Fundamentos Informática II Funciones Generatrices Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Informática Fundamentos Informática II Funciones Generatrices

Funciones Generatrices : Motivación Definición y Ejemplos Técnicas de Cálculo Metodología Ejemplos Ecuaciones Lineales Enteras Particiones de Enteros Función Generatriz Exponencial (Ejemplo) Operador de Suma (Ejemplo)

Funciones Generatrices : Motivación 1: Repartición de Naranjas: (Ecuaciones Lineales Enteras) De cuántas formas posibles se pueden repartir 12 naranjas de manera que Gabriel (G) reciba al menos 4 y María (M) y Francisco (F) reciban al menos 2.

Funciones Generatrices : Motivación: Repartición de Naranjas (Ecuaciones Lineales Enteras) Buscamos la cantidad total de soluciones de la ecuación: x1 + x2 + x3 = 12 4 ≤ x1 ≤ 8 2 ≤ x2 ≤ 6 2 ≤ x3 ≤ 6 Donde: xk : cantidad de naranjas de la persona k

Funciones Generatrices : Motivación: Repartición de Naranjas (Ecuaciones Lineales Enteras) G M F 4 5 6 7 8 2 3 Cantidad Total de Formas de Repartir: 15

Funciones Generatrices : Motivación: Repartición de Naranjas (Ecuaciones Lineales Enteras) Idea: (Euler & DeMoivre) Contar Formas de Repartir como Producto de Polinomios ! (x4+x5+x6+x7+x8)(x2+x3+x4+x5+x6) (x2+x3+x4+x5+x6) = = ∑ αkxk = ∑ αkxk + 15 x12 ≈ x8 ∑ xk 20 Cantidad Total de Formas de Repartir Dem ! k=8 20 k=8 k≠15 k ≥ 0

Funciones Generatrices : Motivación 2: Sist. Ecs. Enteras De cuantas maneras podemos seleccionar r objetos de n con repeticiones ??? Cantidad total de soluciones enteras de la ecuación: (solución más adelante …) x1 + x2 + x3 + ··· + xn-1 + xn = r

Funciones Generatrices : Formas de solucion: (x4+x5+x6+x7+x8)(x2+x3+x4+x5+x6) (x2+x3+x4+x5+x6) Por convolucion: En Matlab o Scilab: conv([1 1 1 1 1 0 0 0 0], [1 1 1 1 1 0 0 ]) conv(ans, [1 1 1 1 1 0 0 ]) ans(20-12+1)

Funciones Generatrices : Formas de solucion: (x4+x5+x6+x7+x8)(x2+x3+x4+x5+x6) (x2+x3+x4+x5+x6) Por fuerza bruta: contador=0; for x1=4:8, for x2=2:6, for x3=2:6, if (x1+x2+x3)==12 contador=contador+1; end

Funciones Generatrices : Formas de solucion: (x4+x5+x6+x7+x8)(x2+x3+x4+x5+x6) (x2+x3+x4+x5+x6) Midiendo tiempos de ejecución En Matlab: tic toc

Funciones Generatrices : Formas de solucion: (x4+x5+x6+x7+x8)(x2+x3+x4+x5+x6) (x2+x3+x4+x5+x6) Midiendo tiempos de ejecución En C: La forma de calcular el tiempo de CPU que toma una función es muy simple: tomamos el valor del reloj antes de realizar la llamada (t_ini), llamamos a la rutina en cuestión, y tomamos nuevamente el valor del reloj (t_fin). La diferencia entre t_fin - t_ini nos da el total de tiempo que tomó: 1) hacer la llamada a la rutina, 2) que esta haga su trabajo, 3) que devuelva el resultado.

Funciones Generatrices : Formas de solución: (x4+x5+x6+x7+x8)(x2+x3+x4+x5+x6) (x2+x3+x4+x5+x6) Midiendo tiempos de ejecucion en C Para tomar el tiempo podemos usar la rutina clock(), que devuelve el tiempo aproximado de CPU que transcurrió desde que nuestro programa fue iniciado, dicho tiempo representado en un valor de tipo clock_t: un valor entero que indica una cantidad de "tics" de reloj. La precisión que tenemos con dicha rutina es de CLOCKS_PER_SEC (tics de reloj por segundo), lo que significa que por cada segundo que pasa, la función clock() nos devolverá CLOCKS_PER_SEC unidades más que el valor anterior. En MinGW, CLOCKS_PER_SEC es igual a 1000, pero es mejor no fiarse de esto, ya que en otras plataformas dicho valor varía. Inclusive, según POSIX, la constante CLOCKS_PER_SEC debería ser 1000000.

