ECUACIONES CONTINUA, GENERAL Y NORMAL Bloque II * Tema 065 ECUACIONES CONTINUA, GENERAL Y NORMAL @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS ECUACIÓN CONTINUA La ecuación paramétrica de una recta hemos visto que es: x = xo + t.a y = yo + t.b Si en ambas expresiones despejamos el parámetro t , resulta: x – xo = t.a  (x – xo ) / a = t y – yo = t.b  (y – yo ) / b = t Como el valor del parámetro t debe ser el mismo para cada punto de la recta, podemos igualarlo: x - xo y - yo t = t  --------- = --------- , siempre que a<>0 y b<>0 a b Que es la ecuación continua de la recta. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplo_1 Una recta r viene dada por su ecuación vectorial: (x, y) = (0, 2) + t.(- 3, 5) Hallar su ecuación continua. Tenemos: (x, y) = (0, 2) + t.(- 3, 5) Desglosando las coordenadas del vector: x = 0 – 3.t ,, y = 2 + 5.t Despejando el parámetro t en ambas expresiones, resulta: x – 0 y – 2 t = -------- , t = -------- - 3 5 Igualando el valor de t, queda: x / (– 3) = (y – 2) / 5 Ejemplo_2 Una recta r viene dada de la forma r(A, u), donde A(3, 4) y u=(6, 8). Su ecuación vectorial será: (x, y) = (3, 4) + t.(6, 8) Desglosando las coordenadas del vector: x=3 + 6.t ,, y=4 + 8.t t= (x – 3) / 6 y t=(y – 4) / 8 Igualando el valor de t, tenemos: (x – 3) / 6 = (y – 4) / 8 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS ECUACIÓN GENERAL ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA DE LA RECTA Partimos de la ecuación continua de la recta: x - xo y - yo -------- = -------- a b Como en toda proporción, podemos multiplicar en cruz, quedando: b.(x – xo) = a.(y - yo) b.x – b.xo = a.y – a.yo b.x – a.y – b.xo + a.yo = 0 Renombrando coeficientes queda: r: A.x + B.y + C = 0 Que es la ecuación general o ecuación implícita de la recta. Donde A=b, B= - a y C= – b.xo + a.yo Como un vector director era v=(a,b), ahora será v=(-B, A) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplo 1 Hallar la ecuación general de una recta si su ecuación continua es: x - 3 y + 2 -------- = -------- 2 - 5 Operando en la proporción: - 5.(x – 3) = 2.(y + 2) - 5.x + 15 = 2.y + 4  - 5.x – 2.y + 15 – 4 = 0  5.x + 2.y – 11 = 0 Ejemplo 2 Hallar la ecuación general de una recta si pasa por el punto A(- 2, - 4) y un vector director es v=(3, 2) Tomando la ecuación continua y sustituyendo: x - xo y – yo x – (- 2) y – (- 4) -------- = -------- ; ----------- = ----------- a b 3 2 Operando en la proporción: 2.(x +2) = 3.(y + 4) 2.x + 4 = 3.y + 12  2.x – 3.y + 4 – 12 = 0  2.x – 3.y – 8 = 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS ECUACIÓN NORMAL VECTOR PERPENDICULAR A UNA RECTA Sea la recta de ecuación Ax + By + C = 0 El vector director de dicha recta es u = (-B, A) Un vector v perpendicular a dicha recta será aquel cuyo producto escalar con u de cero. Operando: u.v = -B.A+A.B = 0 Luego un vector perpendicular a la recta es v(A, B) Ejemplo: Sea r: 4x – 5y + 7 = 0 El vector director es: u(5, 4) Un vector perpendicular será: v(-4, 5) Pues u.v = (5,4).(-4,5) = -20+20 = 0 y r v u P(x,y) 0 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS ECUACIÓN NORMAL Sea la recta de ecuación Ax + By + C = 0 Sea un vector perpendicular v(A, B) Sea un punto cualquiera de r, Q(a,b) Sea un punto general de r, P(x,y) Tenemos: v.PQ = 0 Por ser v y PQ vectores perpendiculares. (A, B).(x – a, y – b) =0 A(x – a)+B(y – b) = 0 Que es la ecuación normal de la recta. Si se desarrolla queda: Ax + By – Aa – Bb = 0 Dividido entre el módulo de v queda: A B C r: ------------ x + ------------ y + ------------ = 0 √(A2+B2) √(A2+B2) √(A2+B2) y r P(x,y) v u P(a,b) 0 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplo 1 Hallar la ecuación normal y la normal canónica de r: 3x – 4y + 8 = 0 Un punto de la recta es el Q(0, 2) y un vector perpendicular v(3, -4) 3(x – 0)+(-4)(y – 2) = 0  3x – 4(y – 2) = 0 Que es la ecuación normal de la recta. El módulo del vector v es: √(A2+B2) = √(9+16) = 5 3 4 8 r: ----- x – ----- y + ----- = 0 , r: 0’6x – 0’8y + 1’3 = 0 5 5 5 Ejemplo 2 Hallar la ecuación normal y la normal canónica de r: 8x + 6y – 10 = 0 Un punto de la recta es el Q(-1, 3) y un vector perpendicular v(8, 6) 8(x + 1) + 6(y – 3) = 0 El módulo del vector v es: √(A2+B2) = √(64+36) = 10 8 6 10 r: ----- x + ----- y – ----- = 0 , r: 0’8x + 0’6y – 1 = 0 que es la canónica. 10 10 10 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS