subyacente) Tasa de descuento (rentabilidad de deuda con vto similar a la opción) Análisis: Perfil de resultados. Sensibilidad de la opción ante variaciones del activo subyacente (delta). Modelos de Valoración de Opciones

Opciones reales - Opción de abandono de un proyecto de inversión Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Opciones reales - Opción de abandono de un proyecto de inversión Objetivo: valoración de la opción de abandonar un proyecto de inversión. Programa: Black_Scholes_opciones_reales.xls. Ubicación: Hoja proyecto - abandonar. Variables a suministrar. VA de los flujos de caja en caso de continuar el proyecto (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S)) Fondos recibidos en caso de abandonar el proyecto (Equiv. Precio de ejercicio (K)) Fecha de valoración Fecha de vencimiento de la opción de abandono Fecha de vencimiento del proyecto Desviación típica del presupuesto de capital requerido (simulación) ó desviación típica media del valor de las empresas de la industria (equiv. Volatilidad subyacente) Tasa de dto (rentabilidad de deuda con vto similar a la opción) Modelos de Valoración de Opciones

Opciones reales - Opción de flexibilidad financiera de una empresa (I) Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Opciones reales - Opción de flexibilidad financiera de una empresa (I) Objetivo: valoración de la flexibilidad financiera de una empresa. Programa: Black_Scholes_opciones_reales.xls. Ubicación: Hoja Flexib finan. Variables a suministrar. Necesidades anuales de reinversión (CAPEX + Cambios en el Fondo de Maniobra) como % del valor de mdo. de la empresa (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S)) Necesidades anuales de reinversión como % del valor de mdo. de la empresa que pueden ser financiadas sin "flexibilidad financiera", i.e, en caso de no emplear fuentes de financiación ajena, serían los fondos disponibles en la empresa tras repagar la deuda como % sobre el valor de mercado de la empresa (Equiv. Precio de ejercicio del límite inferior (K)) Necesidades anuales de reinversión como % del valor de mdo. de la empresa que pueden ser financiadas como máximo sí se dispone de "flexibilidad financiera" (Equiv. Precio de ejercicio del límite superior(K)) Fecha de valoración, Fecha de vto Desviación típica de las necesidades de reinversión sobre el valor de la empresa (equiv. Volatilidad subyacente) WACC , RoC, Tasa de dto (rentabilidad de deuda con vto similar a la opción) Modelos de Valoración de Opciones

Modelos de Valoración de Opciones Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Opciones reales - Opción de flexibilidad financiera de una empresa (II) Análisis: Perfil de resultados. Sensibilidad de la opción ante variaciones del activo subyacente (delta). Modelos de Valoración de Opciones

Opciones reales - Valoración de los Recursos Propios Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Opciones reales - Valoración de los Recursos Propios Objetivo: valoración de los recursos propios de una compañía como una opción. Programa: Black_Scholes_opciones_reales.xls. Ubicación: Hoja RR.Pp. Variables a suministrar. Valor de los activos (VA flujos de caja generados por éstos descontado al WACC). (equivalente al Precio del activo subyacente en t=o (S)). Nominal e intereses comprometidos de la deuda viva (equivalente al Precio de ejercicio (K)). Tasa de dividendos durante la vida de la opción (anualizada). Duración media de la deuda. Tasa de descuento (rentabilidad de deuda con vencimiento similar a la opción). Volatilidad. En empresas cotizadas: se utilizará la volatilidad media de las acciones y bonos emitidos por la empresa. En empresas no cotizadas: se utiliza la desviación típica de la industria a la que pertenece la empresa. Modelos de Valoración de Opciones

Opciones reales - Valoración de una patente Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Opciones reales - Valoración de una patente Objetivo: valoración de una patente como una opción de compra. Programa: Black_Scholes_opciones_reales.xls. Ubicación: Hoja patente. Variables a suministrar. VA de los flujos de caja de desarrollar la patente ahora. (equivalente al Precio del activo subyacente en t=o (S)). VA de los costes de desarrollo de la patente (equivalente al Precio de ejercicio (K)). Desviación típica del valor de las empresas de la industria, o de los presupuestos de capital de la patente obtenidos en una simulación. Duración de la exclusividad de la patente. Tasa de descuento (rentabilidad de deuda con vencimiento similar a la opción). Coste anual de retrasar la inversión (% sobre el VA de los flujos de caja). Modelos de Valoración de Opciones

