Dos tipos de errores caracterizan a los métodos numéricos 1.- Errores de redondeo 2.- Errores de truncamiento Ambos errores pueden avaluarse mediante la siguiente definición de error verdadero Ev y error relativo Er: Ev = Valor verdadero – Valor aproximado Er = 100 Ev / Valor verdadero En un proceso de iterativo el error aproximado Ea se define asi: Ea = 100 ( Valor aproximado actual - Valor aproximado anterior ) / Valor aproximado actual

Error de truncamiento y la serie de Taylor La serie de Taylor proporciona una forma de predecir el valor de una función en un punto cuando se conoce el valor de la función y sus derivadas en otro punto. Sea xi, f(xi) el punto conocido. Entonces, el valor de la función en el punto xi+1 es: f(xi+1) = f(xi) + f ’(xi) h + f ’’(xi) h2 / 2! + f ’’’(xi)h3 / 3! +…+ f n(xi) hn / n! + Rn En donde: h = xi+1 – xi Rn = f n+1(ξ) hn+1 / (n+1)! ; xi < ξ < xi+1 (Término residual)

f ’(xi) = ( f(xi+1) - f(xi) ) / h + O(h) Por ejemplo, si la serie de Taylor se trunca a partir del término de la segunda derivada se obtiene una aproximación a la derivada, así: f(xi+1) ≈ f(xi) + f ’(xi)h y f ’(xi) ≈ ( f(xi+1) - f(xi) ) / h Obsérvese que se han despreciado términos de orden h1 y superiores: f ’(xi) = ( f(xi+1) - f(xi) ) / h + O(h) O(h) = f ’’(xi) h1 / 2! + f ‘’’(xi) h2 / 3! +…+ f n(xi) hn-1 / n! + Rn / h

Diferencias finitas Existen varias formas de aproximar la derivada de una función usando una serie de Taylor truncada. Por ejemplo, si f(xi) representa al valor de la función f en el punto xi, entonces el valor de la función en el punto xi+1, se puede expresar mediante una expansión de la serie de Taylor alrededor del punto xi, como sigue

Si ahora se despeja de esta ecuación el término de la primera derivada, se obtiene en donde el símbolo O(h) es la forma como usualmente se representa a los términos de orden h1 o mayores, es decir, para el caso anterior Por consiguiente, si se desprecian estos términos, la derivada puede aproximarse así y representa la aproximación de orden uno (O(h)) de la derivada en un esquema de diferencias finitas

Debido a que esta aproximación se obtuvo avaluando la función f(xi+1) un punto adelante de xi, se dice que es una diferencia finita adelantada. De la misma manera, se puede obtener la aproximación de la derivada evaluando la función en el punto (xi-1) así y si ahora se despeja a la derivada y se desprecian los términos O(h), se obtiene la definición de la diferencia finita atrasada. Los dos esquemas anteriores tiene una aproximación de orden uno. Para mejorar la aproximación simplemente es necesario conservar más términos de la serie de Taylor.

También se puede definir la representación centrada de la derivada alrededor del punto xi. Si se restan las dos ecuaciones de la expansión hacia adelante y hacia atrás de la serie de Talor : Despejando: Aproximación de orden 2  O(h2)

Representaciones de la derivada en diferencias finitas f(xi + 1) Adelantada O(h) f(xi) Centrada O(h2 ) = ½ (Adelantada + Atrasada) Atrasada O(h) f(xi - 1) xi - 1 xi xi + 1

Diferencias finitas Aproximación f ’(xi) ≈ ( f(xi + 1) - f(xi) ) / h Diferencia finita adelantada O(h) f ’(xi) ≈ ( f(xi) - f(xi - 1) ) / h Diferencia finita atrasada O(h) f ’(xi) ≈ ( f(xi + 1) - f(xi - 1) ) / 2h Diferencia finita centrada O(h2)