UNIDAD V ANALISIS DE LA REGRESIÓN Competencia: Competencia: -El estudiante debe utilizar correctamente el Análisis de la Regresión en la construcción de diferentes modelos que permitan estimar y predecir, mediante los mínimos cuadrados ordinarios. -El estudiante debe utilizar correctamente el Análisis de la Regresión en la construcción de diferentes modelos que permitan estimar y predecir, mediante los mínimos cuadrados ordinarios. Objetivos. Objetivos. -Utilizar correctamente el Método de estimación de los Mínimos Cuadrados Ordinarios,para la predicción y/o la realización de Políticas de Control,utilizando herramientas como paquetes electrónicos(E-Views). -Utilizar correctamente el Método de estimación de los Mínimos Cuadrados Ordinarios,para la predicción y/o la realización de Políticas de Control,utilizando herramientas como paquetes electrónicos(E-Views). Descripción general de la unidad: Descripción general de la unidad: -Esta unidad comprende el desarrollo de los siguientes conceptos :Análisis de Regresión, coeficiente de Correlación Lineal, Coeficiente de determinación o ajuste, Función de regresión poblacional como muestral.Además la utilización de los diferentes modelos uniecuacionales para la predicción y /o realización de políticas de Control. -Esta unidad comprende el desarrollo de los siguientes conceptos :Análisis de Regresión, coeficiente de Correlación Lineal, Coeficiente de determinación o ajuste, Función de regresión poblacional como muestral.Además la utilización de los diferentes modelos uniecuacionales para la predicción y /o realización de políticas de Control. Lectura:Millar/Freund/Jonson “Probabilidad y Estadística para Ingenieros”Edo.de México 1992 Pgs.326 al 375 Lectura:Millar/Freund/Jonson “Probabilidad y Estadística para Ingenieros”Edo.de México 1992 Pgs.326 al 375 Córdova Zamora “Estadística Descriptiva e Inferencial” 2ª ed.Perú 1996 Pags,75 al 91 Córdova Zamora “Estadística Descriptiva e Inferencial” 2ª ed.Perú 1996 Pags,75 al 91 Bibliografía Básica: Gujarati (2003) “Econometría”(4ª ed) México.Pags.56al 217 Bibliografía Básica: Gujarati (2003) “Econometría”(4ª ed) México.Pags.56al 217 Referencia electrónica: Referencia electrónica:

EL PRINCIPAL OBJETIVO DE MÚLTIPLES INVESTIGACIONES ES EFECTUAR PREDICCIONES EN BASE DE ECUACIONES MATEMÁTICOS LLAMADOS MODELOS EL PRINCIPAL OBJETIVO DE MÚLTIPLES INVESTIGACIONES ES EFECTUAR PREDICCIONES EN BASE DE ECUACIONES MATEMÁTICOS LLAMADOS MODELOS LA HERRAMIENTA FUNDAMENTAL ES EL ANÁLISIS DE LA REGRESIÓN LA HERRAMIENTA FUNDAMENTAL ES EL ANÁLISIS DE LA REGRESIÓN ANÁLISIS DE LA REGRESIÓN: ANÁLISIS DE LA REGRESIÓN: a)ESTABLECER LA RELACIÓN FUNCIONAL ENTRE LAS VARIABLES (Xs e Y) → Y= f(Xs) a)ESTABLECER LA RELACIÓN FUNCIONAL ENTRE LAS VARIABLES (Xs e Y) → Y= f(Xs) b)ESTABLECER LA VARIACIÓN CONJUNTA ENTRE Xs e Y → coeficiente de correlación (r) b)ESTABLECER LA VARIACIÓN CONJUNTA ENTRE Xs e Y → coeficiente de correlación (r)

Objetivos del análisis de la Regresión 1.-Formulación y planteamiento de modelos verificables 1.-Formulación y planteamiento de modelos verificables 2.-Estimación, interpretación y comprobación de los modelos 2.-Estimación, interpretación y comprobación de los modelos 3.-Utilización de los modelos: 3.-Utilización de los modelos: a) En la predicción a) En la predicción b) En la realización de políticas de control b) En la realización de políticas de control

METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN TEORÍA Ó HIPÓTESIS MODELO MATEMÁTICO DE LA TEORÍA Y=f(Xs) MODELO REGRESIVO DE LA TEORÍAY=f(X,µ) DATOS ESTIMACIÓN DEL MODELO regresivo PRUEBAS DE HIPÓTESIS PRONÓSTICO Ó PREDICCIÓNPOLÍTICAS DE CONTROL

DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN.- DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN.- ES LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL COMPORTAMIENTO DE LAS VARIABLES EN CUESTIÓN(Xs e Y) ES LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL COMPORTAMIENTO DE LAS VARIABLES EN CUESTIÓN(Xs e Y) PERMITE APRECIAR LA TENDENCIA DEL MODELO → TIPO DE MODELO: PERMITE APRECIAR LA TENDENCIA DEL MODELO → TIPO DE MODELO: 1.-MODELO LINEAL 1.-MODELO LINEAL 2.-MODELO EXPONENCIAL 2.-MODELO EXPONENCIAL 3.-MODELO DE PRODUCCIÓN 3.-MODELO DE PRODUCCIÓN 4.-MODELO POLINOMIAL(COSTOS) 4.-MODELO POLINOMIAL(COSTOS) 4.-MODELO RECÍPROCO 4.-MODELO RECÍPROCO 5.-MODELO TEMPORAL…… 5.-MODELO TEMPORAL……

2.-TIPOS DE MODELOS DE REGRESIÓN MODELOSDE REGRESIÓN UNIECUACIONALES: MODELOSDE REGRESIÓN UNIECUACIONALES: A)SIMPLE : a)Lineal,b)Logarítmicos,c)semilogarítmicos A)SIMPLE : a)Lineal,b)Logarítmicos,c)semilogarítmicos d) Tendencia,e)Recíprocos,f)Anova d) Tendencia,e)Recíprocos,f)Anova B)MÚLTIPLE: B)MÚLTIPLE: a) Simple,b)Polinomiales c)Logarítmicos a) Simple,b)Polinomiales c)Logarítmicos d)Ancovas d)Ancovas MODELOS DE REGRESIÓN DE ECS.SIMULTANEAS MODELOS DE REGRESIÓN DE ECS.SIMULTANEAS MODELOS DE SERIES TEMPORALES MODELOS DE SERIES TEMPORALES

3.-Modelos de regresion uniecuacionales Una sola ecuación Una sola ecuación Una sola relación unidireccional: Una sola relación unidireccional: de causa( Xs) a efecto(Y) de causa( Xs) a efecto(Y) Modelos de Reg.simple. La FRP → Y = β 1 + β 2 X +µ donde: Y= v.d.regresada ó predicha Y= v.d.regresada ó predicha X= v.i. regresor ó predictor ó factor X= v.i. regresor ó predictor ó factor µ =v.a.ó Estocástica,Residual,perturbación µ =v.a.ó Estocástica,Residual,perturbación β 1 = Intercepto, (Y)…….autónomo β 1 = Intercepto, (Y)…….autónomo β 2 =Coef,de regresión, PM…………(Y) β 2 =Coef,de regresión, PM…………(Y)

Estimación: Mínimos cuadrados ordinarios (M.C.O.) E(µ) = 0 La FRM → Ŷ = β 1 + β 2 X r², r La FRM → Ŷ = β 1 + β 2 X r², r 1.-Coeficiente de determinación (r²).- 0< r² <1: 1.-Coeficiente de determinación (r²).- 0< r² <1: Mide el grado de ajuste por la aplicación de la recta estimada. si 0.9 < r² <1 excelente Mide el grado de ajuste por la aplicación de la recta estimada. si 0.9 < r² <1 excelente si 0.8 < r² < 0.9 muy bueno si 0.8 < r² < 0.9 muy bueno 2.-Coeficiente de correlación(r).- -1< r < 1 2.-Coeficiente de correlación(r).- -1< r < 1 Mide el grado de asociación lineal entre Xe Y Mide el grado de asociación lineal entre Xe Y si r= -1 Rel.perfecta inversa si r= -1 Rel.perfecta inversa si r= 0 No existe rel.lineal si r= 0 No existe rel.lineal si r= 1 Relación perfecta directa si r= 1 Relación perfecta directa

