DISTRIBUCION DE MUESTREO INFERENCIA ESTADISTICA INFERENCIA ESTADISTICA DISTRIBUCION DE MUESTREO INFERENCIA ESTADISTICA OBSERVANDO MUESTRA 1. OBTENCION DE CONCLUSIONES DE LOS DATOS ANALIZANDO MUESTRA CONFIANZA 2. INTENTA MEDIR SU SIGNIFICACION VERACIDAD PARAMETRO No 1: MEDIA 3. MEDIDAS FUNDAMENTALES D.T. PARA POBLACION PARAMETRO No 2 DESVIACION TIPICA / ERROR TIPICO D.T. PARA MUESTRAS S

CALCULO DE PARAMETROS EJEMPLO CALCULEMOS: POBLACION S = {1, 3, 5, 7} 4 INFERENCIA ESTADISTICA CALCULO DE PARAMETROS EJEMPLO POBLACION S = {1, 3, 5, 7} CALCULEMOS: 4 MEDIA ARITMETICA DESVIACION MEDIA DM = DESVIACION TIPICA VARIANZA 5

UNIDADES ESTANDARIZADAS INFERENCIA ESTADISTICA DISTRIBUCION NORMAL EJEMPLO En el examen parcial de estadística evaluado entre [0 ; 100] la media aritmética fue 72 y la desviación típica o estándar 15. Determinar la referencia tipificada (unidades de desviación típica) de los estudiantes que obtuvieron puntuaciones de: a. 60 b. 93 c. 72 d. 80 X = Vr nota Recordar la formula de transformación de unidades tipificadas. S = Desviación Típica X = 60 S = 15 UNIDADES ESTANDARIZADAS AREA 0.2119 Se desea hallar P(Z<-0.8) A=0.2119 21.19% Se desea hallar P(Z>-0.8) 1- P(Z>-0.8) A=0.7881 27 42 57 72 87 102 117 Se desea hallar P(-0.8<Z<1.4) A=0.2119 A=0.7073 -3 -2 -1 1 2 3 A=0.9192

Hallar las puntuaciones equivalentes a z INFERENCIA ESTADISTICA DISTRIBUCION NORMAL DETERMINACION DE PUNTUACIONES CORRESPONDIENTES A Z. UNIDADES ESTANDARIZADAS X = Vr nota Como se tiene que: S = Desviación Típica Para el ejercicio anterior se tiene que S=15 Hallar las puntuaciones equivalentes a z Z = 1.5 94.5 NOTA Z = -1 57 NOTA Cuando la nota es 60 tenemos que se cumple que Limite de Perdida 27 42 57 72 87 102 117 PIERDEN P(Z<-0.8) AREA 0.2119 -3 -2 -1 1 2 3 APRUEBAN P(Z>-0.8) AREA 0.7881

INFERENCIA ESTADISTICA MEDIA MUESTRAL CADA MUETRA DE TAMAÑO n QUE EXTRAEMOS DE UNA POBLACION ES UNA MEDIA n1 MEDIAS MUESTRALES MUESTRA n2 Si se consideran como valores de una variable aleatoria SE ESTUDIA SU DISTRIBUCION MUESTRAL nn SE LLAMA DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS 1. HALLAMOS MEDIA 2. DESVIACION MEDIA D.M. PROCEDIMIENTO 3. DESVIACION TIPICA O ESTANDART POBLACIONAL 4. VARIANZA

2. Desviación Estándar Poblacional INFERENCIA ESTADISTICA MEDIA MUESTRAL CONSIDERENSEN TODAS LAS MUESTRAS DE TAMAÑO 2 1. MUESTREO ALEATORIO SIMPLE 2. CON REEMPLAZAMIENTO 1. Media Poblacional 2. Desviación Estándar Poblacional PROBABILIDAD

