LICEO “TAJAMAR” PROVIDENCIA Depto. Matemática

NIVEL: PRIMER AÑO MEDIO, FORMACIÓN GENERAL Sector: Matemática Jefe Departamento: Lautaro Opazo S. NIVEL: PRIMER AÑO MEDIO, FORMACIÓN GENERAL Profesor(es) responsable actividad: Carmen Quintanilla Ramos Correo electrónico: carmenquintanilla@hotmail.com Correos electrónicos de los profesores de matemática: anitamaria.lopezguerrero@gmail.com, lopazosilva@gmail.com ,maricepalv@gmail.com Fecha 10/2011

Nombre Unidad Temática: Algebra Contenidos a desarrollar en la Guía de Aprendizaje (CMO): - Multiplicación de Expresiones Algebraicas - Productos Notables

Objetivo de Aprendizaje: - Multiplicar Expresiones Algebraicas - Resolver Productos Notables Breve descripción de Guía de Aprendizaje y documentos de apoyo asociados (PPT, PDF, lecturas asociadas): Lectura del power Desarrollar guías de ejercicios  

Trabajo Individual o grupal : Desarrollo de guía por grupos de 3 o 4 integrantes Fecha máxima para la entrega de las respuestas de las alumnas: Siete días desde la fecha en que las Guías estén a disposición de las alumnas en la plataforma virtual.

Multiplicación La multiplicación es una operación, donde dadas dos cantidades llamadas factores, se halla una tercera cantidad llamada producto. Los símbolos para indicar la multiplicación son : x, ( ), ∙

Multiplicación Cuando los factores son literales se usan los dos últimos símbolos o ninguno Por ejemplo ab = (a) (b) ó ab = a ∙ b

Propiedades de la Multiplicación 1) Unicidad: El producto de dos o más factores es único. Ejemplo: El producto de 3 y 7 es siempre 21

Propiedades de la Multiplicación 2) Conmutatividad: El orden de los factores no alteran el producto. Ejemplo: (4)(5) = (5)(4) 20 = 20

Propiedades de la Multiplicación 3) Asociatividad: En la multiplicación de tres o más cantidades, los factores pueden agruparse de cualquier modo obteniéndose el mismo resultado. Ejemplo: 3 ∙ (4 ∙ 5) = (3 ∙ 4) ∙ 5 3 ∙ 20 = 12 ∙ 5 60 = 60

Propiedades de la Multiplicación 4) Distributividad: El producto de una cantidad por la suma de otros dos es igual a la suma de los productos de la primera cantidad por cada una de las otras dos.

Propiedades de la Multiplicación Ejemplo: 5 ∙ (4 + 6) = 5 ∙ 4 + 5 ∙ 6 5 ∙ 10 = 20 + 30 50 = 50

Propiedades de la Multiplicación 5) Neutro multiplicativo: El producto de cualquier cantidad por 1 es la misma cantidad. Ejemplo: 3 ∙ 1 = 3 250 ∙ 1 = 250 1 ∙ 403 = 403

Propiedades de la Multiplicación 6) Multiplicación por cero ( 0 ) : El producto de cualquier cantidad por cero es cero Ejemplo: 5 ∙ 0 = 0 0 ∙ 12 = 0

Propiedades de la Multiplicación 7) Producto Nulo: Si el producto de dos o más cantidades es cero, por lo menos una de ellas es cero. Si a ∙ b = 0, entonces a = 0 ó b = 0 o bien a = b = 0

Leyes de los Signos 1) El producto de dos cantidades del mismo signo es positivo + ∙ + = + ─ ∙ ─ = +

Leyes de los Signos 2) El producto de dos cantidades de diferentes signos es siempre negativo. + ∙ ─ = ─ ─ ∙ + = ─

Leyes de los Signos 3) El signo del producto de varios factores es positivo cuando tiene un número par de factores negativos o ninguno. Ejemplo: 5 ∙ 3 ∙ 6 = 90 ─ 3 ∙ 4 ∙ ─ 5 ∙ 6 = 360 - 3 ∙ - 4 ∙ - 5 ∙ - 6 = 360

