DISEÑO DE MAQUINAS I

COLUMNA Una columna es una barra recta y larga que se somete a cargas axiales de compresión. Debido a su forma las columnas tienden a deformarse lateralmente bajo la acción de una carga, y si la deflexión se hace mas grande fallan catastróficamente. Abaleo se define como una deformación grande y repentina de una estructura provocada por un ligero incremento de la carga existente, bajo la cual la estructura había presentado muy poca o ninguna deformación, antes del incremento de la carga.

Regímenes de equilibrio

Columnas cargadas concéntricamente Material elástico lineal En la Eq 1 se describe el momento como Eq 1 𝑀=−𝐸𝐼 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 Para el equilibrio de la sección de la barra se requiere que 𝑀=𝑃𝑦. Sustituyendo esto en la Eq 1 se obtiene Eq2 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 + 𝑃 𝐸𝐼 𝑦=0 Esta es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. La solución general de esta ecuación es: Eq 3 𝑦= 𝐶 1 sen 𝑥 𝑃 𝐸𝐼 + 𝐶 2 cos 𝑥 𝑃 𝐸𝐼

Donde 𝐶 1 𝑦 𝐶 2 =𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 las condiciones de frontera son: 𝑦=0 𝑒𝑛 𝑥=0 → 𝐶 2 =0 𝑦=0 𝑒𝑛 𝑥=𝑙 → 𝐶 1 sen 𝑙 𝑃 𝐸𝐼 =0 Eq 4 Sin embargo, 𝐶 1 no puede ser igual a cero; de otra forma, existe una solución trivial de 𝑦=0 y la columna siempre permanecerá recta, lo cual es contrario a la experiencia que se tiene en la practica. La otra posibilidad de satisfacer la Eq 4, para que se cumpla: Eq 5 sen 𝑙 𝑃 𝐸𝐼 =0

Que se satisface cuando Eq 6 𝑙 𝑃 𝐸𝐼 =𝑛𝜋 Eq 7 𝑃= 𝑛 2 𝜋 2 𝐸𝐼 𝑙 2 Donde 𝑛=1,2,… El valor mas pequeño de 𝑃 se obtiene para 𝑛=1. de esta forma, la carga critica para una columna con extremos articulados es Eq 8 𝑃 𝑐𝑟 = 𝜋 2 𝐸𝐼 𝑙 2 𝑃 𝑐𝑟 Se denomina carga de Euler Las columnas se diseñan de manera que la mayoría de su área de sección transversal se localice tal lejos como sea posible de los ejes centroidales principales de la sesión

Sustituyendo la Eq 6 y 𝐶 2 =0 en la ecuación de deflexión (Eq 3) se obtiene la forma del alabeo como Eq 9 𝑦= 𝐶 1 sen 𝜋𝑥 𝑙 Cuando 𝑥= 𝑙 2 , 𝑦= 𝑦 𝑚á𝑥 y 𝐶 1 = 𝑦 𝑚á𝑥 Eq 10 ∴𝑦= 𝑦 𝑚á𝑥 sen 𝜋𝑥 𝑙 𝑟 𝑔 = 𝐼 𝐴 El radio de giro 𝑟 𝑔 se proporciono en la ecuación Re 1. Sustituyéndolo en la Eq 8 se obtiene el esfuerzo critico para la ecuación de Euler como: Eq 11 𝜎 𝑐𝑟 𝐸 = 𝑃 𝑐𝑟 𝐴 = 𝜋 2 𝐸 𝑙 𝑟 𝑔 2

Alabeo inelástico Con frecuencia la Eq 11 se modifica como: Donde 𝐸 𝑡 es el modulo tangente (es decir, el modulo elástico en el nivel de esfuerzo en la columna). La anterior ecuación se denomina el modulo tangente u ecuación de Essenger.

Condiciones de los extremos La carga y el esfuerzo critico que se proporcionaron en las Eq 8 y 11, respectivamente, se modifican simplemente reemplazando 𝑙 con la longitud efectiva 𝑙 𝑒 de la condición del extremo correspondiente. Sustituyendo 𝑙 𝑒 por 𝑙 en las Eq 8 y 11 se obtiene: Eq 13 𝑃 𝑐𝑟 𝐸 = 𝜋 2 𝐸𝐼 𝑙 𝑒 2 Eq 14 𝑃 𝑐𝑟 𝐸 = 𝑃 𝑐𝑟 𝐸 𝐴 = 𝜋 2 𝐸 𝑙 𝑒 𝑟 𝑔 2 Estas ecuaciones de la carga y el esfuerzo críticos de los criterios de Euler son validas para cualquier condición de los extremos.