SI LA POBLACION ES FINITA Y LA EXTRACION SIN REPOSICION INFERENCIA ESTADISTICA MEDIA MUESTRAL DISTRIBUCION DE LA PROBABILIDAD DE LA MEDIA MUESTRAL. GRAFICO CADA MUESTRA DE TAMAÑO n EXTRAIDA DE UNA POBLACION PROPORCIONA 1. MEDIA 2. ERROR ESTANDAR DE LA MEDIA SI LA POBLACION ES FINITA Y LA EXTRACION SIN REPOSICION LA DESVIACION TIPICA O ESTANDAR ES N=Población n=Muestra

MEDIA MUESTRAL CONSIDERENSEN TODAS LAS MUESTRAS DE TAMAÑO n INFERENCIA ESTADISTICA MEDIA MUESTRAL CONSIDERENSEN TODAS LAS MUESTRAS DE TAMAÑO n PROBABILISTICO 2. CONDICION ELEMENTOS 1. CON SUSTITUCION 1. MUESTREO TIPO NO PROBABILISTICO 2. SIN SUSTITUCION 1. Media Poblacional 2. Desviación Estándar Poblacional 3. Error Estándar de la Media Desviación Estándar de todas las medias Indica como varia la media muestral entre una y otra

MEDIA MUESTRAL CARACTERISTICAS DE LA MEDIA INFERENCIA ESTADISTICA MEDIA MUESTRAL CARACTERISTICAS DE LA MEDIA 1. CADA MUESTRA DE TAMAÑO n QUE PODAMOS EXTRAER PROPORCIONA UNA MEDIA DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS 2. CADA MEDIA SE PUEDE CONSIDERAR COMO VARIABLE ALEATORIA, PARA ESTUDIAR SU DISTRIBUCION 3. LA DISTRIBUCION SIGUE LA DISTRIBUCION NORMAL 4. SI LA DISTRIBUCION NO SIGUE UNA DISTRIBUCION NORMAL PERO n>30. APLICAMOS TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE Ejemplo No 1 Las notas de cierto examen se distribuyen según una normal de media 5,8 y desviación típica 2,4. Hallar la probabilidad de que la media de una muestra tomada al azar de 16 estudiantes esté comprendida entre 5 y 7. POBLACION N(5,8;2,4) TAMAÑO MUESTRAS n = 16 DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA N(5,8;0,6)

MEDIA MUESTRAL X = MEDIA DE LA MUESTRA INFERENCIA ESTADISTICA MEDIA MUESTRAL X = MEDIA DE LA MUESTRA P(5£x£7)=P(-1.33£z£2)= P(z£2)-[1-P(z£1.33)] = 0,8854 1. CALCULAMOS LA PROBABILIDAD FORMULA DE TRANSFORMACION Z = -1.33 X = 5 1. HALLAMOS LOS Z. UNIDADES ESTANDARIZADAS X = 7 Z = 2 2. HALLAMOS LA PROBABILIDAD PARA Z EN LA TABLA DE U. ESTANDARIZADAS Z = -1.33 P(z < -1.33) P(z < 2) Z = 2 0.0918 0.9772 0.0918 0.9772 0.8854 -3 -2 -1 0 1 2 3 Z=UNIDADES ESTANDARIZADAS 4 4.6 5.2 5.8 6.4 7 7.6 X= UNIDADES DE LA MUESTRA

DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA INFERENCIA ESTADISTICA DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA EJEMPLO: Con relación al ejercicio anterior, que se tiene que el valor del promedio de notas es 5,8 y desviación típica 2,4. Hallar la probabilidad de que la media de una muestra tomada al azar de 16 estudiantes esté por debajo de 7.2. MEDIA POBLACIONAL = MEDIA MUESTRAL DESVIACION TIPICA ELEMENTOS MUESTRA HALLAMOS ERROR ESTANDAR DE LA MUESTRA HALLAMOS EL Z. UNIDADES ESTANDARIZADAS PARA 7.2 2.33 0.9893 P( <7.2 ) P( Z < 2.33 ) AREA = 0.9893 4 4.6 5.2 5.8 6.4 7 7.6 -3 -2 -1 0 1 2 3 EL 98.93% DE TODAS LAS MUESTRAS POSIBLES CON UNA TAMAÑO DE n=16 TIENEN UNA MEDIA DE 7.2. EL PROMEDIO DE LA NOTA DEL 98.93 DE LAS MUESTRAS TIENEN PROMEDIO INFERIOR A 7.2

DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA INFERENCIA ESTADISTICA DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA EJEMPLO: Con relación al ejercicio anterior, que se tiene que el valor del promedio de notas es 5,8 y desviación típica 2,4. Hallar la probabilidad de que la media de una muestra tomada al azar, si la muestra se varia a 100 estudiantes y esté por debajo de 7.2. MEDIA POBLACIONAL = MEDIA MUESTRAL DESVIACION TIPICA ELEMENTOS MUESTRA HALLAMOS ERROR ESTANDAR DE LA MUESTRA HALLAMOS EL Z. UNIDADES ESTANDARIZADAS PARA 7.2 0.5948 P( <7.2 ) P( Z < 0.24 ) AREA = 0.5948 4 4.6 5.2 5.8 6.4 7 7.6 -3 -2 -1 0 1 2 3 EL 59.48% DE TODAS LAS MUESTRAS POSIBLES CON UNA TAMAÑO DE n=100 TIENEN UNA MEDIA DE 7.2. EL PROMEDIO DE LA NOTA DEL 59.48% DE LAS MUESTRAS TIENEN PROMEDIO INFERIOR A 7.2

INFERENCIA ESTADISTICA DISTRIBUCION NORMAL EJEMPLO: Con relación al ejercicio anterior, que se tiene que el valor del promedio de notas es 5,8 y desviación típica 2,4. Hallar la probabilidad de que una nota tomada de un estudiante al azar por debajo de 7.2. MEDIA POBLACIONAL = MEDIA MUESTRAL DESVIACION TIPICA ELEMENTOS MUESTRA HALLAMOS EL Z. UNIDADES ESTANDARIZADAS PARA 7.2 0.58 0.7190 P( <7.2 ) P( Z < 0.58 ) AREA = 0.7190 1 4.6 3.4 5.8 8.2 10.6 13 -3 -2 -1 0 1 2 3 EL 71.90% DE TODAS LAS NOTAS POSIBLES TIENEN UN VALOR DE 7.2. 1. El 71.90% de todos los estudiantes obtuvo nota inferior a 7.2 MUESTRA INDIVIDUAL   n=16 n=100 MEDIA 5,80 D.T. 0,60 0,24 2,40 PORCEN 98,93 59,48 71,90 2. El 59.48% de las muestras con tamaño 100 tiene media inferior a 7.2. CONCLUSION COMPARATIVA 3. El 98.93% de las muestras con tamaño 16 tienen media nferior a 7.2

DISTRIBUCION MUESTRAL POR PROPORCIONES INFERENCIA ESTADISTICA DISTRIBUCION MUESTRAL POR PROPORCIONES CALCULO EXPERIMENTAL DE LA DISTRIBUCION MUESTRAL POR PROPORCIONES. CONSIDERESE LAS SIGUIENTES FIGURAS SUSTITUCION CONSIDEREMOS TODAS LAS MUESTRAS TAMAÑO 2 POSIBLES QUE EXISTEN ALEATORIO SIMPLE X = No Éxitos LA PROBABILIDAD p DE SACAR UN TRIANGULO EN LA MUESTRA n = Tamaño de la muestra DISTRIBUCION MUESTRAL DE PROPORCIONES TABLA DE FRECUENCIA DE PROBABILIDAD DE SALIR UN TRIANGULO