TÉCNICAS DE ESTIMACIÓN 1.-Manual : Σx ; Σy; Σx² ; Σy²; Σx y 1.-Manual : Σx ; Σy; Σx² ; Σy²; Σx y X; Ῡ; Sxy = Σx y-n(X)(Ῡ); Sxx = Σx² -n(X)²; Syy= Σy²-n(Ῡ )² X; Ῡ; Sxy = Σx y-n(X)(Ῡ); Sxx = Σx² -n(X)²; Syy= Σy²-n(Ῡ )² β 2 = Sxy/Sxx ; β 1 = Ῡ - β 2X r²= S²xy/(SxxSyy) ;r =√r² β 2 = Sxy/Sxx ; β 1 = Ῡ - β 2X r²= S²xy/(SxxSyy) ;r =√r² 2.-Modo Estadístico (modelos simples). 2.-Modo Estadístico (modelos simples). 3- Matricial (modelos simples y múltiples) 3- Matricial (modelos simples y múltiples) βi= ( X´X) ( X´Y) donde: X nxk y Y nx1 βi= ( X´X) ( X´Y) donde: X nxk y Y nx1 βi= A x D donde βi= A x D donde r²=(βi ´D -n Ῡ²) /( Y´Y -n Ῡ²) r²=(βi ´D -n Ῡ²) /( Y´Y -n Ῡ²) 4.-PC(SSPSS ó E Views ) 4.-PC(SSPSS ó E Views ) Nota.- Antes efectuar el Diagrama de dispersión Nota.- Antes efectuar el Diagrama de dispersión

Ej. De modelo de reg.lineal simple Los siguientes datos son las mediciones de la velocidad del aire y del coeficiente de evaporación de las gotitas de combustible en una turbina de propulsión Velocidad del aire Coef.de evaporación. Se desea predecir el coeficiente de (cm/seg) X (mm²/seg) Y evaporación,cuando la velociadad (cm/seg) X (mm²/seg) Y evaporación,cuando la velociadad del aire sea : del aire sea : a) de 190 (cm/seg) a) de 190 (cm/seg) b) de 390 (cm/seg) b) de 390 (cm/seg) Sol Sol Causa velocidad del aire → X Causa velocidad del aire → X Efecto Coef.de evapor. → Y Efecto Coef.de evapor. → Y La FRP → Y = f( X) La FRP → Y = f( X)

Diagrama de dispersión y 1.65 x 1.36 x 1.36 x 1.18 x 1.18 x 1.17 x 1.17 x 0.78 x 0.78 x 0.75 x 0.75 x 0.56 x 0.56 x 0.37 x 0.37 x 0.35 x 0.35 x 0.18 x 0.18 x X

Modelo estimado La FRM → Ŷ = X r²= r= Interpretación.- Interpretación.- β1 =0.069 es el coef. de evaporación autónoma β1 =0.069 es el coef. de evaporación autónoma no depende de la velocidad del aire no depende de la velocidad del aire β2 =Coef.de regresión. PME de evaporación β2 =Coef.de regresión. PME de evaporación por c/u que se Δ la velocidad del aire se espera que se epvapore las gotitas de combustible en aprox. 0.4% por c/u que se Δ la velocidad del aire se espera que se epvapore las gotitas de combustible en aprox. 0.4% r² = significa un ajuste del 91% r² = significa un ajuste del 91% r= significa una asociación lineal de aprox. 95% entre r= significa una asociación lineal de aprox. 95% entre X e Y X e YEstimación a) Para X= 190 → Ŷ = (190)=0.79 (mm²/seg) b) Para X= 390 → Ŷ = (390)=1.551 (mm²/seg

