Función lineal Lic. Andrés Latorre

Función Lineal Se llama, función lineal a cualquier función que relacione dos magnitudes directamente proporcionales (x,y). Su ecuación tiene la forma y = mx ó f(x) = mx El factor m es la constante de proporcionalidad y recibe el nombre de pendiente de la función porque, indica la inclinación de la recta que la representa gráficamente. Recuerda: dos magnitudes son directamente proporcionales si su cociente es constante.

Representación gráfica de la función lineal Graficar la función y = 3 x Recordemos que si tenemos la expresión 3x esto es equivalente al producto 3* x , así que cada elemento que nosotros escojamos será multiplicado por tres

Representación gráfica de la función lineal Para graficar la función lineal realizamos una tabla de valores, escogiendo algunos valores para x Podemos usar la siguiente X -3 -2 -1 1 2 3 y

Representación gráfica de la función lineal Como la función es y= 3x entonces Se multiplica cada valor escogido por 3 así: Para x= 3* = X -3 -2 -1 1 2 3 y -9 -6 -3 3 6 9 -2 -3 -1 3 1 2 (-2) (-3) (-1) 3 1 2 -9 6 -3 3 -6 9

Representación gráfica de la función lineal X -3 -2 -1 1 2 3 y -9 -6 -3 3 6 9 Con la tabla obtenida pasamos a graficar en el plano cartesiano Las parejas: (-3,-9), (-2,6), (-1,-3), (0,0), (1,3), (2,6), (3,9)

Representación gráfica de la función lineal 10 8 6 4 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -2 -4 -6 -8 -10

La función Afín Si a dos magnitudes directamente proporcionales se les aplica alguna condición inicial, la función que las relaciona ya no es totalmente lineal (las magnitudes ya no son proporcionales). Se dice que es una función afín y su forma es: y = mx + n ó f(x) = mx + n La pendiente, m, sigue siendo la constante de proporcionalidad y el término n se denomina ordenada en el origen porque es el valor que toma y (ordenada) cuando x vale 0 (abscisa en el origen).

La función Afín Representación gráfica Las funciones afines se representan también mediante líneas rectas, pues el término independiente que las diferencia de las funciones de proporcionalidad solo produce una traslación hacia arriba o hacia debajo de la gráfica de éstas. Gráficamente la función afín es una recta que no pasa por el origen de coordenadas.

Representación gráfica de la función afín Graficar la función y = 3 x -4 Recordemos que si tenemos la expresión 3x esto es equivalente al producto 3* x , así que cada elemento que nosotros escojamos será multiplicado por tres y luego será restado con 4

Representación gráfica de la función afín De nuevo para graficar la función realizamos una tabla de valores, escogiendo algunos valores para x Podemos usar la misma tabla que en el ejemplo anterior X -3 -2 -1 1 2 3 y

Representación gráfica de la función lineal Como la función es y= 3x entonces Se multiplica cada valor escogido por 3 y luego restamos 4 así: Para x= 3* - 4 = X -3 -2 -1 1 2 3 y -4 -13 -10 -7 -1 2 5 -3 -1 -2 3 1 2 (-2) (-1) (-3) 3 1 2 -3-4 = -7 -6-4 = -10 -9-4 =-13 9-4 = 5 6-4= 2 0 – 4= -4 3 -4= -1

Representación gráfica de la función afín X -3 -2 -1 1 2 3 y -13 -10 -7 -4 -1 2 5 Con la tabla obtenida pasamos a graficar en el plano cartesiano Las parejas: (-3,-13), (-2,-10), (-1,-7), (0,-4), (1,-1), (2,2), (3,5)

Representación gráfica de la función afín 10 8 6 5 4 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -4 -6 -7 -8 -10

Ecuación de la recta Hay dos tipos de funciones que representan en el plano una recta y son la función lineal y la función afín. Ahora, si tenemos la gráfica de una recta en el plano, podemos encontrar la ecuación que genera la recta. Por ejemplo.

Gráfica de la función lineal y su ecuación y= mx Consideremos la siguiente recta en el plano 10 Ubicamos un punto de la recta, en lo posible que tenga coordenadas enteras. Por ejemplo (4,8) donde x= 4, y=8 De nuevo la recta tendrá ecuación : Y= 2x La ecuación de una función lineal tiene la forma: Y= mx, Así que debemos encontrar el valor de m. La recta tendrá ecuación : Y= 2x 8 (4,8) 6 (3,6) 5 4 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 El valor de m se encuentra realizando el cociente m= y/x. Así m= 8/4=2 -2 Por ejemplo (3,6) es otro punto de la recta, x=3, y=6 El cociente m=y/x será: m= 6/3= 2 -4 Observe que si tomamos otro punto obtendremos la misma pendiente m -6 -7 -8 -10

Miremos otro ejemplo Gráfica de la función afín y su ecuación y= mx + n

Gráfica de la función afín y su ecuación y= mx + n Consideremos la siguiente recta en el plano Contamos cuantos unidades hay en el eje y. en este caso hay seis unidades 6 unidades Contamos cuantos unidades hay en el eje y. en este caso hay ocho unidades 8 unidades 10 Primero ubicamos el punto de la recta que corta el eje y, en este caso el punto (0,-2), y luego otro punto de la recta en lo posible que tenga coordenadas enteras. Por ejemplo (4,6) donde x= 4, y=6 La ecuación de una función afín tiene la forma: Y= mx + n, Así que debemos encontrar el valor de m y el valor de n. Como m=2 y n= -2. La recta tendrá ecuación : Y= 2x -2 8 Observe que si tomamos otro punto obtendremos la misma pendiente m De nuevo la recta tendrá ecuación : Y= 2x-2 (4,6) 6 5 Por ejemplo (3,4) es otro punto de la recta, x=3, y=4 4 (3,4) 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 El cociente para encontrar m será: m=und en y /und en x m= 6/3 = 2 y de nuevo el valor de n es -2 Este es el valor de n Este es el valor de n -2 Contamos cuantos unidades hay en el eje x. en este caso hay tres unidades 3 unidades Contamos cuantos unidades hay en el eje x. en este caso hay cuatro unidades 4 unidades (0,-2) Cuando hayamos ubicado los dos puntos de la recta formamos un triángulo rectángulo desde el punto de corte hasta el punto que ubicamos en la recta -4 El valor de m se encuentra realizando el cociente m= unds en el eje y / unid en el eje x. Así m= 8/4=2 Y el valor de n será la coordenada en y del punto de corte con el eje y, es decir -2 -6 -7 -8 -10

Recuerden repasar a conciencia y prepararse para la evaluación GRACIAS