Leyes de los Signos 4) El signo del producto de varios factores es negativo cuando tiene un número impar de factores negativos. Ejemplo: - 3 ∙ - 4 ∙ - 5 = - 60 - 6 ∙ - 2 ∙ - 1 = - 12

Signos de Agrupación En álgebra se utilizan los signos de agrupación para indicar con mayor claridad las operaciones que se efectúan. Los paréntesis se llaman signos de agrupación porque se usan para encerrar o incluir una expresión que representa un número en particular, es decir, para considerar dicha expresión como un todo

Signos de Agrupación Algunas expresiones algebraicas pueden necesitar dos o más conjuntos de paréntesis para indicar las operaciones necesarias. Por tal razón además de paréntesis redondos ( ) se usa el de corchetes [ ] y el de llaves { } para lograr mayor claridad entre las operaciones

Orden de las Operaciones En el lenguaje matemático son importantes los signos de operación y de agrupación para darle exactitud y claridad a las proposiciones. Es por eso que se establece un orden de operaciones, para evitar ambigüedades.

Orden de las Operaciones 1) Primero se debe simplificar la expresión dentro de los signo de agrupación, comenzando con los más interiores. 2) Se realizan las multiplicaciones y divisiones en el orden que aparezcan a partir de la izquierda. 3) Finalmente se efectúan las sumas algebraicas

Orden de las Operaciones También es conveniente tener presente algunas propiedades del Álgebra de potencias, como por ejemplo multiplicación de potencias:

Multiplicación En la multiplicación de polinomios distinguiremos tres casos: Monomio por Monomio Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales entre sí, haciendo uso del álgebra de potencias.

Multiplicación Monomio por Polinomio Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Dicho de otra forma se distribuye con respecto a cada término del polinomio.

Multiplicación Polinomio por Polinomio Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y se reducen los términos semejantes, si los hay.

Multiplicación Monomio por Monomio a ∙ b = b ∙ a Monomio por binomio a (c + d) = a ∙ c + a ∙ d Binomio por binomio (a + b) (c + d) = a ∙ c + a ∙ d + b ∙ c + b ∙ d Polinomio por polinomio (a + b + c + d)(e + f + g + h + j) = a (e + f + g + h + j) + b (e + f + g + h + j) + c (e + f + g + h + j) + d ( e + f + g + h + j) = a∙e + a∙f + a∙g + a∙h + a∙j + b∙e + b∙f + b∙g + b∙h + b∙j + c∙e + c∙f + + c∙g + c∙h + c∙j + d∙e + d∙f + d∙g + d∙h + d∙j

Ejemplos 1) (2x3) · (5x3) = 2 ∙5 ∙ = 10x6 2) (12x3) · (4x) = 12∙ 4 ∙ 3) 5 · (2x2 y3z) = 5 ∙ 2 ∙ x2 y3z = 10x2y3z

Ejemplos 4)(5x2y3z) · (2 y2z2) = 5 ∙ 2 ∙ = 10x2y5z3 5)(18x3y2z5) · (6x3yz2) = 18 ∙ 6 ∙ = 108x6y3z7 6)(−2x3) · (−5x) · (−3x2) = = - 2 ∙ - 5 ∙ -3 ∙ = −30x6

Ejemplos 7) (2x3)3 = 23 · (x3)3 = 2³ ∙ = 8x9

Ejemplos 9) =

Ejemplos 10) (x – 1)(x + 5) = x∙x + 5∙ x –1∙ x – 1∙5 = x2 + 4x – 5 11) (2a + b)(3a – b) = 2a ∙ 3a – 2∙a∙b + 3∙a∙b – b∙ b = 6a2 + ab – b2 12) (p + 2)(3p + 4) = p∙ 3p + 4p + 6p + 8  = 3p2 + 10p + 8