DISTRIBUCION MUESTRAL POR PROPORCIONES INFERENCIA ESTADISTICA DISTRIBUCION MUESTRAL POR PROPORCIONES CALCULEMOS LA ESPERANZA MATEMATICA O PROBABILIDAD DE SALIR TRIANGULO DEL TOTAL DE LAS MUESTRAS MEDIA VARIANZA EL NUMERO DE EXITOS X DE UNA MUESTRA TAMAÑO n, SE DISTRIBUYE DE FORMA BINOMIAL B(n, p) p = Ocurrencia p MUESTRA APROX A UNA DIS. NORMAL q = No ocurrencia q = 1 -p DESV TIPI Como MUESTRA DESV TIPI

DISTRIBUCION MUESTRAL POR PROPORCIONES INFERENCIA ESTADISTICA DISTRIBUCION MUESTRAL POR PROPORCIONES EJEMPLO: Si tiramos una moneda no cargada 100 veces, ¿cuál es la probabilidad de que obtengamos más de 55 caras? p = Ocurrencia = Caras = 0.5 q = No ocurrencia = 0.5 n = Elemento muestra = 100 LA DISTRIBUCION NORMAL DE PROPORCIONES SE DISTRIBUYE N(p; ) N(0.5; 0.05) Hallamos probabilidad P = 0.55 P( Z < 1) Hallamos Z 0.8413 0.30 0.40 0.45 0.5 0.55 0.60 0.65 -3 -2 -1 0 1 2 3 P( > 0.55) P( Z > 1) 1-P( Z <= 1) 0.1587 1 - 0.8413

TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL INFERENCIA ESTADISTICA TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL 1. MUESTRAS GRANDES n > 30 2. LA DISTRIBUCION DE LA MEDIA MUESTRAL ES UNA DISTRIBUCION NORMAL LA MEDIA ES LA MISMA QUE LA DE LA VRIABLE LA DESVIACION TIPICA DE LA MEDIA MUESTRAL SERA APROX EL ERROR ESTANDAR LA DISTRIBUCION DE LA VARIABLE ES UNA NORMAL UNA CONSECUENCIA DEL TEOREMA LA MEDIA LOS PARAMETROS DE DISTRIBUCION MUESTRAL SON DESVIACION ESTANDAR EJEMPLO: Una empresa de mensajería que opera en la ciudad tarda una media de 35 minutos en llevar un paquete, con una desviación típica de 8 minutos. Supongamos que durante el día de hoy han repartido doscientos paquetes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de los tiempos de entrega de hoy esté entre 30 y 35 minutos?

TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL INFERENCIA ESTADISTICA TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL VARIABLE X = Tiempo de entrega Media Aritmética Población Desviación Típica Población Para la muestra Tamaño muestra n = 200 Media muestra Desviación típica muestra SE DEBE HALLAR A = 0.500 33.29 33.86 34.43 35 35.57 36.14 36.71 -3 -2 -1 0 1 2 3 A = 0 A = 0.5

TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL INFERENCIA ESTADISTICA TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL b) ¿Cuál es la probabilidad de que, en total, para los doscientos paquetes hayan estado más de 115 horas? Las 115 horas = 6.900 min Las unidades tipificadas EL AREA SOMBREADA ES 1 –P(X<34.5) A = 0.1894 A = 0.8106 A = 1 – 0.1894 33.29 33.86 34.43 35 35.57 36.14 36.71 -3 -2 -1 0 1 2 3

TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL INFERENCIA ESTADISTICA TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL EJEMPLO: Se lanza una moneda al aire 100 veces, si sale cara le damos el valor 1 y si sale sello el valor 0. Cada lanzamiento es una variable independiente que se distribuye según el modelo de Bernouilli, con media 0,5 y varianza 0,25. Calcular la probabilidad de que en estos 100 lanzamientos salgan más de 60 caras. n = 100 La media aritmética La Desviación Típica de la muestra 100*0.5 = 50 5 EL AREA SOMBREADA ES 1 –P(Z < 2.0) A = 1 – 0.9772 A = 0.9772 A = 0.0228 Las Unidades Tipificadas para X = 60 35 40 45 50 55 6 0 65 -3 -2 -1 0 1 2 3 La probabilidad de que al tirar 100 veces la moneda salgan más de 60 caras es tan sólo del 2,28%.