En la anterior tabla se presentan las recomendaciones mínimas del American Institute of Steel Construction (AISC)

Criterio de alabeo de Euler El criterio del American Instituted of Steel Construction (1989) supone que existe el limite proporcional de un material a la mitad de la resistencia a la frecuencia, o que el esfuerzo permisible para el alabeo elástico es: Eq 15 𝜎 𝑝𝑒𝑟𝑚 =0,5 𝑆 𝑦 Sustituyendo la Eq 15 en la 14, se obtiene la razón de esbeltez 𝐶 𝑐 por medio de la formula de Euler como: Eq 16 𝐶 𝑐 = 𝑙 𝑒 𝑟 𝑔 𝐸 = 2𝐸 𝜋 2 𝑆 𝑦

Criterio de alabeo de Johnson Dado el cambia abrupto en la curva de Euler cuando se aproxima a la resistencia la fluencia se requiere una modificación empírica propuesta por Johnson quien consigue esta modificación mediante una ecuación parabólica. Ecuación de Johnson Eq 17 𝜎 𝑐𝑟 𝑗 = 𝑃 𝑐𝑟 𝑗 𝐴 = 𝑆 𝑦 − 𝑆 𝑦 2 4 𝜋 2 𝐸 𝑙 𝑒 𝑟 𝑔 2 Para determinar el valor de 𝑙 𝑒 𝑟 𝑔 𝑇 , se igualan las ecuaciones de Euler y Johnson (Eq 14 y 17): Eq 18 𝑙 𝑒 𝑟 𝑔 𝑇 4 − 4 𝜋 2 𝐸 𝑆 𝑦 𝑙 𝑒 𝑟 𝑔 𝑇 2 + 4 𝜋 4 𝐸 2 𝑆 𝑦 2 =0 Despejando 𝑙 𝑒 𝑟 𝑔 𝑇 se obtiene Eq 19 𝑙 𝑒 𝑟 𝑔 𝑇 = 2 𝜋 2 𝐸 𝑆 𝑦 = 𝜋 2 𝐸𝐴 𝑃 𝑐𝑟 Si 𝑙 𝑒 𝑟 𝑔 ≤ 𝑙 𝑒 𝑟 𝑔 𝑇 , se deberá usar la ecuación de Johnson del esfuerzo; si 𝑙 𝑒 𝑟 𝑔 ≥ 𝑙 𝑒 𝑟 𝑔 𝑇 , se deberá usar la ecuación de Euler

Relación entre la ecuación de Euler y la Johnson

Áreas de secciones transversales sometidas a pandeo

Criterio del AISC En las ecuaciones de las AISC se hacen correcciones por reducciones en el modulo elástico cuando el esfuerzo en la columna excede el limite de proporcionalidad. El esfuerzo normal permisible para el alabeo elástico esta dado por: Eq 20 𝜎 𝑝𝑒𝑟𝑚 = 12 𝜋 2 𝐸 23 𝑙 𝑒 𝑟 𝑔 2 Para alabeo inelástico Eq 21 𝜎 𝑝𝑒𝑟𝑚 = 1− 𝑙 𝑒 𝑟 𝑔 2 2 𝐶 𝑐 2 𝑆 𝑦 𝑛 𝜎 Donde 𝐶 𝑐 = razón de esbeltez para el alabeo de Euler definido por la Eq 16 𝑛 𝜎 = reducción en el esfuerzo permisible dada por Eq 22 𝑛 𝜎 = 5 3 + 3 𝑙 𝑒 𝑟 𝑔 8 𝐶 𝑐 − 𝑙 𝑒 𝑟 𝑔 3 8 𝐶 𝑐 3 La American Association of State Highway and Transportation Officials (AASHTO) usan 𝑛 𝜎 =2.12 tanto para alabeo elástico como inelástico

Columnas cargadas excéntricamente

El momento interno de una columna es: Eq 23 𝑀=𝑃(𝑒+𝑦) Ecuación diferencial para la curva de deflexión: Eq 24 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑥 2 + 𝑃𝑦 𝐸𝐼 =− 𝑃𝑒 𝐸𝐼 =𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Si la excentricidad es cero, las Eq 24 y 1 son idénticas. La solución general para la Eq 24 es: Eq 25 𝑦= 𝐶 1 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑃 𝐸𝐼 + 𝐶 2 cos 𝑥 𝑃 𝐸𝐼 −𝑒 Las condiciones de frontera son 𝑥=0, 𝑦=0 → 𝐶 2 =𝑒 𝑥= 𝑙 2 , 𝜕 𝑦 𝜕 𝑥 =0