Opciones reales - Explotación de las reservas de un recurso natural Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Opciones reales - Explotación de las reservas de un recurso natural Objetivo: valoración de la explotación de las reservas de un recurso natural Programa: Black_Scholes_opciones_reales.xls Ubicación: Hoja recursos naturales Variables a suministrar Reservas del recurso natural (unidades físicas) Precio medio unitario del recurso en el mercado Coste marginal de extracción del recurso natural Inversión inicial requerida para que el recurso esté en condiciones de explotación (equivalente al Precio de ejercicio (K)) Años hasta la pérdida de los derechos de explotación o agotamiento de las reservas (equivalente al Tiempo al vencimiento. (Años)) Flujo de caja anual después de impuestos tras la explotación del recurso natural Desviación típica del precio del recurso natural (equivalente a la volatilidad subyacente) Tasa de descuento (rentabilidad de deuda con vencimiento similar a la opción) Modelos de Valoración de Opciones

Black – Opciones sobre tipos de interés Caplets - Floorlets Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Black – Opciones sobre tipos de interés Caplets - Floorlets Objetivo: valoración de caplets / floorlets o de una cartera de ellos (cap/floor). Programa: Black_opciones_tipos_interes.xls. Ubicación: Hoja Cap & Floor. Variables a suministrar. Fecha inicio. Tipo de interés ejercicio. Volatilidad. Fecha vencimiento. Nocional. Curva cupón cero (sí se opta por valorar un cap / floor). Modelos de Valoración de Opciones

Black – Valoración Caplets y Floorlets - Funciones VBA Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Black – Valoración Caplets y Floorlets - Funciones VBA Alternativamente a la aplicación desarrollada, se pueden utilizar las siguientes funciones: Modelos de Valoración de Opciones

Black – Opciones sobre tipos de interés - Swaptions Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Black – Opciones sobre tipos de interés - Swaptions Objetivo: valoración de un receiver/payer swaption. Programa: Black_opciones_tipos_interes.xls. Ubicación: Hoja Swaption. Variables a suministrar. Fecha inicio. Tipo de interés ejercicio. Volatilidad. Fecha vencimiento. Nocional. Curva cupón cero. Modelos de Valoración de Opciones

Black – Valoración Swaptions - Funciones VBA Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Black – Valoración Swaptions - Funciones VBA Alternativamente a la aplicación desarrollada, se pueden utilizar las siguientes funciones: Modelos de Valoración de Opciones

Árboles Binomiales - Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Árboles Binomiales - Introducción Una técnica muy útil y conocida para valorar una opción sobre acciones implica el uso de lo que se conoce como árbol binomial. Éste es un árbol que representa diferentes trayectorias posibles que pueden ser seguidas por el precio de las acciones durante la vida de la opción El planteamiento seguido fue desarrollado en importante trabajo publicado por Cox, Ross y Rubinstein en 1976 Los modelos contenidos en esta sección de la OLC son de aplicación a: Tipo de opción: Call - Put Tipo de opción (ejercicio): Europea - Americana Tipo de activo subyacente: Sin reparto de dividendos - Con reparto de dividendos Los programas desarrollados son cuatro, a saber: Binomial_Europeas.xls – Valoración Opciones Europeas por el método binomial Binomial_Europeas_Dividendos.xls - Valoración Opciones Europeas por el método binomial sobre acciones que distribuyen dividendos Binomial_Americanas.xls – Valoración Opciones Americanas por el método binomial Binomial_Americanas_Dividendos.xls - Valoración Opciones Americanas por el método binomial sobre acciones que distribuyen dividendos Las hojas de cálculo permiten: Obtenerse el árbol completo de valoración de una opción empleando hasta 100 iteraciones Utilizar las funciones de VBA integradas en la hoja de cálculo en orden a la obtención del valor de la opción, obviando el desarrollo del árbol, y pudiendo utilizar un mayor número de iteraciones Modelos de Valoración de Opciones

Fundamentos de valoración (I) Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Fundamentos de valoración (I) p 1-p Evolución del precio del activo subyacente S0 p 1-p T: tiempo en años hasta el vencimiento N: número de perídos s: volatilidad anualizada r*: tipo de interés libre de riesgo (continuo) r: tipo de interés anual libre (compuesto) Modelos de Valoración de Opciones

