FUNCIONES CUADRÁTICAS DÍA 31 * 1º BAD CT

FUNCIONES CUADRÁTICAS y 5 Todas las funciones que se pueden expresar de la forma f(x) = a.x2 + b.x + c Reciben el nombre de FUNCIONES CUADRÁTICAS. Su gráfica es una parábola. Para dibujar una parábola necesitamos conocer: 1.- Coordenadas del vértice. 2.- Corte con el eje de abscisas y el eje de ordenadas. 3.- El eje de simetría. 4.- Una tabla de valores. f(x) = x2 – 2x – 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -5

GRÁFICA DE LA PARÁBOLA VÉRTICE DE LA PARÁBOLA Como todo punto tendrá dos coordenadas: V(xv , yv) Siempre se cumple: xv = - b / 2.a  yv=a.xv2 +b.xv+ c EJE DE SIMETRÍA Es vertical y pasa por el vértice, luego su ecuación es x = xv = -b/2.a PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES Si hacemos x=0  y = f (0) será el corte con el eje de ordenadas. Si hacemos f(x)=0  La solución de la ecuación a.x 2 +b.x + c = 0 nos dará los puntos de corte con el eje de abscisas, si los hay. TABLA DE VALORES Además de los ya calculados, vértice y cortes, hay que dar dos o cuatro más de valor de x simétrico respecto al valor del vértice. Importante comprobación: Los cortes con el eje de abscisas, si los hay, son simétricos respecto al valor de xv. Muy importante: Si a>0  CÓNCAVA y si a<0  CONVEXA

Sea f (x) = - x2 + x Dom f(x) = R Vértice: Ejemplo 1 Ejemplo 2 Sea f (x) = x2 - 3 a=1>0  Cóncava Dom f(x) = R Vértice: xv = - b / 2.a = -0/2.1 = 0 yv= 02 - 3 = - 3 V(0, - 3) Img f(x) = [ - 3, +oo) Sea f (x) = - x2 + x a=-1<0  Convexa Dom f(x) = R Vértice: xv = - b / 2.a = - 1 / 2.(-1) = 1 / 2 yv= - (1/2)2 + 1 / 2 = - 0,25 + 0,5 = 0,25 V(0’5 , 0´25) Img f(x) = (- oo, 0,25] V 0,25 -3 V

Ejemplos de dilatación f(x) = x2 y - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 f(x) = - 0’5.x2 f(x) = - 2.x2

Ejemplos de dilatación Sea f(x) = x2 Si debemos representar: f(x) = r.x2 El efecto es que la parábola se deforma. Si r > 0  Conserva la concavidad Si r < 0  Se invierte. Si |r| > 1  Se estrecha. Si |r| < 1  Se ensancha. y f(x) = 2.x2 f(x) = x2 f(x) = 0’5.x2 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3

Problema El consumo de gasolina en un coche, para velocidades comprendidas entre 30 y 190 km/h, viene dado por la función: Siendo x la velocidad en km/h y C(x) el consumo en litros/100 km a) ¿A qué velocidad se debe conducir para que el consumo sea de 10 litros/100 km? b) ¿A qué velocidad consume menos y cuál será dicho consumo?. a) 10 = 8 – 0,045.x + 0,00025.x2 0,00025.x2 – 0,045.x – 2 = 0  25.x2 – 4500.x – 200000 = 0 5.x2 – 900.x – 40000 = 0  x2 – 180.x – 8000 = 0 x = [180 ±√(180x180 – 4x(-8000))]/ 2 = (180+254)/2 = 217 km/h b) El mínimo consumo estará en el vértice de la parábola: Xv= -b / 2.a = -(-0,045)/2.0,00025 = 45 / 0,5 = 90 km /h El consumo será: Yv = 8 – 0,045.90 + 0,00025.902 = 8 – 4,05 + 2,025 = 6

FUNCIÓN CÚBICA Si tenemos una ecuación de la forma y = a.x3 + b.x2 + c.x + d , entonces podemos decir que es una función cúbica y la señalaremos así: f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d Al ir dando valores a x , obtenemos diferentes valores de y , que llevados a un sistema de coordenadas cartesianas nos resulta siempre una curva en forma de “S”. La función cúbica, al igual que la cuadrática o la función lineal, forman parte de las llamadas funciones polinómicas, pues su característica principal es que su forma de expresión algebraica es un polinomio. Y como toda función polinómica, el dominio es R.

y Sea y = x3 Tabla de valores x y -3 -27 -2 -8 -1 -1 0 0 1 1 2 8 3 27 27 8 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -8 Como se ve al unir los puntos que hemos llevado al gráfico, lo que se forma es una curva en forma de “S”. -27

Factorizando por Rufinni: Factorizando por Rufinni: Ejemplo 1 Ejemplo 2 f(x) = x3 –3x + 2 f(x) = - x3 + 4x f(0) = 2  Pc(0,2) f(0) = 0  Pc(0,0) 0 = x3 –3x + 2 0 = - x3 + 4x Factorizando por Rufinni: Factorizando por Rufinni: f(x) = (x + 2)(x-1)(x-1) f(x) = - x (x + 2)(x-2) Pc(-2, 0), Pc(1, 0), Pc(1, 0) Pc(0,0) , Pc(-2, 0), Pc(2, 0) Pc Pc Pc Pc Pc Pc

La Función de Proporcionalidad Inversa Viene dada por f(x) = k / x A veces también viene en forma implícita como x.y = k La imagen es inversamente proporcional al valor que toma la variable. También son funciones de proporcionalidad inversa todas aquella funciones raciones de la forma f(x) = P(x) / Q(x) que tras efectuar la división de polinomios indicada quede de la forma: P(x) k f(x) = ------ = b + --------- , siendo el punto C(a, b) el centro de la hipérbola. Q(x) x – a Si k es POSITIVA, la hipérbola se dibujará en el 1º y 3º Cuadrante. Si k es NEGATIVA, la hipérbola se dibujará en el 2º y 4º Cuadrante.

Función de proporcionalidad inversa (I). y Sea y = K / x Para k= 4  y = 4 / x Tabla de valores x y - 4 -1 - 2 -2 -1 -4 0 NO EXISTE 1 4 2 2 4 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x Como se ve al unir los puntos que hemos llevado al gráfico, lo que se forma es una curva llamada HIPÉRBOLA.

Función de proporcionalidad inversa (y II). Sea y = K / x Para k= - 4  y = - 4 / x Tabla de valores x y - 4 1 - 2 2 -1 4 0 NO EXISTE 1 - 4 2 - 2 4 - 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x Como se ve al unir los puntos que hemos llevado al gráfico, lo que se forma es una curva llamada HIPÉRBOLA.

Ejemplo_1 f (x) = 4 / x Ejemplo_2 f (x) = - 4 / x y -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x Ejemplo_2 f (x) = - 4 / x

Ejemplo_1 y Sea f(x) = 4 /( x + 2) Partimos de la función: Al convertirse x en x+2 se ha producido un desplazamiento horizontal de y=4/x de 2 unidades a la izquierda. Vemos que la asíntota vertical es ahora x=-2 Pues a=-2 El centro es (- 2, 0) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x (-2, 0)

Ejemplo_2 y 4 – 2.x Sea f(x) = ---------- x O sea: 4 Partimos de la función: f(x) = 4 / x A todos los valores de x se les resta 2 unidades (b=-2) Hay un desplazamiento vertical de la gráfica original hacia abajo. Vemos que la asíntota horizontal es ahora y=-2 El centro es (- 2, 0) x -3 -2 -1 0 1 2 3 (0, -2)