Cónicas: La Parábola Víctor Le Roy

Índice: Términos Generales: Formas: Caso especial: Sección cónica, La Parábola Componentes de la parábola Formas: Deducción de la Forma Canónica Forma Canónica 4 Casos de orientación con la Forma Canónica Deducción de la Forma General Forma General 4 Casos de orientación para las 2 Únicas Formas Generales Caso especial: Parábola con Vértice (H,K) en el origen (0,0) Conversión de Forma General a Canñonica

I N D C E La Parábola: Es la sección cónica resultante de cortar con un ángulo de inclinación respecto a la base de un cono.

I N D C E La Parábola:

I N D C E La Parábola:

I N D C E Términos Generales

Parábola en el Plano Cartesiano: D C E Parábola en el Plano Cartesiano: 1.- Parábola y > 2.- Vértice (H,K) P: (x,y) Q 3.- Foco (F) Eje de Simetría K F 4a > S 4.- Distancia Focal, (a) a a 5.- Lado Recto (4a) > 6.- P(x,y), Punto Arbitrario x H-a H H+a Directriz

I N D C E Forma Canónica: PF+PQ = Constante VF+VS = Constante FP = PQ

I N D C E Forma Canónica: y > P: (x,y) Q K F > a a > x H H+a

√ √ Forma Canónica: ( ) \ [(x-(H+a)]+(y-K) = [(x-(H-a)]+(y-y) D C E Forma Canónica: Deducimos que: 2 2 2 2 2 ( ) \ √ √ [(x-(H+a)]+(y-K) = [(x-(H-a)]+(y-y) 2 2 2 2 [(x-(H+a)]+(y-K) = [(x-(H-a)]+(y-y) 2 2 2 [(x-H)-a]+(y-K) = [(x-H+a)] 2 2 2 2 2 (x-H)-2a(x-H)+a +(y-K) = (x-H)+2a(x-H)+a

√ √ Forma Canónica: ( ) \ [(x-(H+a)]+(y-K) = [(x-(H-a)]+(y-y) D C E Forma Canónica: Deducimos que: 2 2 2 2 2 ( ) \ √ √ [(x-(H+a)]+(y-K) = [(x-(H-a)]+(y-y) 2 2 2 2 [(x-(H+a)]+(y-K) = [(x-(H-a)]+(y-y) 2 2 2 [(x-H)-a]+(y-K) = [(x-H+a)] 2 2 2 2 2 (x-H)-2a(x-H)+a +(y-K) = (x-H)+2a(x-H)+a

I N D C E Forma Canónica: 2 (y – K) =4a(x-H)

Distintas formas para 4 casos de orientación

I N D C E Caso 1 y > > > x 2 (y – K) =4a(x-H)

I N D C E Caso 2 > y > > x 2 (y – K) =-4a(x-H)

I N D C E Caso 3 y > > > x 2 (x – H) =4a(y-K)

I N D C E Caso 3 y > > x > 2 (x – H) =-4a(y-K)

I N D C E Forma General: Teniendo la forma: 2 (y – K) =4a(x-H)

y+Dy+Ex+F=0 Forma General: y-2yK+K =4ax-4aH y-2yK-4ax+ 4aH+K =0 I N D C E Forma General: Desarrollamos: 2 (y – K) =4a(x-H) 2 2 y-2yK+K =4ax-4aH 2 2 2 y-2yK-4ax+ 4aH+K =0 2 Si Expresamos: D= -2K, E= -4a, F= 4aH+K y+Dy+Ex+F=0 2

Únicas 2 formas para 4 casos de orientación

y+Dy+Ex+F=0 Caso 1 2 > > I N D C E Caso 1 y+Dy+Ex+F=0 2 y > > > x *Debes convertir a la forma canónica para encontrar su sentido exacto

y+Dy+Ex+F=0 Caso 2 2 > > I N D C E Caso 2 y+Dy+Ex+F=0 2 y > > > x *Debes convertir a la forma canónica para encontrar su sentido exacto

x+Dx+Ey+F=0 Caso 3 2 > > I N D C E Caso 3 x+Dx+Ey+F=0 2 y > > > x *Debes convertir a la forma canónica para encontrar su sentido exacto

x+Dx+Ey+F=0 Caso 4 2 > > I N D C E Caso 4 x+Dx+Ey+F=0 2 y > > x > *Debes convertir a la forma canónica para encontrar su sentido exacto

(y – K) =4a(x-H) Caso especial N D C E Caso especial Cuando la parábola tiene su vértice (H,K) en el origen: 2 (y – K) =4a(x-H)

(y – 0) =4a(x-0) Caso especial N D C E Caso especial Cuando la parábola tiene su vértice (H,K) en el origen: 2 (y – 0) =4a(x-0)

(y) =4a(x) Caso especial N D C E Caso especial Cuando la parábola tiene su vértice (H,K) en el origen: 2 (y) =4a(x)

I N D C E 2 (y) =4ax y > x > >

I N D C E 2 (y) =-4ax y > > x >

Caso especial (x – H) =4a(y-K) N D C E Caso especial Cuando la parábola tiene su vértice (H,K) en el origen: 2 (x – H) =4a(y-K)

Caso especial (x – 0) =4a(y-0) N D C E Caso especial Cuando la parábola tiene su vértice (H,K) en el origen: 2 (x – 0) =4a(y-0)

Caso especial (x) =4a(y) N D C E Caso especial Cuando la parábola tiene su vértice (H,K) en el origen: 2 (x) =4a(y)

I N D C E 2 (x) =4ay y > > > x

I N D C E 2 (x) =-4ay y x > > >

Conversión de forma general a forma canónica: Ejemplo: y+3y+4x+5=0 2

Conversión de forma general a forma canónica: Ejemplo: 2 y+3y+4x+5=0 2 y+3y+4x = -5 2 y+3y+( ) +4x = -5 Completar Trinomio Ordenado: 2 y+3y+9+4x = -5+9 — — — 2 4 4 2 (y+3)+4x = -5+9 — — 2 4

Conversión de forma general a forma canónica: Ejemplo: 2 (y+3)+4x = -5+9 — — 2 4 2 (y+3) = -5+9 -4x — — 2 4 2 (y+3) = -11 -4x — — 2 4 2 (y+3) = 4(-x -11) — — 2 16

Conversión de forma general a forma canónica: Entonces: 2 2 (y+3) = 4(-x -11) = y+3y+4x+5=0 — — 2 16

Conversión de forma general a forma canónica: Entonces: 2 (y+3) = 4(-x -11) — — 2 16 2 2 y+2(3)y+(3)=-4x-11 = 2 Y+3y+4x+5=0 — — — 2 2 4 2 y+3y+9=-4x-11 — — 4 4 2 y+3y+9 +4x+11 = 0 — 4 — 4

Conversión de forma general a forma canónica: Entonces: 2 y+3y+9 +4x+11 = 0 — 4 — 4 2 = 2 y+3y+4x+20 = 0 Y+3y+4x+5=0 — 4 2 Y+3y+4x+5=0

Conversión de forma general a forma canónica: Entonces: 2 2 Y+3y+4x+5= Y+3y+4x+5

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