Simulacion de sistemas dinamicos Principios básicos de la integración numérica

Contenido El dominio de estabilidad numérica Cálculo del dominio de estabilidad numérica Iteración de punto fijo Iteración de Newton Conclusiones

El dominio de estabilidad numérica Basado en el libro de Cellier, F.E. and E. Kofman (2006), Continuous System Simulation, Springer-Verlag, New York El dominio de estabilidad numérica

Dominio de estabilidad analítica Un sistema lineal invariante en el tiempo autónomo puede ser representado usando el modelo La solución analítica es La solución es analíticamente estable si Región de estabilidad analítica en el plano λ

Dominio de estabilidad numérica para Euler directo

Integración numérica usando Euler directo Usando el algoritmo de Euler directo: El sistema original continuo se ha convertido en un sistema de tiempo discreto “equivalente”

Valores propios del sistema de tiempo discreto El sistema continuo autonomo original es El sistema de tiempo discreto autonomo “equivalente” es Demostrar! Si λ es un valor propio de A, entonces 1 + λ·h es un valor propio de F

Sistema de tiempo discreto equivalente En general, el sistema lineal de tiempo discreto “equivalente” puede expresarse usando Región de estabilidad numerica en el plano λ·h La region de estabilidad de un sistema de tiempo discreto es un circulo de radio unitario centrado en el origen

Simulación con el algoritmo de Euler directo 1 h = 1 Simulacion para valores de a = - 0.1, -1, -2 y -3 con paso de integracion fijo h = 1

Simulación con el algoritmo de Euler directo Simulación con el algoritmo de Euler directo del sistema: Con a = - 3.0 , a fin de obtener un resultado una exactitud del 0.15 %, el tamaño del paso debe ser h = 0.0001 ¡10.000 pasos de integración para simular 10 segundos!

El mayor paso de integración posible para Euler directo Dado un sistema lineal de segundo orden con dos valores propios complejos λ1 y λ2 Región de estabilidad numerica en el plano λ·h

El mayor paso de integración posible para Euler directo Dado un sistema lineal con valores propios complejos λi : Ejercicio Demuestre que el tamaño del paso hmarg para el cual el algoritmo directo de Euler dara marginalmente estable es: Ayuda: usar el teorema de Tales

Euler directo para sistemas marginalmente estables La limitacion en el valor de h es particularmente importante cuando los autovalores se encuentran cerca del eje imaginario. d se hace arbitrariamente pequeño Cuando los autovalores estan sobre el eje imaginario no existe ningun paso de integracion que permita obtener una solucion puramente oscilante

Dominio de estabilidad numérica para Euler inverso

Integración numérica usando Euler inverso Usando el algoritmo de Euler inverso: El sistema original continuo se ha convertido en un sistema de tiempo discreto “equivalente”

Valores propios del sistema de tiempo discreto El sistema continuo autonomo original es El sistema de tiempo discreto autonomo “equivalente” es ¿Si λ es un valor propio de A, cual es el valor propio de F ?

Región de estabilidad del Euler inverso Dominio de estabilidad numérica del algoritmo de Euler inverso El tamaño del paso de integración es dictado sólo por requerimientos de exactitud, No por estabilidad numérica Región de estabilidad numerica en el plano λ·h

Simulación con el algoritmo de Euler inverso Simulación con el algoritmo de Euler inverso del sistema: 1 h = 1 Este tipo de algoritmo es más apropiado que el Euler directo para resolver problemas con valores propios lejanos sobre el real negativo en el plano λ

Euler inverso y los sistemas Stiff Región de estabilidad numerica en el plano λ·h Apropiado para sistemas stiff, es decir, sistemas con autovalores cuyas partes reales estan desparramadas a lo largo del eje real negativo

Simulación con el algoritmo de Euler inverso Simulación con el algoritmo de Euler inverso del sistema: Con a = +3.0 el sistema original es inestable La simulación sugiere un sistema perfectamente estable Lección a aprender: Puede ser buena idea simular el sistema dos veces: Una vez con algoritmo que exhiba un dominio de estabilidad comparable con el algoritmo de Euler directo, Y otra con un algoritmo que se comporte como el algoritmo de Euler inverso

Implementación en matalb Cálculo del dominio de estabilidad numérica Implementación en matalb

Definición de la Matrix del sistema Considerando un sistema lineal de segundo orden con dos valores propios complejos λ1 y λ2 con la matriz λ1 y λ2 estan localizados sobre el círculo unitario lambda = cos(α) + j*sen(α) cos(α) – j*sen(α)

Definición de la Matrix del sistema Considerando un sistema lineal de segundo orden con dos valores propios complejos λ1 y λ2 con la matriz Implementación en MATLAB

