MoMento S Grupo 33: Ignacio Ayllón Benito Félix A. Velázquez Salas

Momentos Normalizados Tabla de Contenidos Introducción Momentos de Orden 2 Matriz de Rotación Ejemplo: Mazo Ángulo de Rotación Momentos Simples Excentricidad Momentos Centrales Momentos de Orden 3 El Centroide Momentos Invariantes Momentos Normalizados Conclusiones Momentos de Orden 0 Momentos de Orden 1

Momentos Normalizados Introducción Podemos decir que los momentos son ciertas propiedades numéricas que se pueden obtener de una determinada imagen. Estas propiedades pueden darnos mucha información sobre la figura, de manera que podemos conocer su área, por ejemplo. Pero principalmente, los momentos se usan para determinar y RECONOCER una figura en una imagen dada. Esto se consigue observando ciertas propiedades que tienen un valor común para el mismo tipo de figura, por ejemplo, una recta o un círculo. La descripción de figuras mediante momentos tiene la ventaja de que no sólo usa los bordes de la figura, sino todos los pixeles de la misma. También puede aplicarse a imágenes en escala de grises. En una primera clasificación de los momentos se tienen: Momentos Simples Momentos Centrales Momentos Normalizados

Ejemplo: Mazo Pica Corazón Diamante Trébol Pica Rotada Corazón Rotado Diamante Rotado Trébol Rotado Diamante Trébol Corazón Reducido Corazón Ampliado

Momentos Simples Los momentos simples ofrecen datos de la imagen. Sirven para obtener otros momentos, pero también dan información por sí mismos. Para una función contínua f(x,y), el momento de orden (p+q) se define como para p,q = 0, 1, 2, ... En discreto tendremos una imagen digital dada por la función f(x,y),, donde (x,y) son las coordenadas de un punto y f(x,y) el valor asignado a ese punto, que dependerá de si la imagen es en blanco y negro, en escala de grises o en color. El momento de orden (p+q) se define ahora como

Momentos Simples: Ejemplos Momento Simple de Orden 0: M(0,0) Suma de todos los pixeles 1 de la imagen = área. Área de la imagen = 14. MAZO

Momentos Centrales Un problema al reconocer una figura es la posición que ocupa respecto al eje de coordenadas. En un principio, no sería igual una imagen con un círculo en el centro de la imagen que otra con un círculo en una esquina. Sin embargo, la figura (el círculo) será la misma independientemente de su localización en la imagen. Para resolver esto se usan los momentos centrales. La idea es que no influya la posición de la figura en la imagen. Para calcular los momentos centrales se toma como centro de coordenadas el centroide de la figura. x y (0,0)

En Continuo En Discreto Momentos Centrales Los momentos centrales se expresan como En Continuo En Discreto

El Centroide Los momentos centrales usan el llamado centroide o centro de masas de la figura, determinado por las coordenadas , de manera que el área del objeto que hay a la derecha y a la izquierda de es igual. De la misma manera, el área que queda arriba y debajo de es igual. El centroide se calcula mediante los momentos de orden 1 y de orden 0 ( M(1,0), M(0,1) y M(0,0)):

Centroide: Ejemplo MAZO

Momentos Normalizados Se trata de reconocer una figura independientemente de su tamaño. Por ejemplo, un cuadrado debe ser reconocido como tal, tanto si es de 4 cm de lado como si es de 16 cm. Esto es necesario cuando se comparan objetos situados a diferentes distancias, por ejemplo. Se normalizan los momentos centrales con el momento de orden 0, obteniendo así figuras independientes de la escala.

Momentos de Orden 0 (p + q = 0) MOMENTO SIMPLE DE ORDEN 0: M(0, 0) El momento simple de orden 0 representa el área de la figura en imágenes binarias (en blanco&negro) y la superficie en imágenes en escala de grises. Es la suma de los valores de todos los pixeles.

Momentos de Orden 1 (p + q = 1) MOMENTOS SIMPLES DE ORDEN 1: M(1, 0) y M(0, 1) Los momentos simples de orden 1 se usan principalmente para hallar el centroide de la figura. Con éste se hallan los momentos centrales. MOMENTOS CENTRALES DE ORDEN 1: U(1, 0) y U(0, 1) Los momentos centrales de orden 1 son iguales a 0 por definición. MOMENTOS NORMALIZADOS DE ORDEN 1: N(1, 0) y N(0, 1) Los momentos normalizados de orden 1 son iguales a 0 por definición.

