Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Valores y vectores propios. Diagonalización por semejanza. Introducción Valores y vectores propios: Definición Cálculo y propiedades Caso particular: valores y vectores propios de matrices simétricas reales Aplicaciones Diagonalización de matrices: Planteamiento y resolución del problema Caso particular: diagonalización de matrices simétricas reales.

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Valores y vectores propios. Diagonalización por semejanza. Introducción Valores y vectores propios: Definición Cálculo y propiedades Caso particular: matrices simétricas reales Aplicaciones Diagonalización de matrices: Planteamiento y resolución Caso particular: matrices simétricas reales. Los valores y vectores propios están presentes en gran parte de nuestra vida Pueden buscarse por sus efectos beneficiosos o perjudiciales. Su cálculo es complicado salvo en sistemas simples o especiales. Añadir ejemplo

  K es autovalor de A   x ≠ 0  Kn / A x = l x Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Valores y vectores propios. Diagonalización por semejanza. Introducción Valores y vectores propios: Definición Cálculo y propiedades Caso particular: matrices simétricas reales Aplicaciones Diagonalización de matrices: Planteamiento y resolución Caso particular: matrices simétricas reales. Sea A  Mnxn (K)   K es autovalor de A   x ≠ 0  Kn / A x = l x x  Kn es autovector de A    K / A x =  x Ejemplo: es un autovector de A asociado a  = 3, ya que Cualquier otro vector αx también será autovector de A asociado a  = 3 Dem

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Valores y vectores propios. Diagonalización por semejanza. Introducción Valores y vectores propios: Definición Cálculo y propiedades Caso particular: matrices simétricas reales Aplicaciones Diagonalización de matrices: Planteamiento y resolución Caso particular: matrices simétricas reales. Anxn representa una aplicación lineal f: Rn → Rn Obtener los valores propios de A es equivalente a obtener los valores propios de f Ejemplo: simetría respecto al eje OX Los vectores del eje OY son vectores propios asociados a  = -1, ya que f(z) = -1· z x  z y Los vectores del eje OX son vectores propios asociados a  = 1, ya que f(y) = 1· y f(y) f(z) f(x) Utilizando la matriz A2x2 que representa esta simetría se obtiene el mismo resultado Ver

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Valores y vectores propios. Diagonalización por semejanza. Introducción Valores y vectores propios: Definición Cálculo y propiedades Caso particular: matrices simétricas reales Aplicaciones Diagonalización de matrices: Planteamiento y resolución Caso particular: matrices simétricas reales. Los valores propios nos dan la llave para entender cómo funciona un operador.  >0 alarga o encoje cualquier vector propio x asociado a  y también cualquier combinación lineal de vectores propios asociados a  Añadir ejemplo ¿o quitar diapositiva?

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Valores y vectores propios. Diagonalización por semejanza. Introducción Valores y vectores propios: Definición Cálculo y propiedades Caso particular: matrices simétricas reales Aplicaciones Diagonalización de matrices: Planteamiento y resolución Caso particular: matrices simétricas reales. Ecuación característica: pA()=0 Polinomio característico: pA() (polinomio de grado n en ) Primero se obtienen los valores propios: i Después, para cada valor propio i obtenido, se calcula el subespacio propio: V(i) = {xKn / (A-iI) x = 0}  K es autovalor de AMnxn(K)  es solución de la ecuación característica Si K= C A posee exactamente n autovalores Si K= R A posee a lo sumo n autovalores Valores propios: ejemplos de cálculo Ejs. 1, 2 y 3 Vectores propios: ejemplos de cálculo Ej. 1 Ej. 2 Ej. 3

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Valores y vectores propios. Diagonalización por semejanza. Introducción Valores y vectores propios: Definición Cálculo y propiedades Caso particular: matrices simétricas reales Aplicaciones Diagonalización de matrices: Planteamiento y resolución Caso particular: matrices simétricas reales. Los autovalores pueden ser repetidos o no. Se llama multiplicidad algebraica, mi, de un autovalor i, a la multiplicidad de i como raíz de la ecuación característica. Se llama multiplicidad geométrica, μi, de un autovalor i, a la dimensión del subespacio propio asociado a él: dim V(i) Ejemplos: Ej. 1 Ej. 2 Ej. 3 Ej. 4 Ej. 5

