4. Conducción transitoria.

a) MÉTODO DE LA CAPACITANCIA TÉRMICA Un problema en conducción es un cambio repentino de ambiente. Ti t ≥ 0 T(t) T∞ < Ti T = T(t) Se asume que la temperatura del sólido es parcialmente uniforme durante el proceso transitorio el gradiente de temperatura es Insignificante. De acuerdo a Ley de Fourier esto implica que existe una conductividad Infinita, lo cual no es posible. Este efecto puede ser equivalente, cuando la resistencia a la conducción dentro del sólido es pequeña en comparación al calor transferido entre el sólido y sus alrededores. Haciendo un balance de energía en el sólido

SIGUE MÉTODO DE LA CAPACITANCIA TÉRMICA Integrando en ambos lados de la ecuación: 0.368 t Nota: Observe que la contante de tiempo pequeña Implica que la temperatura del cuerpo, desciende más rápido que una mayor debido a su capacitancia Térmica la cual depende de la capacidad calorífica “C” y de la densidad “ρ” del cuerpo Para el calor disipado. 1 0.632 t

VALIDÉZ DEL MÉTODO T Ts1 Ts2 T∞, h Ts2 0 L x ¿Bajo que condición se puede usar el método razonablemente para analizar el transitorio? T Ts1 Ts2 T∞, h Ts2 0 L x Bajo condición de estado estable, el balance en la superficie. Bi → Número de Biot. Relación de la caída de temperatura del sólido, a la diferencia de temperaturas del sólido y el fluido Si se satisface que: El error de usar el método es pequeño

ANÁLISIS DE LA CAPACITANCIA EN GENERAL Considerando un muro como se muestra: ρ,C,V T(0)=Ti Talr T∞,, h Ae As Ae Área de calor de entrada As Área de convección y radiación Si no hay calor de entrada, gen y convecc. Si Talr = 0 (radiación al espacio)

Se asume: Temperatura de la esfera es Ejemplo. Se tiene una esfera de cobre; d = 12.7 mm a 660C antes de introducirla en aire a 270C. Se introduce instantáneamente y asando 69 s adquiere una temperatura de 550C. Justifique que la esfera se comporta como un cuerpo isotérmico y encuentre “h”. Se asume: Temperatura de la esfera es uniforme, radiación despreciable y propiedades constantes. Propiedades: Cobre a 3330C: ρ = 8933 Kg/m3 K = 398 W/mK: Cp = 389 J/KgK Diagrama: T(0) = 660C T∞ = 270C d T(69) = 550C Con: θ = T - T∞ COMENTARIO: Las asunciones de espacialidad isotérmica es razonable

CONDUCCIÓN TRANSITORIA UNIDIRECCIONAL ADIMENSIONAL Si no es despreciable el gradiente de temperatura dentro del medio. Pared plana sin efecto espacial, no generación Interna y k = Cte. L Mitad del espesor de la pared En forma adimensional la dependencia queda Para una geometría prescrita, la distribución de temperatura es una función universal de:

Ejemplo. Se tienen dos paredes de diferentes dimensiones y características térmicas: Pared L (m) α(m2/s) k (w/mK) Ti(0C) T∞(0C) h (w/m2K) I 0.10 15x10-6 50 300 400 200 II 0.40 25x10-6 100 30 20 100 La temperatura para la pared I a: x = L después de t1 = 100 s es T1(L1,t1) = 315 0C. ¿Cuánto tiempo tomará la pared II para llegar a 28.5 0C en x = L2 ? Usando como base para el análisis: L k, α T∞,h Aislado T (x,0) = Ti ANÁLISIS: Si los parámetros son iguales para ambas paredes entonces: Evaluando esos parámetros se tiene: 1.563x10-4 t2 =0.150

