Axiomas de un espacio vectorial Álvarez Lapizco Miguel Ángel 13211477

El espacio vectorial En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo), con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Definición y propiedades básicas El espacio vectorial Rn es un conjunto de elementos llamados vectores en los que se definen dos operaciones, la adición y la multiplicación por un escalar. Se sabe que el espacio vectorial Rn es cerrado bajo estas operaciones; las suma de dos vectores en Rnpertenece a Rn y la multiplicación por un escalar en Rn también pertenece a Rn. El espacio vectorial Rn también posee otras propiedades algebraicas. Por ejemplo, se sabe también que los vectores en Rn son conmutativos y asociativos bajo la adición: u + v = v + u u + (v + w) =(u + v) + w

Axiomas de un espacio vectorial 1.- Si x Є V y y Є V, entonces x + y Є V (Cerradura bajo la suma). 2.- Para todo x, y, z en V, (x + y) + z = x + (y + z) (Ley asociativa de la suma de vectores) 3.- Existe un vector 0 Є V tal que para todo  x Є V, x + 0 = 0 + x = x 4.- Si x Є V, existe un vector –x en V tal que x + (–x) = 0 (–x se llama inverso aditivo de x)

Axiomas de un espacio vectorial 5.- Si x y y están en V, entonces x + y = y + x. (Ley conmutativa de la suma de vectores). 6.- Si x Є V y α es un escalar, entonces αx Є V (Cerradura bajo la multiplicación por un escalar). 7.- Si x y y estan en V y a es un escalar, entonces a(x + y) = ax + ay (Primer Ley Dsitributiva).

Axiomas de un espacio vectorial 8.- Si x Є V y α y β son escalares, entonces (α + β)x = αx + βx (Segunda ley distributiva) 9.- Si x Є V y α y β son escalares, entonces α(βx) = (αβ)x (Ley asociativa de la multiplicación por escalares) 10.- Para cada vector x Є V, 1x = x.

Ejemplos Ej. 1: Espacios vectoriales de matrices. Considere el conjunto de matrices reales de 2 x 2. Denote este conjunto como M22. En la sección de matrices se definieron las operaciones de adición y multiplicación por un escalar en este conjunto y, de hecho, éste forma un espacio vectorial. Se analizarán algunos axiomas para comprobar esto.

ejemplos dos matrices de 2 x 2 cualesquiera. Se tiene entonces que: Axioma 1: u + v es una matriz de 2 x 2. Por consiguiente, M22 es cerrada bajo la adición. Axiomas 2 y 5: De acuerdo al tema anterior de matrices, se sabe que las matrices de 2 x 2 son conmutativas y asociativas bajo la adición.

ejemplos Axioma 3: La matriz cero de 2 x 2 es , puesto que: Axioma 4: Si , entonces ya que

Gracias por su atención. álgebra lineal Gracias por su atención.