Estimación por Intervalos de confianza IC para E( Ŷo/Xo al 100 r%=[Ŷo ± t  /2(n-k) ee(Ŷo)] Módulo error (E) Módulo error (E) Donde:Var(Ŷo) = σ²[ 1/n + (Xo- ẍ )²/Sxx] → ee(Ŷo) =√ Var(Ŷo) Sxx= Σx²-n(ẍ )² ; Xo= Valor de X; Ŷo = Valor estimado puntual de Y /Xo Sxx= Σx²-n(ẍ )² ; Xo= Valor de X; Ŷo = Valor estimado puntual de Y /Xo Siguiendo con nuestro ej. Construir un IC del 95 % para la estimación Xo=190 Siguiendo con nuestro ej. Construir un IC del 95 % para la estimación Xo=190Sol.- r=0.95 → α= 0.05 → to,o 5/2 : (10-2)=2.306 Sxx= ; ẍ= 200 r=0.95 → α= 0.05 → to,o 5/2 : (10-2)=2.306 Sxx= ; ẍ= 200 E=0.39 → El IC al 95% de E(Ŷo/Xo=190)=[0.79 ±0.39] E=0.39 → El IC al 95% de E(Ŷo/Xo=190)=[0.79 ±0.39] =[0.67 ; 0.91] =[0.67 ; 0.91] Significa que de 100 m.a que se tomen se espera que 95 tengan la Ŷo Estén entre el rango del intervalo y sólo 5 m.a no estén Nota.-Cuando se estima es aconsejable no extrapolar muy lejos del rango

Extensión del modelo de reg. Lineal simple Extensión del modelo de reg. Lineal simple Modelo Exponencial.- cuya FRP → Y = β 1 β 2 Modelo Exponencial.- cuya FRP → Y = β 1 β 2 y y x Linealizando,aplicando ln → lnY =ln β1 + X ln β2 + µ Aplicando Los M:C:O se puede estimar cuya FRM → lnŶ =ln β 1 + X ln β 2 aplicando cualquier técnica de estimación teniendo presente que al intruducir los datos de y deben estar logaritmizados Donde β2 = cambio porcentual en y. 100% Donde β2 = cambio porcentual en y. 100% cambio absoluto en X cambio absoluto en X x

Ej de modelo exponencial Se tiene las cifras sobre el porcentaje de las llantas radiales producidas por cierto fabricante que aún pueden usarse después de recorrer cierto número de millas Millas recorridas Porcentaje De acuerdo al modelo adecuado.se pide estimar (miles) X Util Y a) qué porcentaje de las llantas radiales durarán al menos millas.b) millas? menos millas.b) millas? Sol.- de acuerdo al modelo exponencial y palicando Sol.- de acuerdo al modelo exponencial y palicando Log decimal: Log decimal: FRM → Log Ŷ = X FRM → Log Ŷ = X Para Xo= Para Xo= → Log Ŷ = (25) → Log Ŷ = (25) → Log Ŷ = → Ŷ = Antilog(1.5302) = 33.9 % → Log Ŷ = → Ŷ = Antilog(1.5302) = 33.9 % → Ŷ = Antilog(1.5302) = 33.9 % → Ŷ = Antilog(1.5302) = 33.9 % b) Para X= 51 → Log Ŷ = (51) b) Para X= 51 → Log Ŷ = (51) → Log Ŷ = → Ŷ = Antilog(1.0414) = % → Log Ŷ = → Ŷ = Antilog(1.0414) = % ó FRM → ln Ŷ = X para xo= 25 → Ln Ŷ = (25)= ó FRM → ln Ŷ = X para xo= 25 → Ln Ŷ = (25)= → Ŷ =Antiln(3.5246) = 33.94% para xo = 51 → Ln Ŷ = (51)= → Ŷ =Antiln(2.4014) = 11% para xo = 51 → Ln Ŷ = (51)= → Ŷ =Antiln(2.4014) = 11%

Y x x 4.6 x x 4.5 x 4.5 x x 4.0 x 4.0 x x ln Ŷ = – X r²= x ln Ŷ = – X r²= x r= x r= x x x x Representación del modelo exponencial estimado Representación del modelo exponencial estimado

Modelo potencial La FRP → Y = β 1 X e Se aplica cuando se quiere estimar cambios porcentulaes en laY debido a un cambio del 1% en el X Linealizando aplicando Ln → Ln Y = ln β 1 ± β 2 Ln X + u Cuya FRM Ln Ŷ = ln β 1 ± β 2 Ln X donde β2 = (cambio porcentual en y) /(cambio porcentual en 1% enX) β2 = ELASTICIDAD si β2 < 1 → inelástica β2 = ELASTICIDAD si β2 < 1 → inelástica si β2 = 1 → Unitaria si β2 = 1 → Unitaria si β2 > 1 → elástica si β2 > 1 → elástica β2β2 µ