LA SOLUCIÓN EXACTA Para una pared plana. Solución aproximada: Si F0 =0.2 Representa la temperatura del plano medio La transferencia total de energía en el transitorio: Se integra sobre el volumen de la pared. Usando la aproximación Para una pared plana. Ti = T(x,0) Ti = T(x,0) y sumido en un fluido a: T∞,h T∞ ≠ Ti T∞,h -L L Las condiciones de convección similares a: Hay simetría en la distribución de temperatura en: Los valores característicos de ςn son raíces positivas de: ςn Tan ςn = Bi

SISTEMAS RADIALES CON CONVECCIÓN Esfera Los valores discretos de son las raíces positivas de: Solución aproximada: F0 >0.2 Energía total transferida Cilindro. Razonable el análisis para: L/r0 ≥ 10 Los valores discretos de ςn son las raíces positivas de: Solución aproximada: F0 >0.2 (cilindro infinito) Energía total transferida.

FUNCIONES DE BESSEL TABLAS X J0 J1 J2 J3 1.00 .25 0.984 0.124 0.00777 0.00032 .50 0.938 0.242 0.0306 .00256 .75 0.864 0.349 0.067 .00850 0.765 0.440 0.115 0.0196 1.5 0.512 0.558 0.232 0.0610 2.0 0.2241 0.578 0.353 0.129 2.40 +0.00250 0.520 0.431 0.198 2.41 -0.00270 0.518 0.433 0.200 3.00 +0.260 0.339 0.486 0.309 3.83 -0.403 +.007 0.403 0.420 3.84 -.0033 0.399 0.421 4.00 -0.397 -.0660 0.364 0.430 5.00 -0.178 -0.328 0.293 0.356 5.13 -0.134 -0.339 +0.00191 0.340 5.14 -0.13 -0.340 -0.00148 5.52 -0.00002 -0.3403 -0.123 0.251 5.53 +0.0037 -0.126 0.248 6.00 0.151 -0.277 -0.243 7.00 0.300 -0.00468 -0.301 -0.168 7.02 0.3001 +0.00132 -.299 -0.172 8.00 0.172 0.235 -.113 -0.291 8.66 -0.0017 0.272 +0.064 -0.242 9.00 -0.090 0.245 0.145 -0.181 10.00 -0.246 0.043 0.255 +0.058

En gráfica 2 se tiene que: Problema. Una placa plana de espesor 0.1 m está a 250 0C, se sumerge en aceite a 300C. Si h = 500 W/m2 0K en el baño, calcule la temperatura en superficie de la pared9 Min después de la inmersión. Propiedades de la pared son k = 50 W/m2 0K, ρ = 7835 kg/m3, c = 465 J/kg0K Con: Bi-1 = (1/0.5) = 2, y En gráfica 2 se tiene que: Con Gráfica 1, con: Bi-1 = 2 y (x/L) = 1 Combinando estas dos ecuaciones: Ec.1 y Ec.2 Se conoce: Prop. de placa y temps. Encontrar: T (L, 9 min) Se asume: Cond. Unidim. Y prop. Ctes Diagrama: Ti = T(x, 0) k, ρ, c T∞, h x 2L Análisis: No se debe usar el análisis de la capacitancia térmica

Ejemplo. Una barra de acero muy larga de 20 Cm de diámetro está a 980 0C; se sumerge instantáneamente en aceite a 40 0C, se estima que h = 565 W/m2 0C. Calcule el tiempo que tarda para que la temperatura del centro de la barra alcance 260 0C si las propiedades de la barra son: ρ =7817 kg/m3, c = 0.46 kJ/kg 0C, k = 16.3 w/m 0C, ά = 0.444x10-5 m2/s. Solución: El número de Biot para este caso es En la Fig. D.4 Pag. 872 se obtiene el número de Fourier que es 0.53 por lo que::

GRÁFICO DE HEISLER (no. 1) Distribución de temperatura pared plana espesor 2L θ/θ0

GRÁFICA 2: CAMBIO DE ENERGÍA INTERNA CON EL TIEMPO PARED PLANA ESPESOR 2L

Se pone en contacto de pronto con un fluido a T∞ y se desea conocer SÓLIDO SEMIINFINITO El modelo considera una parte identificable y el resto tiende a infinito. Se pone en contacto de pronto con un fluido a T∞ y se desea conocer la temperatura de la placa T(x,t) La ecuación del transitorio es dada por: Ts x Se tienen soluciones para tres casos diferentes con su respectiva CF. CASO III Caso I. T(0,t) = Ts T∞ Caso II. Ti Caso III.