Cálculo de la matriz F Euler directo Euler inverso

Cálculo del máximo valor de h Con h = hmax , los valores propios de F se encuentran en el círculo unitario Esta función trabaja para algoritmos con dominios de estabilidad similares al algoritmo Euler

Cálculo del dominio de estabilidad numérica Ejercicio: Hacer un grafico del valor de hmax en función de α, para el algoritmo Euler directo en coordenadas polares Utilice las funciones aa.m, ff.m, hh.m , y stabdom.m

Iteración de punto fijo

Euler inverso para sistemas no lineales En el caso de los sistemas lineales, en la simulación del algoritmo de Euler inverso la matriz F puede calcularse explícitamente En el caso no lineal esto no puede hacerse En el caso no lineal es necesario resolver un conjunto de ecuaciones algebraicas no lineales implícitas

Iteración de punto fijo Una posible aproximación: * Iniciar con una predicción * Continuar con la iteración de varias correcciones predictor: Iteration i corrector:

Iteración de punto fijo Una posible aproximación:

Iteración de punto fijo: caso lineal Cuando se aplica la reiteración de punto fijo para un sistema lineal, se tiene Después de un número infinito de interacciones entonces restando las dos ecuaciones La misma matriz F que en el caso del algoritmo de Euler inverso

Iteración de punto fijo: caso lineal Dominio de estabilidad numérica de la técnica predictor-corrector obtenido con el algoritmo que genera los dominios de estabilidad

Iteración de punto fijo: caso lineal La aproximación no funciona porque la serie infinita sólo converge si todos los valores propios de A·h se encuentran dentro del círculo unitario Si no es el caso, la resta de las ecuaciones es inválida Dentro del círculo unitario, el dominio de estabilidad numérica del método predictor-corrector es el mismo que para algoritmo de Euler inverso Fuera del círculo unitario, el método es inestable

Iteración de Newton

Iteración de Newton La iteración de Newton puede ser usada para determinar el cruce por cero de una función Cruce por cero

Iteración de Newton: caso escalar El algoritmo de Euler inverso aplicado a una ecuación diferencial escalar es Por lo tanto: Aplicando la iteración de Newton donde k es el numero del paso de integracion y l es el numero de veces que la iteracion de Newton fue aplicada en dicho paso

Iteración de Newton: extensión matricial La extensión matricial del algoritmo de iteración de Newton es Dada en términos de la matriz Hessiana de la iteración de Newton

Iteración de Newton: caso vectorial Aplicando la iteración de Euler al vector del modelo en espacio de estado y al algoritmo de Euler inverso, se tiene Dada en términos de la matriz Jacobiana del sistema dinámico

Iteración de Newton: caso vectorial Aplicando la iteración de Euler al vector del modelo en espacio de estado y al algoritmo de Euler inverso Matriz Hessiana inversión Jacobiana En cada iteración de Euler, en general, es necesario calcular la matriz Jacobiana, así como invertir la matriz Hessiana

Iteración de Newton: caso vectorial Si el sistema es lineal Entonces: La iteración de Newton no cambia el dominio de estabilidad numérica de un solver. Esto es cierto no solamente para el algoritmo de Euler inverso, si no tambien para todos los solvers numéricos

Conclusiones

Conclusiones En el análisis de un solver numérico, la estabilidad numérica del algoritmo debe ser siempre tomada en consideración La estabilidad numérica de la mayoría de los solvers puede ser representada por un dominio de estabilidad numérica, dibujado en el plano complejo λ·h

Conclusiones En el análisis de un solver numérico, la estabilidad numérica del algoritmo debe ser siempre tomada en consideración La estabilidad numérica de la mayoría de los solvers puede ser representada por un dominio de estabilidad numérica, dibujado en el plano complejo λ·h La estabilidad numérica de los solvers es usualmente analizada solamente para sistemas lineales autónomos invariantes en el tiempo

Conclusiones En el análisis de un solver numérico, la estabilidad numérica del algoritmo debe ser siempre tomada en consideración

Conclusiones En el análisis de un solver numérico, es también importante considerar la exactitud de la aproximación del algoritmo La exactitud numérica de un solver p está sujeta a diferentes tipos de error, tales como el error por truncado, el error por redondeo, y el error por acumulación

Conclusiones En el análisis de un solver numérico, es también importante considerar la exactitud de la aproximación del algoritmo La exactitud numérica de un solver p está sujeta a diferentes tipos de error, tales como el error por truncado, el error por redondeo, y el error por acumulación El más importante de estos errores es el error por truncado, que está caracterizado por el orden de la exactitud de la aproximación del solver

Fuentes Cellier, F.E. and E. Kofman (2006), Continuous System Simulation, Springer-Verlag, New York

FIN