Arquitectura de Computadores Clase 2 Algebra Booleana y Número Binarios IIC 2342 Semestre 2008-2 Rubén Mitnik Pontificia Universidad Católica de Chile.

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1 Arquitectura de Computadores Clase 2 Algebra Booleana y Número Binarios IIC 2342 Semestre 2008-2 Rubén Mitnik Pontificia Universidad Católica de Chile Escuela de Ingeniería Departamento de Ciencia de la Computación

2 Objetivos Capítulo 2 : Sistemas Digitales Algebra de Boole Números Binarios y bases Aritmética Binaria Objetivos R.Mitnik 2Arquitectura de Computadores

3 R.Mitnik Arquitectura de Computadores3 Índice Capítulo 2 : Sistemas digitales 2.1 Algebra Booleana 2.2 Circuitos Combinacionales 2.3 ALU 2.4 Flip-Flops, Registros y Circuitos de Memoria

4 R.Mitnik Arquitectura de Computadores4 Introducción George Boole (Lincoln, Reino Unido, 1815 - Ballintemple, actual Irlanda, 1864) Aproximadamente en el año 1850 George Boole, desarrolló un sistema algebraico para formular proposiciones con símbolos. Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana

5 R.Mitnik Arquitectura de Computadores5 Boole probablemente fue uno de los pocos matemáticos de su época que también escribió sobre lógica. En la lógica Booleana los elementos o proposiciones sólo pueden tener dos valores: “true” o “false”. Ej:”Hoy es 5 de Julio del 2006”, false “Estamos en Chile”, true. Introducción Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana

6 R.Mitnik Arquitectura de Computadores6 Estas proposiciones se pueden combinar para formar nuevas proposiciones más complejas. Ej.”Hoy no es 5 de Julio del 2006”, true. “Estamos en Chile y es miércoles”, false. “Estamos en Chile o es miércoles”, true. Introducción Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana

7 R.Mitnik Arquitectura de Computadores7 El Algebra de Boole permite representar matemáticamente las proposiciones: Los valores de una proposición pueden ser 1(true) ó 0 (false). Condiciones Lógicas Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana

8 R.Mitnik Arquitectura de Computadores8 Y las funciones para combinarlas son: NOT(x), verdadero cuando x es falsa. AND (x,y), verdadero cuando x e y son verdaderas. OR(x,y), verdadero cuando al menos una de las dos es verdadera. XOR(x,y) verdadero cuando x o y es verdadera NAND(x,y), falso cuando que x e y son verdaderas. NOR(x,y), falso cuando al menos una de las dos es verdadera. Condiciones Lógicas Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana

9 R.Mitnik Arquitectura de Computadores9 x 01 10 xy 000 010 100 111 xy 000 011 101 111 Condiciones Lógicas Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana

10 R.Mitnik Arquitectura de Computadores10 xy 001 011 101 110 xy 001 010 100 110 xy 000 011 101 110 Condiciones Lógicas Capítulo 2 : Sistemas digitales - Algebra Booleana

11 R.Mitnik Arquitectura de Computadores11 Condiciones Lógicas Capítulo 2 : Sistemas digitales - Algebra Booleana Se pueden hacer combinaciones más complejas, usando las funciones anteriores, por ej: xyzxyyzw 000000 001000 010000 011011 100101 101101 110000 111011

12 R.Mitnik Arquitectura de Computadores12 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana

13 R.Mitnik Arquitectura de Computadores13 Sistema Posicional Sistema numérico basado en la posición relativa de los símbolos. Valor de un símbolo depende de su posición y la base. Ejemplo: sistema decimal (base 10). (2008) 10 = 2*10 3 + 0*10 2 + 0*10 1 + 8*10 0 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana

14 R.Mitnik Arquitectura de Computadores14 Forma genérica: (c n-1 c n-2 …c 1 c 0 ) r = c n-1 *r n-1 + c n-2 *r n-2 +…+ c 1 *r 1 + c 0 *r 0 Donde r es la base, y los coeficientes c i pueden tener valores entre 0 y r-1. El sistema binario es un sistema posicional en base 2. Ej. (11010) 2 =1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 + 0*2 0 =(26) 10 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana

15 R.Mitnik Arquitectura de Computadores15 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Partiendo en 0. Paso al siguiente símbolo del dígito menos significativo. Si no quedan símbolos vuelvo al primero, y paso al siguiente símbolo de la siguiente posición. Si en esa posición tampoco quedan símbolos, vuelvo al primero, y sigo buscando en las siguientes posiciones hasta encontrar una en la que queden símbolos. Para contar en cualquier base:

16 R.Mitnik Arquitectura de Computadores16 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana 0 Para contar en binario:

17 R.Mitnik Arquitectura de Computadores17 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana 0 Para contar en binario: 1

18 R.Mitnik Arquitectura de Computadores18 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana 0 Para contar en binario: 1

19 R.Mitnik Arquitectura de Computadores19 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana 0 Para contar en binario: 01 10

20 R.Mitnik Arquitectura de Computadores20 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana 0 Para contar en binario: 1 10 1

21 R.Mitnik Arquitectura de Computadores21 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana 0 Para contar en binario: 1 10 11

22 R.Mitnik Arquitectura de Computadores22 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana 0 Para contar en binario: 1 10 011 100 101 110 111 1000 1001 10 1011 1100

23 R.Mitnik Arquitectura de Computadores23 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana (bit menos significativo)‏ (bit más significativo)‏ ¿Cómo trasformar de número decimal a número binario? Método divisiones sucesivas: 26 : 2 = 13 resto = 0 13 : 2 = 6resto = 1 6 : 2 = 3 resto = 0 3 : 2 = 1 resto = 1 1 : 2 = 0 resto = 1 (26) 10 = (11010) 2

24 R.Mitnik Arquitectura de Computadores24 ¿Cómo trasformar de número binario a número decimal? Lo expresamos como suma de potencias de 2: (11010) 2 = 1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 + 0*2 0 = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = (26) 10 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana

25 R.Mitnik Arquitectura de Computadores25 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana decimalbinario 00000 10001 20010 30011 40100 50101 60110 70111 81000 91001 101010 decimalbinario 111011 121100 131101 141110 151111 1610000 1710001 1810010 1910011 2010100 2110101

26 R.Mitnik Arquitectura de Computadores26 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Sistema Hexadecimal Sistema numérico en base 16. Los dígitos van de 0 a 15, Del 10 al 15 se remplazan por las letras A-F, para que 1digito  1 símbolo. Ej (F1) 16 = (F)*16 1 + 1*16 0 = (15)*16 1 + 1*16 0 (F1) 16 = (241) 10

27 R.Mitnik Arquitectura de Computadores27 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana decimalbinariohexa 000000 100011 200102 300113 401004 501015 601106 701117 810008 910019 101010A decimalbinariohexa 111011B 121100C 131101D 141110E 151111F 161000010 171000111 181001012 191001113 201010014 211010115

28 R.Mitnik Arquitectura de Computadores28 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana ¿Cómo trasformar de número binario a número hexadecimal? Trasformar base 2 a base 16. Hacemos grupos de a 4. (2 4 = 16) 10011101 DD 9 9Dh

29 R.Mitnik Arquitectura de Computadores29 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana ¿Cómo trasformar de número hexadecimal a número binario? Trasformar base 16 a base 2. Escribimos cada dígito como su representación binaria. 1DEh decimalhexa 10A 11B 12C 13D 14E 15F 111011010001

30 R.Mitnik Arquitectura de Computadores30 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana decimalbinariohexa 000000 100011 200102 300113 401004 501015 601106 701117 810008 910019 101010A decimalbinariohexa 111011B 121100C 131101D 141110E 151111F 161000010 171000111 181001012 191001113 201010014 211010115

31 R.Mitnik Arquitectura de Computadores31 Independiente del sistema numérico. Largo de palabra determina cantidad de números representables. r: base n: largo de palabra r n : cantidad de números. Ej. Problema con fechas de computadores Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Palabras de largo determinado

32 R.Mitnik Arquitectura de Computadores32 Las condiciones lógicas se pueden aplicar a los números binarios. La condición se evalúa bit a bit (bitwise). Ej. Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Condiciones Lógicas en números binarios

33 R.Mitnik Arquitectura de Computadores33 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana

34 R.Mitnik Arquitectura de Computadores34 Suma Para sumar dos números binarios se opera de igual forma que para sumar números decimales. Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana 1001 1101 + 1001 1001 1+1=2= 1*2 1 +0*2 0 =(10) 2 0 1 carry

35 R.Mitnik Arquitectura de Computadores35 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana 1001 1101 + 1001 1001 0+0+1=1=1*2 0 =(1) 2 0 1 1 Suma Para sumar dos números binarios se opera de igual forma que para sumar números decimales.

36 R.Mitnik Arquitectura de Computadores36 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana 1001 1101 + 1001 1001 0+1=1=1*2 0 =(1) 2 10 1 Suma Para sumar dos números binarios se opera de igual forma que para sumar números decimales.

37 R.Mitnik Arquitectura de Computadores37 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana 1001 1101 + 1001 1001 110 1 carry 1+1=2 1*2 1 +0*2 0 =(10) 2 0 Suma Para sumar dos números binarios se opera de igual forma que para sumar números decimales.