Ej. De modelo LOG-LOG Se tiene los datos sobre la demanda de un producto (miles de unidades) y su precio (en centavos) tomado de 5 diferentes centros comerciales Se pide estimar: Se pide estimar: Precio Demanda a) La elasticidad de la demanda Precio Demanda a) La elasticidad de la demanda X Y b) La demanda cuando el precio sea de 12 ctvs $ X Y b) La demanda cuando el precio sea de 12 ctvs $ Sol.-a) La FRP → Ln y = β1 X e Sol.-a) La FRP → Ln y = β1 X e → Ln y = Ln β1 + β2 Ln X +µ → Ln y = Ln β1 + β2 Ln X +µ la FRM → Ln Ŷ = Ln X la FRM → Ln Ŷ = Ln X Como β2= <1 → inelástica Como β2= <1 → inelástica b) Para X= 12 b) Para X= 12 → Ln Ŷ = Ln (12) → Ln Ŷ = Ln (12) → Ln Ŷ= → Ln Ŷ= → Ŷ = antiln(4.3439)= 77 unidades → Ŷ = antiln(4.3439)= 77 unidades β2β2u

B.-Modelos de Reg.Múltiple Gralmente Una Y = f( Xs) 1.-Múltiple lineal 1.-Múltiple lineal → La FRP → Y= β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + …+ β k X k + u ; R²; R Cuya FRM → Ŷ= β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + …+ β k X k La estimación mediante matrices ó PC ( SPSS ó Views) La estimación mediante matrices ó PC ( SPSS ó Views) donde β 0 = Intercepto donde β 0 = Intercepto β 1 = Coef.de Reg.Parcial,PM deY ; si X2..=cte β 1 = Coef.de Reg.Parcial,PM deY ; si X2..=cte β 2 = Coef.de Reg.Parcial PM de Y ; si X3..=cte β 2 = Coef.de Reg.Parcial PM de Y ; si X3..=cte R² = Coef.de Determinación múltiple(ordinario) R² = Coef.de Determinación múltiple(ordinario) R = Coef.de Correlación lineal múltiple R = Coef.de Correlación lineal múltiple Ŕ² = Coef. De determinación ajustado Ŕ² = Coef. De determinación ajustado Ŕ² = 1-(1-R²) [(n-1)/(n-k)] Ŕ² = 1-(1-R²) [(n-1)/(n-k)]

Ej.de modelo de reg.multiple simple EJ. Se tiene los datos sobre el nº de torsiones necesarias para romper una barra hecha con cierto tipo de aleación y los porcentajes de los metales que la integren: Estímese el Nº de torsiones necesarias para Nº de torsiones % de “A” % “B” romper una de las barras cuando: Nº de torsiones % de “A” % “B” romper una de las barras cuando: y x1 x2 X1= 2.5 ; X2= 12 y x1 x2 X1= 2.5 ; X2= Sol:- La FRP → Y= βo+ β1X1+ β2X2 +µ Sol:- La FRP → Y= βo+ β1X1+ β2X2 +µ La FRM → Ŷ= X X La FRM → Ŷ= X X R² =0.48; R= 0.69 ; para x1= 2.5 ; x2= R² =0.48; R= 0.69 ; para x1= 2.5 ; x2= → Ŷ= (2.5) (12) = → Ŷ= (2.5) (12) = → Ŷ = 49 torsiones → Ŷ = 49 torsiones

Tipos de modelos múltiples Los polinomiales: Los polinomiales: a) Los Cuadráticos a) Los Cuadráticos cuya FRP → Y = β 0 + β 1 X i β 2 X i + µ cuya FRP → Y = β 0 + β 1 X i β 2 X i + µ b) Los Cúbicos b) Los Cúbicos cuya FRP → Y = β 0 + β 1 X i β 2 X i + β 3 X i +µ cuya FRP → Y = β 0 + β 1 X i β 2 X i + β 3 X i +µ Los log-log ó exponenciales Los log-log ó exponenciales cuya FRP → Y = β 1 X 2 X 3 e cuya FRP → Y = β 1 X 2 X 3 e LnY = ln β 1 + β 2 ln X 2 +β 3 X3 +µ LnY = ln β 1 + β 2 ln X 2 +β 3 X3 +µ 2 23 β2β2β3β3 µ