El problema de Cutting Sheets Pedro Godoy Barrera pgodoy@inf.utfsm.cl

Introducción En muchas aplicaciones de la vida real relacionadas con los procesos industriales surgen problemas a las cuales denominan problemas de corte y empaquetamiento. Por una parte, muchos procesos de fabricación producen tableros o láminas de grandes dimensiones de madera, metal, papel, plástico o vidrio que luego han de ser cortados en piezas más pequeñas para ajustarse a las necesidades de los clientes. Por otra parte, en muchas ocasiones unidades de almacenamiento grandes, tales como pallets o contenedores son utilizadas para transportar objetos más pequeños.

Introducción Estos problemas, a primera vista dispares, están conceptualmente muy relacionados debido a la dualidad entre el material y el espacio ocupado por éste. En ambos casos, existen dos tipos de objetos, grandes y pequeños, y el espacio definido por el objeto grande ha de ser ocupado por los objetos pequeños siguiendo ciertas normas. En ambos tipos de problemas, el ajuste entre objetos grandes y pequeños ha de ser lo más eficiente posible, de acuerdo con la función objetivo establecida, que en muchos casos se reducirá a minimizar el espacio no utilizado.

Descripción del problema El problema de cutting stock, se preocupa de ver la forma de cortar una plancha o rollo de algún material específico en trozos de menor tamaño, con el objetivo de minimizar la pérdida de material que se produce al realizar dicha actividad. Este problema ha sido presentado con varias versiones y limitaciones, tales como las restricciones de corte de guillotina o la de rectángulos inclinados. Otra variación es relativa a la secuencia de cortes.

Descripción del problema Dado un conjunto de piezas, el problema es el generar un patrón de cortes desde una plancha del material, de tal forma que optimice ciertos objetivos, tales como el minimizar las pérdidas, o maximizar el número de objetos a ser usados. A continuación se presenta un resumen de las principales características de los distintos estudios que han hecho a este problema

Principales características Dimensionalidad; Una (1), dos (2), Tres (3) o n. Formas de asignación: Todos los objetos más grandes y una selección de pequeñas figuras (B). Una selección de objetos grandes y todas las figuras pequeñas (V). Surtimiento de grandes objetos Un objeto (O) Formas idénticas (I) Diferentes formas (D)

Principales características Surtimiento de pequeñas figuras Pocas figuras de diferentes formas (F) Muchas figuras de diferentes formas (M). Muchas figuras de formas incongruentes y diferentes (R). Formas congruentes (C).

Propiedades de los problemas de corte A continuación se presenta un esquema que permite identificar las propiedades más comunes de los problemas de corte. Dimensionalidad (N) Número de dimensiones Tipo de Asignación (B) Todos los tableros y una parte de las piezas demandadas. (V) Una parte de los tableros y todas las piezas demandadas. Surtido de tableros almacenados. (O) Un tablero. (I) Tableros Idénticos. (D) Tableros diferentes.

Propiedades de los problemas de corte Continuación de las propiedades de los problemas de corte Surtido de piezas demandadas (F) Pocas piezas de diferentes tamaños. (M) Muchas piezas de muchos tamaños. (R) Muchas piezas de relativamente pocas dimensiones. (C) Muchas piezas, pero idénticas.

Patrones de corte La configuración de las piezas en el tablero en el que se cortan constituye lo que denominaremos patrón. En general se trabaja con patrones ortogonales, indicando que las cajas están colocadas con sus lados paralelos a los lados del tablero.

Clasificación de los patrones de corte Patrones de Guillotina y no guillotina Un corte es de tipo guillotina si cuando se aplica sobre un rectángulo produce dos nuevos rectángulos, es decir, si el corte va de un extremo a otro del rectángulo original; en otro caso se denomina de tipo no guillotina. Un patrón es de tipo guillotina si se puede obtener por sucesivos cortes de guillotina. Un patrón es no guillotina si es obtenido por sucesivos cortes de guillotina y no guillotina.

Tipo de patrones

Explicación Modelo matemático Para entender esta formulación es útil mirar la plancha como si estuviera formada por L * W pequeños cuadrados unidad. Las coordenadas de los cuadrados , unidad de las esquinas inferior izquierda, inferior derecha, superior izquierda y superior derecha de la plancha son (0,0), (L-1,0), (0, W-1), (L-1,W-1) respectivamente. Las variables h identifican cajas colocadas de forma horizontal y las v de forma vertical. Los subíndices indican el extremo inferior izquierdo de esa caja.

Explicación Modelo matemático Las restricciones (3.4) son las llamadas restricciones de cubrimiento que obligan a que no se solapen las cajas. Cada restricción individual de la forma (3.4) asegura que cada cuadrado está cubierto como máximo por una caja.

Modelo matemático

Preguntas???