Funciones Generatrices : Formas de solución: (x4+x5+x6+x7+x8)(x2+x3+x4+x5+x6) (x2+x3+x4+x5+x6) #include <stdio.h> #include <time.h> int main(int argc, char *argv[]) { clock_t t_ini, t_fin; double secs; t_ini = clock(); /* ...hacer algo... */ t_fin = clock(); secs = (double)(t_fin - t_ini) / CLOCKS_PER_SEC; printf("%.16g milisegundos\n", secs * 1000.0); return 0; }

Funciones Generatrices : Definición y Ejemplos: Dada una secuencia de números reales a0, a1, ... ,an ,... la función definida por: G(x) = ∑ akxk Se denomina Función Generatriz asociada a la secuencia a0, a1 ,... ,an ,... ∞ k = 0

Funciones Generatrices : Ejemplos y Técnicas de Cálculo: Si aK = 1 para todo k є N G1(x) = ∑ xk = (1 – x )-1 Si aK = para k = 0,…,n ∞ k = 0 n k n n ∑ (1 + x ) n k xk = G2(x) = k = 0

Funciones Generatrices : Técnicas de Cálculo: Si aK = 1 para k = 0,…,n G3(x) = ∑ xk = (1 – xn+1 )/(1 – x ) Como: G1'(x) = ∑ (k+1)xk = (1 – x )-2 Entonces aK = (k+1) para k = 0,1,2,… n k = 0 ∞ k = 0

Funciones Generatrices : Técnicas de Cálculo: Como: G4(x) = xG1'(x) = ∑ kxk = x /(1 – x )2 Entonces aK = k para k = 0,1,2,… G5(x) = xG4'(x) = ∑ k2xk = x(x+1)/(1 – x )3 Entonces aK = k2 para k = 0,1,2,… ∞ k = 0 ∞ k = 0

Funciones Generatrices : Técnicas de Cálculo: Por Desarrollo de Maclaurin: G6(x) = ∑(-1)k xk = (1+x )-n Entonces 1/(1+x )n es la función generatriz de la secuencia: aK = (-1)k = (-1)kC(n+k-1,k) k = 0,1,2,… ∞ n+k-1 k k = 0 n+k-1 k

Funciones Generatrices : Técnicas de Cálculo: Demostrar que: (Ejercicio) G7(x) = ∑ xk = (1-x )-n Entonces 1/(1-x )n es la función generatriz de la secuencia: aK = = C(n+k-1,k) para k = 0,1,2,… ∞ n+k-1 k k = 0 n+k-1 k

Funciones Generatrices : Combinaciones con Repetición y Ecuaciones Lineales Enteras Teorema: El número de selecciones, con repetición, de tamaño 1  r  n de una colección de n objetos indistingibles y el número de soluciones enteras de la ecuación : x1 + x2 + x3 + ... + xn = r es C(n+r-1,r)

Funciones Generatrices : Combinaciones con Repetición y Ecuaciones Lineales Enteras Demostración: La función generatriz del problema es: G(x) = (1+x+x2+x3+ ... )n = (1-x)-n Buscamos el p-ésimo coeficiente que es C(n+r-1,r) (recordar G7)

Funciones Generatrices : Metodología: Se modela el problema de enumeración como un producto de polinomios. Se opera el producto de polinomios obtenido mediante las Técnicas de Cálculo vistas. Se obtiene una combinación de funciones generatrices conocidas Se obtiene el coeficiente del polinomio de la función generatriz que se busca

Funciones Generatrices : Ejemplos: Obtener la función generatriz de la secuencia: 0, 2, 6, 12, 20, … Resolver la ecuación lineal entera: x1 + x2 = 13 2 ≤ x1 ≤ 10 3 ≤ x2 ≤ 11 Obtener el coeficiente de x5 en (1-2x)-7 Obtener el coeficiente de x8 en: G(x) = [(x-3)(x-2)2]-1

Funciones Generatrices : Particiones de Enteros Sea la función natural que entrega la cantidad total de formas de obtener n como una suma de naturales. Buscamos obtener p(n) en función de n Entonces: p(n) = ∏1/(1-xk) p(n=0) = 1 n k=0

Funciones Generatrices : Función Generatriz Exponencial: Dada una secuencia de números reales a0, a1, ... ,an ,... la función definida por: GE (x) = ∑ akxk / k! Se denomina Función Generatriz Exponencial asociada a la secuencia a0, a1 ,... ,an ,... ∞ k = 0

Funciones Generatrices : F. G. Exponencial: Ejemplo Un barco lleva 48 banderas, 12 de cada uno de los colores: rojo, blanco azul y negro. Doce (12) banderas, una señal, están puesta en un mástil para comunicación visual con otros barcos. Cuántas señales tienen un número impar de banderas azules y un número par de banderas negras ? Cuántas señales tienen al menos 3 banderas blancas o no tienen banderas blancas ?

Funciones Generatrices : Operador de Suma: Dada una secuencia de números reales a0, a1, ... ,an ,... consideremos la función: G(x) = ∑ akxk Luego: G(x)/(1-x) = ∑ akxk ∑ xk = ∑ ∑ akxk ∞ k = 0 ∞ ∞ k = 0 k = 0 ∞ n n = 0 k = 0

Funciones Generatrices : Operador de Suma: Ejemplos Encuentre una fórmula en función de n para expresar la secuencia: an = ∑ i2 Encuentre la función generatriz de la secuencia: an = ∑ (1/i!) n i = 0 n i = 0