Al derivar la Eq 25 se obtiene Eq 26 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝐶 1 𝑃 𝐸𝐼 cos 𝑥 𝑃 𝐸𝐼 −𝑒 𝑃 𝐸𝐼 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑃 𝐸𝐼 Con la Eq 26 y la condición de frontera 2 resulta: Eq 27 𝐶 1 =𝑒 tan 𝑙 2 𝑃 𝐸𝐼 Sustituyendo 𝐶 2 =𝑒 y la Eq 27 en la 25 se obtiene: 𝑦=𝑒 tan 𝑙 2 𝑃 𝐸𝐼 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑃 𝐸𝐼 + cos 𝑥 𝑃 𝐸𝐼 −1

La deflexión máxima ocurre en 𝑥= 𝑙 2 Eq 28 ∴ 𝑦 𝑚á𝑥 =𝑒 𝑠𝑒𝑛 2 𝑙 2 𝑃 𝐸𝐼 cos 𝑙 2 𝑃 𝐸𝐼 + cos 𝑙 2 𝑃 𝐸𝐼 −1 Eq 29 𝑦 𝑚á𝑥 =𝑒 sec 𝑙 2 𝑃 𝐸𝐼 −1 El esfuerzo máximo en la columna es causado por la carga axial y por el momento. El momento máximo ocurre a media altura de la columna y tiene una magnitud de: 𝑀 𝑚á𝑥 = 𝑃 𝑒+ 𝑦 𝑚á𝑥 Eq 30 𝑀 𝑚á𝑥 =𝑃𝑒 sec 𝑙 2 𝑃 𝐸𝐼

El esfuerzo máximo y de deflexión es: 𝜎 𝑚á𝑥 = 𝑃 𝐴 + 𝑀 𝑚á𝑥 𝑐 𝐼 Utilizando la Eq 30 se obtiene 𝜎 𝑚á𝑥 = 𝑃 𝐴 + 𝑃𝑒𝑐 𝐼 sec 𝑙 2 𝑃 𝐸𝐼 Como el radio de giro es 𝑟 𝑔 2 = 𝐼 𝐴 , la ecuación anterior se transforma en: Eq 31 𝜎 𝑚á𝑥 = 𝑃 𝐴 1+ 𝑒𝑐 𝑟 𝑔 2 sec 𝑙 2 𝑟 𝑔 𝑃 𝐸𝐴

𝑃= carga critica donde el alabeo ocurrirá en la columna con carga excéntrica, N. 𝐴= área de la sección transversal de la columna, 𝑚 2 . 𝑒= excentricidad de la carga, medida desde el eje neutro del área de la sección transversal de la columna hasta la línea de acción de la carga, m. 𝑐= distancia desde el eje neutro a la fibra externa de la columna, m. 𝑟 𝑔 = radio de giro, m. 𝑙= longitud antes de la aplicación de la carga, m. 𝐸= modulo de la elasticidad del material de la columna, Pa. Para las condiciones de los extremos no articulados, la longitud se reemplaza con la longitud efectiva y las Eq 29 y 31 se transforma en: Eq 32 𝑦 𝑚á𝑥 =𝑒 sec 𝑙 𝑒 2 𝑃 𝐸𝐼 −1 Eq 33 𝜎 𝑚á𝑥 = 𝑃 𝐴 1+ 𝑒𝑐 𝑟 𝑔 2 sec 𝑙 𝑒 2 𝑟 𝑔 𝑃 𝐸𝐴 El parámetro 𝑒𝑐 𝑟 𝑔 2 se denomina la razón de excentricidad. La Eq 32 se conoce como ecuación de la secante. Observe en la Eq 33 que no es conveniente calcular la carga explícitamente.

Si 𝜎 𝑚á𝑥 = 𝜎 𝑝𝑒𝑟𝑚 = 𝑆 𝑦 2 , la Eq 33 se transforma en Eq 34 𝑃= 𝑆 𝑦 𝐴 2 1+ 𝑒𝑐 𝑟 𝑔 2 sec 𝑙 𝑒 2 𝑟 𝑔 𝑃 𝐸𝐴 =𝑓(𝑃) Un dato inicial para 𝑃 es el valor que se obtiene de la condición de carga concéntrica: Eq 35 𝑃= 𝑃 𝑐𝑟 Usando la Eq 35 en la 34 se obtiene un nuevo valor de 𝑃. Este proceso se continua hasta: Eq 36 𝑃−𝑓(𝑃) 𝑓(𝑃) ≤1× 10 −4