El Triángulo Trinomial Mi presentación va a ser sobre el Triángulo Trinomial, que no es más que un método para desarrollar un trinomio de manera rápida y sencilla, de forma parecida al Triángulo de Pascal para los binomios. Un trinomio es la suma de tres términos elevada a un número entero positivo. Helena Hdez. Obregón

Índice Introducción El Triángulo Trinomial El Teorema del Multinomio El Binomio de Newton El Triángulo de Pascal El Triángulo Trinomial Concepto Demostración El Teorema del Multinomio Empezaremos con una Introducción, donde repasaré lo que es el Binomio de Newton y explicaré en qué consiste el Triángulo de Pascal. A continuación, y basándonos en el Triángulo de Pascal, pasaremos al Triángulo Trinomial. Primero explicaré cómo se construye y cómo funciona, y después demostraré por qué funciona. Y por último, comentaré lo que es el Teorema Multinomial, que no es más que una generalización para el desarrollo de multinomios, es decir, sumas de múltiples términos, elevadas a un número positivo.

Introducción Como ya dije, empezamos con una introducción.

El Binomio de Newton Expresión (a + b)p Expansión de un binomio donde Un binomio no es más que la suma de dos términos elevada a un cierto número, que para este trabajo, se ha tomado como entero y positivo. Pues bien, Newton obtuvo una fórmula mediante la cual se podía desarrollar cualquier binomio, denominándose ésta Binomio de Newton. En esta fórmula (p m) se corresponden con los coeficientes del desarrollo del binomio. donde

El Triángulo de Pascal El triángulo de Pascal es un triángulo infinito de número enteros. Todas las filas del triángulo de Pascal se construyen de la misma manera: empiezan y terminan con un 1 y cada uno de los número siguientes se obtiene sumando los dos números que están justo encima en la fila anterior, de manera que las filas son simétricas. La importancia de este triángulo radica en el siguiente teorema: TEOREMA: Puesto que el número situado en la posición (fila p, columna m) del triángulo de Pascal (o de Tartaglia) viene dado por el número combinatorio (p m), se llega a que los números que forman dicho triángulo se corresponden con los coeficientes del desarrollo del binomio de Newton.

Índice Introducción El Triángulo Trinomial El Teorema del Multinomio El Binomio de Newton El Triángulo de Pascal El Triángulo Trinomial Concepto Demostración El Teorema del Multinomio Una vez claros los conceptos fundamentales, pasamos a explicar el Triángulo Trinomial.

El Triángulo Trinomial

Concepto Desarrollo de (a + b + c)p, con p є + Ejemplo: (a + b + c)5 1 5 10 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 El Triángulo Trinomial no es mas q una “extensión” de la idea del Triángulo de Pascal para trinomios, proporcionando así los coeficientes del desarrollo del trinomio. Primero se escriben las 5 primeras filas del triángulo de Pascal, y luego se incluye la fila 5 como una columna a la izquierda del triángulo. A continuación, se multiplican los componentes de cada fila del triángulo de Pascal por el número de la columna situada más a la izquierda de la misma fila.

Concepto (m, n) 1 5 10 20 30 a5-m · bn · cm-n (3, 2) a2 · b2 · c1 n 1 1 2 3 4 5 (m, n) m 1 2 3 4 5 1   5 10 20 30 a5-m · bn · cm-n La matriz resultante se denomina triángulo trinomial de orden 5. El elemento (m,n) de este triángulo es el coeficiente del término a5-m·bn·cm-n en la expansión de la expresión (a + b + c)5. (3, 2) a2 · b2 · c1

Concepto (a + b + c)5 = 1 + 5 + 10 + 20 + 30 + 1 a5 a4 a3 a2 a1 a0 b0   + 5 + 10 + 20 + 30 + 1 a5 a4 a3 a2 a1 a0 b0 c0 c1 c2 c3 c4 c5 b0 b1 a4 a3 a2 a1 a0 c0 c1 c2 c3 c4 b0 b1 b2 a3 a2 a1 a0 c0 c1 c2 c3 La expansión completa, con los términos escritos en las posiciones correspondientes del triángulo trinomial, se puede obtener siguiendo las siguientes pautas: - Las potencias de a se van decrementando de una fila a otra. - Las potencias de b se van incrementando de una columna a otra. - Las potencias de c se van incrementando de una fila a otra. Aunque, conocidos los valores de las potencias de a y b, también pueden calcularse de forma que la suma de las tres potencias sea 5. b0 b1 b2 b3 a2 a1 a0 c0 c1 c2 b0 b1 b2 b3 b4 a1 a0 c0 c1 b0 b1 b2 b3 b4 b5 a0 c0

Demostración 1 1 Binomio de Newton Trinomio 1 5 5 5 1 1 10 1 2 1 5 5 10 20 10 10 30 30 10 5 20 30 20 5 1 5 10 10 5 1 1 1 5 1 1 10 1 2 1 10 1 3 3 1 5 1 4 6 4 1 1 1 5 10 10 5 1 n 1 2 3 4 5 n 1 2 3 4 5 Binomio de Newton m 1 2 3 4 5 m 1 2 3 4 5 p = 5 Trinomio Recordamos de la primera parte de la presentación cual es la expresión del binomio de Newton... En la expresión de un trinomio, usando el teorema del binomio dos veces y reordenando, obtenemos... - Los coeficientes (m n) del binomio (b+c)m que multiplican a bn·cm-n son los términos de la (fila m, columna n) del triángulo de Pascal, tal y como se dijo en la introducción. - Los factores (p m) que multiplican a ap-m se corresponden con la columna escrita a la izquierda del triángulo de Pascal. Por tanto, tal y como se deduce al reorganizar términos en la ecuación, los elementos de la (fila m, columna n) del triángulo trinomial se corresponden con los coeficientes (p m)·(m n) del término ap-m·bn·cm-n. -- Poner un ejemplo del calculo de uno de los coeficientes para comprobar q coincide con el triangulo.

Índice Introducción El Triángulo Trinomial El Teorema del Multinomio El Binomio de Newton El Triángulo de Pascal El Triángulo Trinomial Concepto Demostración El Teorema del Multinomio Y por último, pasamos a comentar el Teorema Multinomial.

El Teorema del Multinomio

Teorema Multinomio Para q = 3: donde: Y ya por ultimo, solo queda presentar el caso general, el teorema del multinomio, que permite desarrollar un multinomio de orden q, proporcionando tanto los términos como los coeficientes de los mismos. La expansión de un trinomio a una potencia es un caso especial del teorema del multinomio... donde los coeficientes del multinomio se calculan como... Así, particularizando para un trinomio, es decir, para q = 3, sabiendo que k1 = p-m, k2 = n y k3 = m-n, el coeficiente del multinomio puede expresarse como... que, como era de esperar, coincide con la expresión que ya habíamos demostrado antes. Para q = 3:

¡¡¡ FIN !!!