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Valores y vectores propios. Diagonalización por semejanza. Introducción Valores y vectores propios: Definición Cálculo y propiedades Caso particular: matrices simétricas reales Aplicaciones Diagonalización de matrices: Planteamiento y resolución Caso particular: matrices simétricas reales. Valores propios: propiedades Tr (A) = 1 +2 +3 + … + n |A|= 1· 2 · 3 · … · n Ejs. Vectores propios: propiedades Un autovector de una matriz cuadrada está asociado a un único autovalor Autovectores asociados a autovalores distintos son linealmente independientes Matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico y, por lo tanto, los mismos autovalores.

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Valores y vectores propios. Diagonalización por semejanza. Introducción Valores y vectores propios: Definición Cálculo y propiedades Caso particular: matrices simétricas reales Aplicaciones Diagonalización de matrices: Planteamiento y resolución Caso particular: matrices simétricas reales. Sea A  M nxn (R) simétrica; entonces: A tiene n autovalores Autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales Ej.

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Valores y vectores propios. Diagonalización por semejanza. Introducción Valores y vectores propios: Definición Cálculo y propiedades Caso particular: matrices simétricas reales Aplicaciones Diagonalización de matrices: Planteamiento y resolución Caso particular: matrices simétricas reales. Aplicaciones: Resolución de ecuaciones diferenciales (evolución de sistemas continuos) Pero las ecs. diferenciales no son algo puramente matemático. Surgen en todos los campos de las Ciencias: Vibraciones (libres y forzadas) Estructuras (cargas críticas) Problemas de mezclas Problemas de crecimiento y competición de poblaciones Transmisión de fotografías

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Valores y vectores propios. Diagonalización por semejanza. Introducción Valores y vectores propios: Definición Cálculo y propiedades Caso particular: matrices simétricas reales Aplicaciones Diagonalización de matrices: Planteamiento y resolución Caso particular: matrices simétricas reales. Diagonalización por semejanza: A M nxn (K) es diagonalizable   D diagonal semejante a A  P regular / D = P-1 ·A· P siendo D diagonal O considerando el endomorfismo representado por A: un endomorfismo es diagonalizable   una base en la que la matriz del endomorfismo es diagonal E B f B’ A D ¿qué pasa con una matriz si tiene n vectores propios? P. 294n Algunas ventajas y aplicaciones. Si A es diagonalizable  A = P ·D· P-1 Cálculo de potencias: AK = ( P ·D· P-1)K = (P ·D· P-1) · (P ·D· P-1)· … · (P ·D· P-1) = P ·DK· P-1 Cálculo de la inversa: A-1 = ( P ·D· P-1)-1 = (P ·D· P-1)-1 = P ·D-1· P

Diagonalización: Condición necesaria: Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Valores y vectores propios. Diagonalización por semejanza. Introducción Valores y vectores propios: Definición Cálculo y propiedades Caso particular: matrices simétricas reales Aplicaciones Diagonalización de matrices: Planteamiento y resolución Caso particular: matrices simétricas reales. Diagonalización: Condición necesaria: Si A es diagonalizable  A tiene n valores propios Condición necesaria y suficiente: A es diagonalizable  tiene n vectores propios lin. independientes Condición suficiente: Si A tiene n valores propios distintos  A es diagonalizable Si A es diagonalizable  V(n) V(1) V(2) Valores propios de A n vectores propios de A l.i ¿Demostración de la condición necesaria? ¿Añadir a la condición suficiente que A sea simétrica? ¿Links a los ejemplos anteriores para justificar si son diagonalizables o no y poner D y P? Ejemplos 2x2, 3x3, 3x3 defectiva Otras definiciones de diagonalizable: si base de Kn formada por vectores propios de A si kn suma directa de subespacios propios si i=μI ¡No todas las matrices son diagonalizables! Las matrices no diagonalizables se dice que son defectivas D es única, salvo permutaciones de los valores propios P no es única Ejemplos: Ej.1 Ej.2 Ej.4 Ej.5