SOLUCIÓN DE CASO I. Para transformar la Ec. de calor, de ecuación diferencial parcial en “x” y “t” a una Ec. Dif. ordinaria en términos de “η”, se realiza una transformación de operadores: Sustituyendo en el modelo, la ecuación de calor se convierte en: Con x = 0; corresponde a η = 0: T(η = 0) = Ts Con x → ∞ como t = 0; corresponde a η → ∞: T(η → ∞) = Ti

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE CALOR TRANSFORMADA Las nuevas condiciones iniciales y frontera son independientes de “x” y “t”, “η” es una variable de similaridad y T(η) se puede obtener de la ecuación de calor transformada re-arreglándola como:

FLUJO DE CALOR Y CASOS 2 Y 3 El flujo de calor en la superficie puede encontrarse por la Ley de Fourier.

CASO ESPECIAL Dos sólidos semiinfinitos con temperatura uniforme inicial “TAi” y “TBi” en el instante de contacto ( t = 0 ). Ambas temperaturas llegan a una misma temperatura “Ts”: TBi < Ts <TAi . Para llegar a una temperatura de equilibrio se debe cumplir:

Valores de la Función de Error (erf) y la Función de Error Complementaria (erfc)   β erf(β) erfc(β) 0.000000 1.000000 1.00 0.842701 0.157299 0.05 0.056372 0.943628 1.10 0.880205 0.119795 0.10 0.112463 0.887537 1.20 0.910314 0.089686 0.15 0.167996 0.832004 1.30 0.934008 0.065992 0.20 0.222703 0.777297 1.40 0.952285 0.047715 0.25 0.276326 0.723674 1.50 0.966105 0.033895 0.30 0.328627 0.671373 1.60 0.976348 0.023652 0.35 0.379382 0.620618 1.70 0.983790 0.016210 0.40 0.428392 0.571608 1.80 0.989091 0.010909 0.45 0.475482 0.524518 1.90 0.992790 0.007210 0.50 0.520500 0.479500 2.00 0.995322 0.004678 0.55 0.563323 0.436677 2.10 0.997021 0.002979 0.60 0.603856 0.396144 2.20 0.998137 0.001863 0.65 0.642029 0.357971 2.30 0.998857 0.001143 0.70 0.677801 0.322199 2.40 0.999311 0.000689 0.75 0.711155 0.288845 2.50 0.999593 0.000407 0.80 0.742101 0.257899 2.60 0.999764 0.000236 0.85 0.770668 0.229332 2.70 0.999866 0.000134 0.90 0.796908 0.203092 2.80 0.999925 0.000075 0.95 0.820891 0.179109 2.90 0.999959 0.000041 3.00 0.999978 0.000022

(a) Caso 1. Para el sólido semiinfinito se tiene: PROBLEMA. Se tiene un bloque grande de acero con: k = 45 w/m 0C, α = 1.4x10-5 m2/s a una Ti = 35 0C., la superficie se expone a un flujo de calor. Calcular la temperatura a 2.5 cm en; t = 30 s, si: (a) La Temperatura de superficie se eleva a 250 0C, (b) Con un flujo de calor de 3.2x105 w/m2. Análisis: (a) Caso 1. Para el sólido semiinfinito se tiene: (b) Caso 2. Para flujo de calor constante. La temperatura en la superficie después de 30s se usa misma ecuación con x = 0 y es de: T(x=0) = 199.4 0C