ESPAD III * PC 08 LENGUAJE ALGEBRAICO

Expresión algebraica EXPRESIÓN ALGEBRAICA Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidas por los signos de las operaciones aritméticas: Adición, sustracción, multiplicación, división y potencia. Al factor numérico, o número que multiplica o divide a una letra, se le denomina COEFICIENTE. A las letras se las llama VARIABLES, y a su exponente GRADO. Ejemplos: 4.x + y/5 – z El 4 es el coeficiente de x, el 1/5 el de y, y el -1 de z. (4.x + y)/5 – 3.z El 4/5 es el coeficiente de x, el 1/5 el de y, y el -3 de z.

Utilidad del álgebra: Ejercicios Escribe los enunciados y a continuación, con distinto color, las expresiones algebraicas que representan dichos enunciados: a) Número de ruedas necesarias para fabricar x coches. b) Número de céntimos para cambiar x euros. c) Número de patas de un corral con “a” gallinas y “b” conejos. d) Número de cromos que me quedan después de perder 12. e) Un número menos 3. f) La mitad de un número. g) Restar la mitad de un número al 2. h) Doble de un número menos 5. h) Doble de un número, menos 5. i) Cuadrado de un número más 7. i) Cuadrado de un número, más 7.

Utilidad del álgebra: Ejercicios Escribe los enunciados y a continuación, con distinto color, las expresiones algebraicas que representan dichos enunciados: j) La tercera parte de un número más su quinta parte. k) Dos quinto de un número. l) El triple de un número más 1. m) La edad de Pedro hace cuatro años. n) La edad de Juan dentro de 15 años. o) Mi padre me da el doble del dinero que tenía. ¿Cuánto tengo ahora? p) Dos números se diferencian en 5 unidades. q) El cociente de dos números es igual a tres veces su suma. r) El producto de dos números dividido por su suma es 5. s) La diferencia de los cubos de dos números.

Utilidad del álgebra: Ejercicios Escribe los enunciados y a continuación, con distinto color, las expresiones algebraicas que representan dichos enunciados: t) El área de un rectángulo. u) El perímetro de un rectángulo. v) El área de un cuadrado. w) El perímetro de un cuadrado. x) El área de un círculo. y) El perímetro de un círculo. z) La raíz cuadrada de un número menos 3. z) La raíz cuadrada de un número, menos 3. z) La diferencia de las raíces cuadradas de un número y de 3.

Utilidad del álgebra: Ejemplo_1 El IVA, en la mayoría de los artículos, es del 16%. Si llamamos x al PVP sin IVA, lo que pagaremos al comprar dicho artículo con factura será: 16 x + -----. x 100 El precio final será x+0,16.x Hemos de pagar 1,16.x , siendo x el PVP. Valga lo que valga el artículo, la expresión algebraica la podemos utilizar siempre. Si llamamos P al precio final, queda: P = 1,16.x , que es lo que llamamos FÓRMULA.

Utilidad del álgebra: Ejemplo_2 Sea un rectángulo. Llamamos b a lo que mide el lado de la base. Llamamos h a lo que mide el lado de la altura. El perímetro de un rectángulo es: 2.b+2.h El área de un rectángulo es: b.h Aunque tengamos millones de rectángulos distintos, la expresión algebraica la podemos emplear siempre, con independencia de lo que midan sus lados. Si empleamos: P = 2.b+2.h A = b.h Entonces las expresiones se convierten en FÓRMULAS.

Utilidad del álgebra: Ejemplo_3 La nota media de dos exámenes más la nota por su actitud en clase es la nota de la evaluación de un alumno: Llamamos x a la nota de un examen. Llamamos y a la nota del otro examen. Llamamos z a la nota de clase. Cualquiera que sean las notas de los exámenes y el alumno en cuestión, la nota de evaluación será siempre: x + y ------- + z 2 Si llamamos N a la nota de la evaluación, la expresión algebraica se convierte en la Fórmula: N = -------- + z

Utilidad del álgebra: Ejemplo_4 Al reparar un ordenador a domicilio, un técnico cobra 30 € por salida y 10 € cada media hora de trabajo. Llamamos x a las horas que ha estado reparando el ordenador. Nos cobrará al final: 30 + 2.x . 10 Si llamamos P al precio final, la expresión algebraica se convierte en la Fórmula: P = 30 + 20.x Nota: Hay que tener en cuenta que falta el IVA, y además se puede complicar la expresión si cambia alguna pieza.