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Valores y vectores propios. Diagonalización por semejanza. Introducción Valores y vectores propios: Definición Cálculo y propiedades Caso particular: matrices simétricas reales Aplicaciones Diagonalización de matrices: Planteamiento y resolución Caso particular: matrices simétricas reales. Caso particular: diagonalización de matrices simétricas reales por semejanza ortogonal A M nxn (R) es diagonalizable ortogonalmente  es semejante a una matriz diagonal por medio de una matriz ortogonal   P ortogonal (P-1 = PT) / D = P-1 ·A· P = PT ·A· P A M nxn (R) es simétrica  es diagonalizable ortogonalmente Comprobar definición diagonalización ortogonal ¿P real? Ej.

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Valores y vectores propios. Diagonalización por semejanza. Introducción Valores y vectores propios: Definición Cálculo y propiedades Caso particular: matrices simétricas reales Aplicaciones Diagonalización de matrices: Planteamiento y resolución Caso particular: matrices simétricas reales. Aplicaciones: Ecuaciones en diferencias (evolución de sistemas discretos) Diagonalización de formas cuadráticas Desacoplar sistemas de ecuaciones

La matriz que representa esta simetría en la base canónica es: Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU x  z y f(y) f(z) f(x) La matriz que representa esta simetría en la base canónica es:

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Cálculo de valores propios: ejemplos pA() = 0 Ej. 1 1 = -1 2 = 3 2 valores propios Ej. 2 1 = -1 2 = 2 3 = 3 3 valores propios Ej. 3 1 = 4 ¿Añadir ejemplo práctico: cargas críticas de una viga? Si A(C) → tres valores propios ¡Si A(R) → un único valor propio!

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Cálculo de vectores propios: Ej. 1 1 = -1 2 = 3 1 = -1 V(-1)={xK2 / A·x = -1·x } ={xK2 / (A+1·I)·x = 0} Resolviendo: Obsérvese que dim V(-1) = dim K2 - nº ecs. l.i= = 2 - 1 = 1 rg (A+1·I) 2 = 3 V(3)={xK2 / A·x = 3·x } ={xK2 / (A-3·I)·x = 0} Resolviendo: Obsérvese que dim V(3) = dim K2 - nº ecs. l.i= = 2 - 1 = 1 rg (A-3·I)

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Cálculo de vectores propios: Ej. 2 1 = -1 2 = 2 3 = 3 1 = -1 V(-1)={xK3 / A·x = -1·x } ={xK3 / (A+1·I)·x = 0} Resolviendo: dim V(-1) = dim K3 - nº ecs. l.i= = 3 - 2 = 1 rg (A+1·I) 2 = 2 V(2)={xK3 / A·x = 2·x } ={xK3 / (A-2·I)·x = 0} Resolviendo: dim V(-1) = dim K3 - nº ecs. l.i= = 3 -2 = 1 rg (A+2·I) 3 = 3 V(3)={xK3 / A·x = 3·x } ={xK3 / (A-3·I)·x = 0} Resolviendo: dim V(-1) = dim K3 - nº ecs. l.i= = 3 -2 = 1 rg (A-3·I)

Cálculo de vectores propios: Ej. 3 Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Cálculo de vectores propios: Ej. 3 1 = 4 Res: 1 = 4 V(4)={xK3 / A·x = 4·x } ={xK3 / (A-4·I)·x = 0} V(2)={xK3 / A·x = 2 ·x } ={xK3 / (A- 2·I)·x = 0} Res: V(3)={xK3 / A·x = 3 ·x } ={xK3 / (A- 3·I)·x = 0} Res:

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Cálculo de vectores propios: Ej. 1 1 = -1 m1 = 1 2 = 3 m2 = 1 1 = -1 V(-1)={xK2 / A·x = -1·x } ={xK2 / (A+1·I)·x = 0} Resolviendo: μ1 = 1 = m1 Obsérvese que dim V(-1) = dim K2 - nº ecs. l.i= = 2 - 1 = 1 rg (A+1·I) 2 = 3 V(3)={xK2 / A·x = 3·x } ={xK2 / (A-3·I)·x = 0} Resolviendo: μ2 = 1 = m2 Obsérvese que dim V(3) = dim K2 - nº ecs. l.i= = 2 - 1 = 1 rg (A-3·I)