Ejemplos 10) (x – 3)(3x – 4) – ( x – 3) 2x = = 3 ∙ x ∙ x – 4 ∙ x – 3 ∙ 3x – 3 ∙ - 4 – (2x ∙ x – 3 ∙ 2x) = 3 x² - 4x – 9x + 12 – (2 x² - 6x) = 3 x² - 13x + 12 - 2x² + 6x = x² - 7x + 12

Ejemplos 11) (x + y + z)(x + 2y + 3z) = = x∙x + x∙2y + x∙3z + y∙x + y∙2y + y∙3z + + z∙x + z∙2y + z∙3z = x² + 2xy + 3xz + xy + 2y² + 3yz + xz + + 2yz + 3z² = x² + 2y² + 3z² + 3xy + 4xz + 5yz

Ejercicios Desarrolle y Resuelve los siguientes enunciados, reduce términos semejantes cuando lo amerite: 1) 5x · 4x · -2x =  2) 15x3y2z · 4xy2z · 3x2yz2 =  3) -4x2y2 · -2x4y2 · 3x5y3 = 4)–18pq3· -3p2q = 5) z3n+2 · 3zn-2 = 6) y2p-1 · y6 =

Ejercicios 7) 6 y2 · 12y = 8) –19m3n · -6m2n3 = 9) 3x3a+2 · - 4x4a-2 =  10) 7(a + b) =  11) 8(2x + 3y – 4z) =  12) 2a(4a + 2a2b + 3a2c) = 13) -3x(5x – 7x3y – 4x2y) =  14) –3ab(a2 - 2ab + b2) =

Ejercicios 15) –6xy2(3x2 – 5xy2 – 4x2y)=  16) 5(2x – 3y + 2z) + 3(5y – 3x – 2z) =  17) 8a(3a - 5y – 2z) – 6y(4a - 6y + 3z) =  18) 2(5a + 8b) – 3(3a2 - 5b) + 4a(a – 7b) =  19) 10 – 6(x – 5y) + 2(3x – 5 + 14y) =  20)(a + b)(a – b) =  21) (a + b)(a – 2b) + (a + b)(a + b) =  22) (x - 1)(x3 + x2 + x + 1) =  23) 2(x + 2)(x + 1) =

Ejercicios 24) 4(a + 4)(a – 2) = 25) 26xy – (9x – 8y)(5x + 2y) – (4y – 3x)(15x + 4y) =  26) (2x + 3y + 4z)(5x + 2y + z) = 27) (2x – y + 3z)(4x + 2y – z) = 28) (x + 4)(x + 3)(x + 2) =  29) 8 – a2(10a + 3b) – [9 – 2(14a - 7b) - 4(3a - 9b)] =  30)(x – y)(x3 + x2y + xy2 + y3) =

Productos Notables Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección

Productos Notables Cuadrado de Binomio El cuadrado de binomio es igual al cuadrado del primer término más o menos el doble producto del primero por el segundo término y el cuadrado del segundo término (a + b)² = a² + 2ab + b² (a – b)² = a² - 2ab + b²

Productos Notables Suma por Diferencia El producto de la suma por la diferencia entre dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo.  ( a + b) ∙ (a – b) = a² - b²

Productos Notables Cubo de Binomio El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, más o menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo término, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más o menos el cubo del segundo término  

Productos Notables (a + b)³ = a³ + 3a² b + 3ab² + b³ Cubo de Binomio (a + b)³ = a³ + 3a² b + 3ab² + b³ (a - b)³ = a³ - 3a² b + 3ab² - b³

Productos Notables Binomios con término común El producto de dos binomios con un término común es igual al cuadrado del término común, más el producto del término común con la suma algebraica de los otros dos términos, más el producto de los términos no comunes.