38 R.Mitnik Arquitectura de Computadores38 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana 1001 1101 + 1001 1001 0110 1 1 carry 1+1+1=3 =1*2 1 +1*2 0 =(11) 2 1 Suma Para sumar dos números binarios se opera de igual forma que para sumar números decimales.

39 R.Mitnik Arquitectura de Computadores39 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana 1001 1101 + 1001 1001 0 0110 1 0+0+1=1=1*2 0 =(1) 2 1 Suma Para sumar dos números binarios se opera de igual forma que para sumar números decimales.

40 R.Mitnik Arquitectura de Computadores40 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana 1001 1101 + 1001 1001 10 0110 0+0=0=0*2 0 =(0) 2 0 Suma Para sumar dos números binarios se opera de igual forma que para sumar números decimales.

41 R.Mitnik Arquitectura de Computadores41 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana 1001 1101 + 1001 1001 011 0110 0 Suma Para sumar dos números binarios se opera de igual forma que para sumar números decimales. 1+1=2 1*2 1 +0*2 0 =(10) 2 1 carry

42 R.Mitnik Arquitectura de Computadores42 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana 1001 1101 + 1001 1001 0011 0110 0+0+1 = 1 =1*2 0 =(1) 2 1 Suma Para sumar dos números binarios se opera de igual forma que para sumar números decimales.

43 R.Mitnik Arquitectura de Computadores43 ¿Qué pasa si el largo de la suma sobrepasa el largo de los sumandos? Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana 1001 1101 + 1001 1001 1 0011 0110 A este bit se le llama carry-out

44 R.Mitnik Arquitectura de Computadores44 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Resta La forma más simple de restar dos números es sumando. A – B = A + (-B) Para hacer esto necesitamos una forma de representar números negativos

45 R.Mitnik Arquitectura de Computadores45 Representación de números negativos Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Primera aproximación Agregamos un bit que indica el signo: 0 positivo, 1 negativo. El resto de los bits indican el número. Ej. 10001 = -1 00001 = 1. S #

46 R.Mitnik Arquitectura de Computadores46 Representación de números negativos Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Gráficamente: Decimal Binario (11111,-15) (10000,0) (01111,15) (00000,0)

47 R.Mitnik Arquitectura de Computadores47 Representación de números negativos Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Segunda aproximación Agregamos un bit que indica el signo: 0 positivo, 1 negativo. El resto de los bits se niegan, si el número es negativo. Ej. 00001 = 1 11110 = -1. 1 0 #

48 R.Mitnik Arquitectura de Computadores48 Representación de números negativos Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Gráficamente: Decimal Binario (11111,0) (10000,-15) (01111,15) (00000,0)

49 R.Mitnik Arquitectura de Computadores49 Representación de números negativos Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Complemento de 2 Agregamos un bit que indica el signo: 0 positivo, 1 negativo. El resto de los bits se niegan y se suma 1, si el número es negativo. Ej. 00001 = 1 11111 = -1. 1 0 #

50 R.Mitnik Arquitectura de Computadores50 Representación de números negativos Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Gráficamente: Decimal Binario (11111,-1) (10000,-16) (01111,15) (00000,0)

51 R.Mitnik Arquitectura de Computadores51 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Resta Para poder restar de la forma A+(-B), debemos poder calcular (–B) : el opuesto aditivo de B. Por definición B + (-B) = 0. Usando nuestra primera aproximación: B = 01101 -B = 11101 01101 + 11101 101010 Incorrecto! carry

52 R.Mitnik Arquitectura de Computadores52 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Resta Para poder restar de la forma A+(-B), debemos poder calcular (–B) : el opuesto aditivo de B. Por definición B + (-B) = 0. Usando nuestra segunda aproximación: B = 01101 -B = 10010 01101 + 10010 11111 Incorrecto!

53 R.Mitnik Arquitectura de Computadores53 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Resta Para poder restar de la forma A+(-B), debemos poder calcular (–B) : el opuesto aditivo de B. Por definición B + (-B) = 0. Usando complemento de 2: B = 01101 -B = 10011 01101 + 10011 100000 Correcto! carry

54 R.Mitnik Arquitectura de Computadores54 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Resta Por lo tanto para restar usaremos complemento de 2. A – B = A +C 2 (B)

55 Resumen Capítulo 2 : Sistemas digitales Algebra de Boole se basa en operadores lógicos. Representaciones en distintas bases y conversiones. Decimal – Binario – Hexadecimal. Tamaño de palabra  cantidad números representables. Representación de números negativos. Suma y Resta en base 2. Resumen R.Mitnik 55Arquitectura de Computadores