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Cálculo de vectores propios: Ej. 2 1 = -1 2 = 2 3 = 3 m1 = 1 m2 = 1 m3 = 1 1 = -1 V(-1)={xK3 / A·x = -1·x } ={xK3 / (A+1·I)·x = 0} Resolviendo: μ1 = 1 = m1 dim V(-1) = dim K3 - nº ecs. l.i= = 3 - 2 = 1 rg (A+1·I) μ2 = 1 = m2 2 = 2 V(2)={xK3 / A·x = 2·x } ={xK3 / (A-2·I)·x = 0} Resolviendo: dim V(-1) = dim K3 - nº ecs. l.i= = 3 -2 = 1 rg (A+2·I) 3 = 3 V(3)={xK3 / A·x = 3·x } ={xK3 / (A-3·I)·x = 0} Resolviendo: μ3 = 1 = m3 dim V(-1) = dim K3 - nº ecs. l.i= = 3 -2 = 1 rg (A-3·I)

Cálculo de vectores propios: Ej. 3 Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Cálculo de vectores propios: Ej. 3 1 = 4 m1 = 1 m2 = 1 m3 = 1 Res: 1 = 4 V(4)={xK3 / A·x = 4·x } ={xK3 / (A-4·I)·x = 0} μ1 = 1 = m1 V(2)={xK3 / A·x = 2 ·x } ={xK3 / (A- 2·I)·x = 0} Res: μ2 = 1 = m2 μ3 = 1 = m3 V(3)={xK3 / A·x = 3 ·x } ={xK3 / (A- 3·I)·x = 0} Res:

rg (A-4·I) Ej. 4 1 = -2 , m1 = 1 2 = 4 , m2 = 2 1 = -2 Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Ej. 4 1 = -2 , m1 = 1 2 = 4 , m2 = 2 1 = -2 V(-2)={xK3 / A·x = -2·x } ={xK3 / (A+2·I)·x = 0} Res: μ1 = 1= m1 2 = 4 V(4)={xK3 / A·x = 4·x } ={xK3 / (A-4·I)·x = 0} Resolviendo: μ2 = 1< m2 dim V(4) = dim K3 - nº ecs. l.i= = 3 - 2 = 1 rg (A-4·I)

V(1)={xK3 / A·x = 1·x } ={xK3 / (A-1·I)·x = 0} Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Ej. 5 1 = 1 , m1 = 2 2 = 4 , m2 = 2 1 = 1 V(1)={xK3 / A·x = 1·x } ={xK3 / (A-1·I)·x = 0} Res: dim V(1) = dim K4 - nº ecs. l.i= 4 – rg (A-1 I)= 4 – 2= 2 μ1 = 2 = m1 2 = 4 V(4)={xK3 / A·x = 4·x } ={xK3 / (A-4·I)·x = 0} Res: dim V(4) = dim K4 - nº ecs. l.i= 4 – rg (A-4 I)= 4 – 2= 2 μ2 = 2 = m2

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Cálculo de valores propios: ejemplos pA() = 0 Ej. 1 1 = -1 2 = 3 Tr(A) = 2 = -1+3 |A| = -3 = -1·3 2 valores propios Ej. 2 1 = -1 2 = 2 3 = 3 Tr(A) = 4 = -1+2+3 |A| = -6 = -1·2·3 3 valores propios Ej. 3 1 = 4 Si A(C) → tres valores propios ¡Si A(R) → un único valor propio!

