Sistemas de numeración Mariano M. Moscato Organización del computador I verano 2008

El plato del día Números. Sistemas posicionales. Cambios de base. Operaciones en otras bases. Precisión finita.

Hablemos de números enteros ¡Hay que diferenciar!  Qué pienso Cómo lo escribo 2 II

Pienso, luego escribo Cada concepto puede representarse de varias maneras... En particular los enteros ¿Cómo escribimos números? Sistemas no posicionales Sistemas posicionales

Ejemplo posicional Sistema decimal 6 1 7 Diez símbolos: 3 4 Sistema decimal Diez símbolos: ¿Cómo hacemos para saber qué número representa la siguiente tira de símbolos? 6 9 5 1 7 2 8 6 1 7

(Otro) ejemplo posicional 3 4 Sistema decimal Diez símbolos: ¿Cómo hacemos para saber qué número representa la siguiente tira de símbolos? 6 9 5 1 7 2 8 6 1 7 La posición indica la potencia por la que se debe multiplicar al valor (denotado por el símbolo correspondiente)

Otro sistema decimal Los símbolos permitidos (y su significado) La posición al escribir cadenas numerales. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 6 7 diez símbolos 102 101 100 6 1 7 617 600 + 10 + 7 =

¡Manos a la obra! ¿Qué números pueden representar las siguientes cadenas? 10 617 2008 ORGA1 Dada la representación de un número, ¿puedo saber qué base se está utilizando?

En general En los sistemas posicionales nos importa: Los símbolos permitidos Cuántos son Cuáles son Qué significa cada uno La posición al escribir cadenas numerales.

Leo, luego escribo Ya sabemos leer números en cualquier base. ¿Y cómo los escribimos? Teorema de la división Sean a ∈ Z y b ∈ N. Existen q, r ∈ Z con 0 < r < b tales que a = b · q + r Además, q y r son únicos.

Escribir Escribir los siguientes números en binario, octal y hexadecimal Diez Quinientos veinte

Leer, escribir y… ¡operar! Sumando (como en la primaria) En decimal En base 3 acarreo acarreo + 1 2 3 1 2 + 1 1 1 9 3 4 MENCIONAR ACARREO 1 5 7 1 1 1

Leer, escribir y… ¡operar! Multiplicando (como en la primaria) En base 3 1 2 x

Éramos pocos y parió la abuela Si sólo podemos escribir tiras de símbolos de longitud fija: ¿cuántos números podemos representar? ¿de qué depende? ¡Precisión fija!

Save game Por ahora sabemos Leer naturales Escribir naturales Operar con naturales ¿Y los enteros?

Tipos de codificación (de precisión fija) Sin signo (me hago el gil) Codifico en la base indicada Signo & magnitud Uso un casillero para indicar si es negativo Complemento Represento -n como 2k - n Exceso m Represento n como m + n

? A codificar números ? Base 2 4 bits -2 1010 1110 -6 1110 1010 1110 Signo & magnitud Complemento Exceso 20 -2 1010 ? 1110 OVERFLOW -6 1110 1010 1110 ENFATIZAR QUE SON MANERAS DE ESCRIBIR (CODIFICAR) ENTEROS EN NATURALES. MOSTRAR LA FORMA FÁCIL DE CONVERTIR NEGATIVOS A COMPLEMENTO A 2. -8 OVERFLOW 1000 1100

? A codificar números Base 2 8 bits -2 1000 0010 1111 1110 0001 0010 Signo & magnitud Complemento Exceso 20 -2 1000 0010 ? 1111 1110 0001 0010 -6 1000 0110 1111 1010 0000 1110 ENFATIZAR QUE SON MANERAS DE ESCRIBIR (CODIFICAR) ENTEROS EN NATURALES. MOSTRAR LA FORMA FÁCIL DE CONVERTIR NEGATIVOS A COMPLEMENTO A 2. -8 1000 1000 1111 1000 0000 1100

A codificar números Base 2 8 bits -2 1000 0010 1111 1110 0001 0010 -6 Signo & magnitud Complemento Exceso 20 -2 1000 0010 1111 1110 0001 0010 -6 1000 0110 1111 1010 0000 1110 -8 1000 1000 1111 1000 0000 1010 ENFATIZAR QUE SON MANERAS DE ESCRIBIR (CODIFICAR) ENTEROS EN NATURALES. MOSTRAR LA FORMA FÁCIL DE CONVERTIR NEGATIVOS A COMPLEMENTO A 2.

En resumen ¿Acerca de qué fue la clase de hoy? Acerca de cómo escribir números (enteros). ¿Qué es “cambiar de base” un número? Escribirlo de otra manera. ¿Qué son las codificaciones? Formas de representar (algunos) enteros con (algunos) naturales

Ejemplo posicional Sistema decimal 6 1 7 Diez símbolos: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 La posición indica la base por la que se debe multiplicar al valor (denotado por el símbolo correspondiente) ¿Cómo hacemos para saber qué número representa la siguiente tira de símbolos? 6 1 7