Fundamentos de valoración (II) Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Fundamentos de valoración (II) Así el valor de las opciones CALL y PUT será Para n períodos Modelos de Valoración de Opciones

Árboles Binomiales - Aplicación Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Árboles Binomiales - Aplicación Variables a suministrar Activo sin dividendos. Activo subyacente So. Precio de ejercicio. Tipo de interés. Tiempo al vencimiento. Volatilidad anualizada. Nº iteraciones (max 100). Activo con dividendos. Nº periodos (max 100). Período de pago del dividendo. Importe bruto dividendo. Reducción del precio ex dividendo. Modelos de Valoración de Opciones

Árboles Binomiales – Funciones VBA Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Árboles Binomiales – Funciones VBA Alternativamente a las cuatro aplicaciones desarrolladas, sí únicamente se desea conocer el precio de la opción calculada a través del método de árbol binomial, se pueden utilizar las siguientes funciones: Modelos de Valoración de Opciones

Árboles Binomiales – Simulaciones Opciones Europeas y Exóticas Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Árboles Binomiales – Simulaciones Opciones Europeas y Exóticas La técnica de los árboles binomiales es de especial utilidad para determinar el precio de opciones cuyo valor depende total o parcialmente de cómo se ha llegado al precio final, y no exclusivamente de la cuantía de éste. Pueden valorarse las siguientes opciones. Asiáticas: el valor de la opción depende del precio medio que haya seguido el activo subyacente a lo largo de la vida de la opción. Lookback: el precio (St) del activo subyacente con el que se determinará el valor de la opción será el mínimo/máximo registrado a lo largo de la vida de la opción call/put. Knockout: Sí el precio perfora un nivel mínimo (call) o máximo (put) la opción tendrá valor cero. As you like it: el titular de la opción decide en la fecha de vencimiento sí desea que la opción sea call o put. El programa desarrollados se encuentra en el fichero Binomial_Exoticas.xls. El programa permite: Obtener la representación gráfica y la tabla de valoraciones en función del precio del activo subyacente. Utilizar las funciones de VBA integradas en la hoja de cálculo en orden a la obtención del valor de la opción. Modelos de Valoración de Opciones

Árboles Binomiales – Aplicación - Opciones Europeas y Exóticas Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Árboles Binomiales – Aplicación - Opciones Europeas y Exóticas Variables a suministrar Activo subyacente So. Precio de ejercicio. Tipo de interés. Tiempo al vencimiento. Volatilidad anualizada. Número de simulaciones. Número de iteraciones. S knockout call. S knockout put. Resulta de especial utilidad comprobar como por ejemplo las opciones asiáticas al utilizar una media y por tanto, atenuar las variaciones, abarata las opciones call, o como el valor de una opción call se reduce al incrementar el nivel knockout. Así, podemos comprobar empíricamente aquello que nos indica la intuición. Modelos de Valoración de Opciones

Árboles Binomiales – Opciones Exóticas - Funciones VBA Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Árboles Binomiales – Opciones Exóticas - Funciones VBA Alternativamente a la aplicación desarrolladas, sí únicamente se desea conocer el precio de la opción exótica calculada a través del método de árbol binomial, se pueden utilizar las siguientes funciones: Modelos de Valoración de Opciones

Modelos de Valoración de Opciones Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Introducción La valoración de opciones exóticas, exige la utilización de procedimientos alternativos. Uno de ellos consiste en simular diversas trayectorias del activo subyacente, y calcular de conformidad con los fundamentos de la opción (asiática, lookback,....) su valor. Pueden valorarse las siguientes opciones. Asiáticas: el valor de la opción depende del precio medio que haya seguido el activo subyacente a lo largo de la vida de la opción. Lookback: el precio (St) del activo subyacente con el que se determinará el valor de la opción será el mínimo/máximo registrado a lo largo de la vida de la opción call/put. Knockout: Sí el precio perfora un nivel mínimo (call) o máximo (put) la opción tendrá valor cero. As you like it: el titular de la opción decide en la fecha de vencimiento sí desea que la opción sea call o put. El programa desarrollados se encuentra en el fichero Box_Muller_Exoticas.xls. El programa permite: Obtener la representación gráfica y la tabla de valoraciones en función del precio del activo subyacente. Utilizar las funciones de VBA integradas en la hoja de cálculo en orden a la obtención del valor de la opción. Modelos de Valoración de Opciones