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Valores y vectores propios de matrices simétricas reales: ejemplo 1 = -1 m1 = 2 2 = 5 m2 = 3 1 = -1 V(-1)={x5 / A·x = -1·x } ={xR5 / (A+1·I)·x = 0} μ1 = 2 = m1 2 = 5 V(5)={x5 / A·x = 5·x } ={xR5 / (A-5·I)·x = 0} μ2 = 3 = m2

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Diagonalización: Ej. 1 1 = -1 m1 = 1 A diagonalizable 2 = 3 m2 = 1 1 = -1 V(-1)={xK2 / A·x = -1·x } ={xK2 / (A+1·I)·x = 0} μ1 = 1 = m1 2 = 3 V(3)={xK2 / A·x = 3·x } ={xK2 / (A-3·I)·x = 0} μ2 = 1 = m2 V(1) V(2) 1 2 D = P-1 · A · P

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Diagonalización: Ej. 2 1 = -1 2 = 2 3 = 3 m1 = 1 A diagonalizable m2 = 1 m3 = 1 1 = -1 V(-1)={xK3 / A·x = -1·x } ={xK3 / (A+1·I)·x = 0} μ1 = 1 = m1 2 = 2 V(2)={xK3 / A·x = 2·x } ={xK3 / (A-2·I)·x = 0} μ2 = 1 = m2 3 = 3 V(3)={xK3 / A·x = 3·x } ={xK3 / (A-3·I)·x = 0} μ3 = 1 = m3 V(1) V(2) 1 V(3) 2 3 D = P-1 · A · P

V(-2)={xK3 / A·x = -2·x } ={xK3 / (A+2·I)·x = 0} Res: Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Diagonalización: Ej. 4 1 = -2 , m1 = 1 A diagonalizable  dim V(4)=2 2 = 4 , m2 = 2 1 = -2 V(-2)={xK3 / A·x = -2·x } ={xK3 / (A+2·I)·x = 0} Res: μ1 = 1= m1 2 = 4 V(4)={xK3 / A·x = 4·x } ={xK3 / (A-4·I)·x = 0} μ2 = 1< m2 ¡A no es diagonalizable!

V(1)={xK3 / A·x = 1·x } ={xK3 / (A-1·I)·x = 0} Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Diagonalización: Ej. 5 1 = 1 , m1 = 2 A diagonalizable  dim V(1)=2 ^ dim V(4)=2 2 = 4 , m2 = 2 1 = 1 V(1)={xK3 / A·x = 1·x } ={xK3 / (A-1·I)·x = 0} μ1 = 2 = m1 2 = 4 V(4)={xK3 / A·x = 4·x } ={xK3 / (A-4·I)·x = 0} μ2 = 2 = m2 V(1) V(1) 1 A es diagonalizable V(2) V(2) 1 2 2 D = P-1 · A · P

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Diagonalización de matrices simétricas por semejanza ortogonal: ejemplo 1 = -1 m1 = 2 A diagonalizable 2 = 5 m2 = 3 1 = -1 V(-1)={x5 / A·x = -1·x } ={xR5 / (A+1·I)·x = 0} μ1 = 2 = m1 v1 v2 1 = 5 V(5)={x5 / A·x = 5·x } ={xR5 / (A-5·I)·x = 0} μ2 = 3 = m2 v3 v4 v5 1 1 V(1) V(1) V(2) V(2) V(2) 2 2 2 D = P-1 · A · P Pero además, A es diagonalizable ortogonalmente; es decir, podemos conseguir una matriz P ortogonal tal que D= P-1 · A · P = PT · A · P.

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Para ello se necesita una base de vectores propios ortonormada. Por ser A simétrica este tipo de base existe. v1 v2 Teníamos: B= {v1, v2, v3, v4, v5} base de vectores propios v3 v4 v5 1º Buscamos una base ortogonal de vectores propios: B’= {v’1, v’2, v’3, v’4, v’5} V’1 V’2 Para cada subespacio propio se puede conseguir una base ortogonal V’3 V’4 V’5 En este caso BV(5) ya era ortogonal Además, todos los vectores pertenecientes a V(-1) son ortogonales a los vectores pertenecientes a V(5), por ser A simétrica. 2º Normalizando cada vector, se obtiene B’’= {v’’1, v’’2, v’’3, v’’4, v’’5} base ortonormada de vectores propios V(1) V(1) V(2) V(2) V(2) 1 1 2 2 2 D = P-1 · A · P = PT · A · P