D. BIDIMENSIONALES DÍA 53 * 1º BAD CT
DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES Hasta ahora (3º y 4º ESO) hemos estudiado las series estadísticas por separado. Es decir, nos hemos fijado en un solo carácter (atributo o variable) contabilizando la frecuencia de sus distintas modalidades Imaginemos que lo que nos interesa es relacionar dos variables (caracteres cuantitativos): Primero determinar si existe relación y luego determinar el valor de una de ellas a partir de la otra. La relación entre ambas puede ser FUNCIONAL o ESTADÍSTICA. Por ejemplo: Número de horas de estudio y calificación en los exámenes. Estatura de una persona y peso. Estatura de una persona y número de pie del calzado. Importe de la factura de la luz y potencia consumida. Beneficios de una empresa y número de empleados de la misma. Tenemos pues una distribución de dos variables (bidimensional). Al valor de una de ellas se llama xi y al valor de la otra yi. Podemos volcar los datos en una tabla.
Tabulación Bidimensional Alumnos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 1,5 2,5 4,5 yi En el primer ejemplo, tomando una muestra de 10 alumnos con un coeficiente intelectual similar y siendo: xi= número de horas semanales de estudio yi= calificación obtenida. Cuando, como en el ejemplo, los cambios en una variable influyen en los cambios de la otra, decimos que están correlacionadas, que hay CORRELACIÓN entre ellas. Si al aumentar xi aumenta yi La correlación es DIRECTA. Si al aumentar xi disminuye yi La correlación es INVERSA.
Diagrama de Dispersión (Nube de puntos) Nota 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 Horas
Tabulación Bidimensional Pruebas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 15 20 25 30 40 45 60 70 yi 50 80 90 120 140 En este ejemplo hemos sometido un coche a 10 pruebas de velocidad. Manteniendo una velocidad de 120 km/h hemos medido el espacio recorrido en diversos periodos de tiempo. xi= número de minutos recorridos a velocidad constante. yi= espacio correspondiente recorrido. En este caso hay una relación funcional entre las dos variables. No estaríamos en el campo de la Estadística, sino en el de Funciones, pues: Espacio = velocidad.tiempo y=f(x) Al representarlas gráficamente, los puntos estarían alineados, pues se trata de una función lineal.
Diagrama de Dispersión (Nube de puntos) Nota 140 125 110 95 80 65 50 35 20 0 10 20 30 40 50 60 70 Horas
Tabulación Bidimensional Años 1970 1975 1985 1990 1995 2000 2005 xi 2 3 4 5 6 yi 40 50 80 140 170 270 300 350 En este tercer ejemplo hemos anotado las ganancias de una empresa ( en miles de €) y el número de trabajadores en distintos años fiscales: xi= número de trabajadores. yi= ganancias de la empresa. Vemos que al aumentar el número de trabajadores aumentan los beneficios. Los cambios en una variable influyen en los cambios de la otra, decimos que están correlacionadas, que hay CORRELACIÓN entre ellas. Sin embargo los beneficios aumentan mucho más que el número de trabajadores. Veamos que pasa al llevar los datos a una gráfica.
Diagrama de Dispersión (Nube de puntos) Nota 320 240 160 80 0 1 2 3 4 5 6 Horas
Tabulación Bidimensional Prueba 1 2 3 4 5 6 7 8 xi 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 yi 12 8,49 6,93 6,00 5,37 4,9 4,54 4,24 En este ejemplo hemos sometido un coche a 8 pruebas de aceleración. Manteniendo constante el número de rpm del motor, hemos medido el tiempo que tardaba en recorrer una pista de 10 km. xi= número de revoluciones por minuto del motor. yi= tiempo que tarda en recorrer los 10 km. En este caso hay una relación funcional entre las dos variables. No estaríamos en el campo de la Estadística, sino en el de Funciones. Al representar gráficamente los resultados, los puntos estarían alineados, aunque al no ser una función lineal la gráfica sería una curva.
Diagrama de Dispersión (Nube de puntos) Tiempo 12 9 6 3 Al ser una relación funcional, todos los puntos de la nube están sobre la gráfica correspondiente de la función: t=√(2.e/a) = 60.√(20/rpm) 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 rpm Cuando el coeficiente de correlación lineal, r, vale 1 o -1, decimos que la correlación es perfecta. La correlación sería funcional.
Tabulación Bidimensional Alumnos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 1,5 2,5 4,5 yi En el primer ejemplo, tomando una muestra de 10 alumnos con un coeficiente intelectual similar y siendo: xi= número de horas semanales de estudio yi= calificación obtenida. Cuando, como en el ejemplo, los cambios en una variable influyen en los cambios de la otra, decimos que están correlacionadas, que hay CORRELACIÓN entre ellas. Si al aumentar xi aumenta yi La correlación es DIRECTA. Si al aumentar xi disminuye yi La correlación es INVERSA.
Diagrama de Dispersión (Nube de puntos) Nota 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 Horas
Para determinar el sentido y el grado de esa correlación ( o sea si es directa o inversa, y si es fuerte o débil) podemos utilizar el llamado: DIAGRAMA DE DISPERSIÓN, mediante la representación de la nube de puntos (xi,yi). En el ejemplo podemos ver que están relacionados el número de horas de estudio con la calificación. Esa correlación es directa y fuerte. Directa porque al aumentar xi aumenta yi. Fuerte porque los puntos están muy juntos, poco dispersos. Además podemos ver que todos los puntos están muy cerca de un eje o línea recta. Decimos entonces que la correlación es lineal. Como casi todos los puntos están muy próximos a dicha línea recta la correlación es fuerte. Además como dicha línea recta tiene una pendiente positiva, decimos que la correlación es directa.
Correlación FUERTE Y DÉBIL Nota 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Nota 9 8 7 6 5 4 3 2 1 yi yi xi xi 0 1 2 3 4 5 6 7 Horas 0 1 2 3 4 5 6 7 Horas Correlación débil: Los puntos de la nube están muy dispersos. Correlación fuerte: Los puntos de la nube están muy juntos.
Correlación DIRECTA E INVERSA Nota 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Nota 9 8 7 6 5 4 3 2 1 yi yi xi xi 0 1 2 3 4 5 6 7 Horas 0 1 2 3 4 5 6 7 Horas Correlación INVERSA: Al aumentar xi disminuye yi. Correlación DIRECTA: Al aumentar xi aumenta yi.