Simulación - Opciones Europeas y Exóticas Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Simulación - Opciones Europeas y Exóticas Objetivo: valoración de opciones europeas y exóticas sobre acciones con una tasa de reparto de dividendos continua. Programa: Box_Muller_Exoticas.xls Variables a suministrar Activo subyacente So. Precio de ejercicio. Tipo de interés. Tiempo al vencimiento. Tasa de dividendos continua. Volatilidad anualizada. Número de simulaciones Número de iteraciones S knockout call S knockout put Análisis: Perfil de resultados de opciones convencionales y exóticas en un entorno de simulación de Montecarlo. Modelos de Valoración de Opciones

Simulación - Opciones Europeas y Exóticas Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Simulación - Opciones Europeas y Exóticas Objetivo: ilustrar la simulación de Montecarlo utilizada a través del procedimiento Box Muller. Programa: Box_Muller_Montecarlo.xls Grafico_Sendas_precios.xls Variables a suministrar Activo subyacente So. Precio de ejercicio. Tipo de interés. Tiempo al vencimiento. Tasa de dividendos continua. Volatilidad anualizada. Número de simulaciones Número de iteraciones Análisis: Perfil de resultados de opciones europeas y asiáticas en un entorno de simulación de Montecarlo. Tabla con precios generados y estadísticos de resumen Gráfico de sendas de precios (al abrir actualizar vínculos) Modelos de Valoración de Opciones

Simulación de Montecarlo – Box Muller - Funciones VBA Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Simulación de Montecarlo – Box Muller - Funciones VBA Alternativamente a la aplicación desarrolladas, se pueden utilizar las siguientes funciones: Modelos de Valoración de Opciones

Muestreo en una distribución Normal – Box Muller e Inversión de Moro Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Muestreo en una distribución Normal – Box Muller e Inversión de Moro A los efectos de ilustrar el procedimiento de extracción de muestras de una distribución normal (empleada en los procesos de Gauss-Wiener), puede consultar el fichero Muestreo_Distribucion_Normal.xls, que ofrece la posibilidad de extraer muestras de hasta 20.000 observaciones por el algoritmo de Box Muller o a través de la Inversión de Moro Modelos de Valoración de Opciones

Simulación de Montecarlo Relevancia del número de simulaciones Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Simulación de Montecarlo Relevancia del número de simulaciones Objetivo: ilustrar la importancia del número de iteraciones en una simulación de Montecarlo. Programa: Montecarlo_factores.xls Variables a suministrar Activo subyacente So. Precio de ejercicio. Tipo de interés. Tiempo al vencimiento. Volatilidad anualizada. Número de simulaciones Número de iteraciones Análisis: Tabla y gráfico en tres dimensiones (iteraciones vs simulaciones) para apreciar las variaciones en la prima. Modelos de Valoración de Opciones

Black Scholes: convergencias de valoración Introducción Límites de valoración Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Black Scholes: convergencias de valoración Objetivo: ilustrar la convergencia de diversos métodos de valoración respecto a la valoración de Black Scholes. Programa: Convergencias.xls Variables a suministrar Activo subyacente So. Precio de ejercicio. Tipo de interés. Tiempo al vencimiento. Volatilidad anualizada. Número de simulaciones Número de iteraciones Modelos de Valoración de Opciones

Modelos de Valoración de Opciones Límites de valoración Black Scholes Opciones reales: extensiones del modelo de Black Scholes Opciones sobre tipos de interés Árboles binomiales Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas Notas finales Links de interés Microsoft PowerPoint Viewer 97 (versión 2000) Visor de presentaciones Power Point. Útil en caso de carecer de la aplicación completa. http://www.microsoft.com/downloads/details.aspx?displaylang=es&FamilyID=7C404E8E-5513-46C4-AA4F-058A84A37DF1 Excel 97/2000 Viewer Visor de hojas de cálculo Excel. Permite visualizar e imprimir una hoja de cálculo. Útil en caso de carecer de la aplicación completa. http://www.microsoft.com/downloads/details.aspx?FamilyID=4EB83149-91DA-4110-8595-4A960D3E1C7C&displaylang=EN * Aplicaciones gratuitas y de libre distribución Modelos de Valoración de Opciones