LA RECTA DE REGRESIÓN CONTENIDOS: Dependencia funcional y dependencia estadística Concepto de regresión ¿Es buena la aproximación? Error cuadrático medio, varianza residual coeficiente de determinación lineal

Independencia - Dependencia Al estudiar dos características simultáneamente de una muestra: ¿están relacionadas? ¿interdependencia? ¿cómo lo hacen? altura vs peso. horas de estudio vs calificación en un examen. El objetivo principal es determinar el modo en que se relacionan. Dos variables pueden considerarse: Independientes  ninguna explica el comportamiento de la otra Dependencia funcional (exacta)  Y=f(x) Dependencia estadística  está entre las dos anteriores Dependencia estadística Dependencia funcional Independencia estadística - + Grado de asociación entre dos variables

Estudio conjunto de dos variables A la derecha tenemos los datos obtenido observando dos variables estadísticas en varios individuos de una muestra. En cada fila tenemos los datos de un individuo Cada columna contiene los valores que toma una variable sobre los individuos. Las individuos no se muestran en ningún orden particular. Podemos representar las observaciones en un diagrama de dispersión (‘scatterplot’). En él, cada individuo es un punto cuyas coordenadas son los valores de las variables. En primera instancia, pretendemos reconocer a partir del diagrama si hay relación entre las variables, de qué tipo y, si es posible predecir el valor de una de ellas en función de la otra. Altura en cm. Peso en Kg. 162 61 154 60 180 78 158 62 171 66 169 166 54 176 84 163 68 ...

Diagramas de dispersión o nube de puntos Altura y peso de 30 individuos. Pesa 76 kg. Pesa 50 kg. Mide 187 cm. Mide 161 cm.

Relación entre variables. Altura y peso de 30 individuos. Parece que el peso aumenta con la altura

Relación entre variables. Altura y peso de 30 individuos. Parece que el peso aumenta con la altura

Relación entre variables. Altura y peso de 30 individuos. ¿Qué recta explica mejor la relación peso-altura? mejor...¿en qué sentido? Parece que el peso aumenta con la altura

RECTA DE REGRESIÓN Pendiente yi Ordenada en el origen Error: residuo

RECTA DE REGRESIÓN Llamemos a “u” residuo, perturbación o error: es la diferencia que hay entre el valor observado de la variable “y” y el valor que tendría (valor estimado) si la relación fuera lineal, es decir, través de la recta de regresión IDEA: hacer MÍNIMA la suma de los CUADRADOS de los residuos.

La recta de regresión de y sobre x es EQUIVALE a buscar los coeficientes de la recta hace MÍNIMA la suma de los CUADRADOS de los residuos. La recta de regresión de y sobre x es Es decir, los valores de los coeficientes son Covarianza

¿Es la recta de regresión una buena aproximación de la nube de puntos? Coeficiente de determinación: Diferencia entre el valor estimado y la media observada Diferencia entre lo observado y la media observada Varianza residual ó error cuadrático medio: Ayuda a medir la dependencia. VR = Coeficiente de correlación lineal de Pearson r:

Covarianza de dos variables X e Y La pendiente de la recta de regresión es Sxy/ S2X El signo de la covarianza indica si la posible relación entre dos variables es directa o inversa. Directa: Sxy >0 Inversa: Sxy <0 Incorreladas: Sxy =0 La covarianza no dice nada sobre el grado de relación entre las variables.

Coef. de correlación lineal de Pearson La coeficiente de correlación lineal de Pearson de dos variables, r, nos indica si los puntos tienen una tendencia a disponerse alineadamente (excluyendo rectas horizontales y verticales). tiene el mismo signo que Sxy por tanto de su signo obtenemos el que la posible relación sea directa o inversa. r es útil para determinar si hay relación lineal entre dos variables

Propiedades de r Es adimensional Sólo toma valores en [-1,1] Las variables son incorreladas  r=0 Relación lineal perfecta entre dos variables  r=+1 o r=-1 Excluimos los casos de puntos alineados horiz. o verticalmente. Cuanto más cerca esté r de +1 o -1 mejor será el grado de relación lineal. Siempre que no existan observaciones anómalas. Relación inversa perfecta Relación directa casi perfecta Variables incorreladas -1 +1

Coeficiente de determinación No mide la validez del modelo de regresión propuesto. Sí mide cuanto de la variabilidad se explica por la ecuación de regresión estimada.

Hemos usado materiales de: Julián de la Horra Navarro. Estadística aplicada, 3ª edición. Díaz de Santos. G.C. Canavós. Estadística y probabilidad. Métodos y aplicaciones. McGrawHill Francisco Javier Barón http://www.bioestadistica.uma.es/baron/apuntes Sara Mateo http://www.dea.uib.es/webpersonal/williamnilsson/archivos/Capitulo7.ppt

¿DE DÓNDE SALEN LOS COEFICIENTES DE LA RECTA DE REGRESIÓN? ¿Qué “a” y “b” minimizan la suma de los cuadrados de los errores cometidos? MINIMIZAR El valor que hemos aproximado para “y” con la recta de regresión  Errores cometidos al aproximar por una recta