Monomios Un monomio es la expresión algebraica más sencilla. Es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras son la MULTIPLICACIÓN y la POTENCIACIÓN DE EXPONENTE NATURAL. EJEMPLO 4.x3 El 4 es el coeficiente numérico. La letra x es la variable. El 3 es el exponente de la variable, que se llama GRADO del monomio. EJEMPLOS DE APLICACIÓN PRÁCTICA Por x representaríamos una longitud. Por x2 representaríamos una superficie. Por x3 representaríamos un volumen.

Ejercicios x2 y.z3 / 5 El 1/5 es el coeficiente numérico. La letra x es una variable, y su grado es 2. La letra y es otra variable, y su grado es 1. La letra z es otra variable, y su grado es 3. - 3.x - 2 no es un monomio, pues el exponente de x es negativo. 5.(x / y) no es un monomio, pues la variable y está dividiendo. 3 ----- no es un monomio, pues la variable x está dividiendo. 2.x - 3.x.√y no es un monomio, pues la variable y está bajo una raíz.

Monomios semejantes Dos monomios son SEMEJANTES si tienen la misma parte literal. EJEMPLO 4.x3 , 7.x3 , - 23.x3  Parte literal común: x3 - 5.a5 , 31.a5 , - 3.a5  Parte literal común: a5 x.y3 , 7.x.y3 , - 2.x.y3  Parte literal común: x.y3 Para que dos o más monomios se puedan sumar deben ser semejantes. 3.x + 2.y no se pueden sumar (¿Tres peras + dos naranjas?) 5.x2 + 2. x3 no se pueden sumar (¿5 m2 + 2 m3 ?).

Polinomios Es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de monomios no semejantes. Cada monomio que forma el polinomio se le llama TÉRMINO, Aquel monomio que no contenga parte literal, sólo números, se le llama TÉRMINO INDEPENDIENTE. EJEMPLOS P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x P(x) = 3.x3 - 7.x + 5 P(x) = x3 + 7.x2 - 5.x - 3

GRADO DE UN POLINOMIO Es el mayor grado de los monomios que lo forman. EJEMPLOS P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x  Grado de P(x) = 3 Q(x) = - 7.x + 5  Grado de Q(x) = 1 R(x, y) = x3. y + 7.y2 - 5.x.y  Grado de R(x, y) = 3 respecto x  Grado de R(x, y) = 2 respecto y  Grado de R(x, y) = 4

TIPOS DE POLINOMIOS REDUCIDOS Tiene sumados los términos semejantes NO REDUCIDOS Contiene dos o más términos semejantes. COMPLETOS Sus términos tienen todos los grados, desde el del polinomio a cero. INCOMPLETOS Falta algún término de grado menor que el del polinomio. ORDENADOS Sus términos están ordenados por el grado de la variable. NO ORDENADOS Sus términos están desordenados según el grado de los mismos. Es muy importante que un polinomio esté REDUCIDO y ORDENADO DECRECIENTEMENTE para poder operar correctamente con él.

EJEMPLOS DE TIPOS DE POLINOMIOS REDUCIDOS P(x) = 20.x3 + 31.x2 + 4.x – 6 NO REDUCIDOS P(x) = 2.x3 + 7.x - 31.x2 + 4.x – 6 COMPLETOS P(x) = x3 + 3.x2 + 4.x – 6 INCOMPLETOS P(x) = 3.x3 + 4.x – 6  Falta término en x2 ORDENADOS P(x) = x3 - 3.x2 – 6  Ordenado de forma decreciente. NO ORDENADOS P(x) = 7.x - 3.x3 + 6.x2 – 6 Es muy importante que un polinomio esté REDUCIDO y ORDENADO DECRECIENTEMENTE para poder operar correctamente con él.