Momentos de Orden 2 (p + q = 2) Con los momentos de orden 2 comienza realmente el análisis y reconocimiento de formas. Aquí tienen especial importancia los momentos centrales. Analogía mecánica: los momentos de orden 2 contienen términos en los que el valor de la función, esto es, la densidad del objeto, se multiplica por distancias al cuadrado desde el centro de masas. Tales expresiones se conocen como inercia en la mecánica.

Momentos Centrales de Orden 2 U(2, 0): Momento de incercia de fila Este momento es tanto mayor cuanto mayor sea la componente horizontal de la figura. Así, será muy grande para una recta horizontal y muy pequeño para una recta vertical. x y

Momento de Inercia Horizontal: Ejemplo MAZO

Momentos Centrales de Orden 2 U(0, 2): Momento de inercia de columna Este momento es tanto mayor cuanto mayor sea la componente vertical de la figura. Así, será muy grande para una recta vertical y muy pequeño para una recta horizontal. x y

Momento de Inercia Vertical: Ejemplo MAZO

Momentos Centrales de Orden 2 U(1, 1): Momento de inercia cruzado Este momento tiene en cuenta conjuntamente tanto la componente horizontal como la vertical. x y Será positivo cuando la componente vertical se concentre en los cuadrantes 1º y 3º Será negativo cuando la componente vertical se concentre en los cuadrantes 2º y 4º Una figura simétrica respecto a los dos ejes tiene U(1,1) = 0. E.g. Círculo, cuadrado no rotado

Momento de Inercia Cruzada: Ejemplo MAZO

Matriz de Rotación Los tres momentos centrales de 2º orden forman las componentes del tensor de inercia o matriz de rotación. A partir de estas componentes se podrán obtener: El ángulo de rotación de la figura alrededor de su centro de masas La excentricidad de la figura

Ángulo de Rotación ( Orientación ) La orientación o ángulo de rotación de la figura se define como el ángulo entre el eje de abcisas y el eje alrededor del cual la figura puede rotar con mínima inercia. Para entendernos, la figura gira con menor “esfuerzo” alrededor del eje dado por el ángulo de orientación y resulta más alargada hacia la dirección indicada por ese eje.

Ángulo de Rotación ( Orientación ) MAZO

Excentricidad Se puede definir una elipse cuyo eje principal coincide con el eje definido por el ángulo de rotación. Esta elipse rodea a la figura de manera que fuera de la elipse queda un área de la figura igual al área de fondo que queda dentro de la elipse. En geometría plana se conoce que una elipse tiene dos focos. La distancia entre estos dos focos define la excentricidad de la elipse. La excentricidad  se mide sobre figuras normalizadas, hallándose en un rango de 0 a 1. Así, si para una recta infinita la excentricidad tendería a ser infinita, para una recta normalizada, la excentricidad será 1. De esta forma podemos identificar una recta mirando si su excentricidad es 1. x´ y y´  focos excentricidad x centroide

Excentricidad De manera similar, la excentricidad de un círculo será 0. Pero resulta igual para un cuadrado, por lo que esta magnitud no ayuda mucho al resolver el problema de diferenciar entre un cuadrado y un círculo. x y x y La elipse coincide con el borde del círculo.

Momentos de Orden 3 (p + q = 3) Los momentos de orden 3 sirven para calcular los momentos invariantes. A continuación se muestran los momentos centrales de orden 3:

Momentos Invariantes De los momentos normalizados de 2º y 3º orden se deriva un conjunto de momentos invariantes. Estos conjunto de momentos es invariante a la traslación, rotación y cambio de escala de una figura.

Momentos Invariantes: Ejemplo MAZO

Ejemplo Invariantes Original Reducida al 50% Reflejada Rotada 2º

Conclusiones La principal causa de error se puede atribuir a la naturaleza digital de los datos. La resolución usada en el programa es de 128x128. Esta resolución resulta bastante baja, por lo que sólo hemos usado figuras sencillas y en blanco y negro. De lo contrario, no se obtendrían resultados claros ni fiables, debido al error de cálculo. Por ejemplo, un círculo pequeño se asemeja mucho a un cuadrado pequeño. No se deben usar imágenes con ruido, ya que se obtienen resultados incorrectos. Ampliaciones posibles: Eliminar ruido mediante contracción y expansión Reconocer y aislar componentes conexas de una imagen para estudiarlas por separado Estudio estadístico de momentos invariantes para reconocimientos complejos