Productos Notables Binomio con término común (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

Productos Notables Trinomio al cuadrado (x + y + z)² = x² + y² + z² +2xy + 2xz + 2yz

Ejemplos: Cuadrado de Binomio 1.- (m + n)² = (m)² + 2(m)(n) + (n)² = m² + 2mn + n² 2.- (5x – 7y)² = (5x)² + 2(5x)(-7y) + (-7y)² = 25x² – 70xy + 49y² 3.- (ab – 1)² = (ab)² + 2(ab)(-1) + (-1)² = a²b² – 2ab + 1 4.- (3a³ + 5ab)² = (3a³)² + 2(3a³)(5ab) + (5ab)² = 9 a6 + 30 a 4 b + 25a²b²

Ejemplos Cuadrado de Binomio 5) (x + 5)² = x² + 10x + 25 6) (8 – a)² = 64 – 16 a + a² 7) (2x - 5)2 = 4x2 - 20 x + 25

Ejemplos Suma por Diferencia 1) (3x - 2) · (3x + 2) = = (3x)2 − 22 = 9x2 − 4 2) (3x - 5) · (3x - 5) = = (3x) 2 − 52 = 9x 2 − 25

Ejemplos Suma por su diferencia 3) (a + 9) (a – 9) = a² - 81 4) (2 a + 3)(2 a – 3) = 4 a² - 9 5) (m – n )( m + n ) = m² - n² 6) (p – q) (p + q) = p² - q²

Ejemplos Cubo de Binomio 11) (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 = 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27 12) (x + 2)3 = x 3 + 3 · x2 ·2 + 3 · x· 2 2 + 23 = x3 + 6 x2 + 12 x + 8 13) (3x - 2)3 = (3 x)3 − 3 · (3x)2 ·2 + 3 · 3x· 2 2 − 23 = 27x 3 − 54 x2 + 36 x − 8 14) (2x + 5)3 = (2 x)3 + 3 ·(2x)2 ·5 + 3 · 2x· 52 + 5 3 = 8x3 + 60 x2 + 150 x + 125

Ejemplos Binomio con término común 1) (x + 2)(x + 7 ) = x2 + (2 + 7)x + (2)(7) a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2 b) La suma de términos no comunes multiplicado por el término común es (2 + 7)x = 9x

Ejemplos Binomio con término común c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14 Entonces: (x + 2)(x + 7 ) = x2 + 9x + 14

Ejemplos Binomio con término común 2) (y + 9)(y - 4 )=y2 + (9 - 4)y + (9)(-4) a) El cuadrado del término común es (y)(y) = y2 b) La suma de términos no comunes multiplicado por el término común es (9 - 4)y = 5y

Ejemplos Binomio con término común c) El producto de los términos no comunes es (9)(-4) = -36 Entonces: (y + 9)(y - 4 ) = y2 + 5y - 36

Ejemplos Binomio con término común 3) (x + 3) (x + 2) = x² + (3 + 2)x + 3 ∙ 2 = x² + 5x + 6 4) (a + 8)(a – 7) = a² + (8 – 7)a + (8)(-7) = a² + a – 56 5) (p – 9)(p – 12) = p² + (- 9 – 12)p + (-9)(-12) = p² - 21p + 108

Ejercicios Desarrolla y resuelve los siguientes enunciados, reduce términos semejantes cuando lo amerite: 1) (1 – x)² = 2) (3x + 2y)² = 3) (5m – 2n)² = 4) (¼ a + ½ b)²

Ejercicios 5) (1 – 2p)(1 + 2p) = 6) (- 4a²b + 5b)(4a²b + 5b) = 7) (3m + 5n)(3m – 5n) = 8) (¾ x + ½ y)(¾ x - ½ y) = 9) (x – 1)³ = 10) (3m + 2n)³ = 11) (½ p - ¼ q)³

Ejercicios 12) (x – 5)(x + 2) = 13) (2y – 3a)(2y – a) = 14) (2z + 1)(2z - ½) = 15) (x² - 4)(x² - 9) = 16) (p – q)² - (p – q)(p + q) = 17) (m – 3)(4m – 4) – (m +2)³

Ejercicios 18) (t – 3)³ - (t + 2)³ = 19) (a + b +1)² = 20) (1 – x – y)² =