@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS1 TEMA 14 * INFERENCIA ESTADÍSTICA MATEMÁTICAS A. CS II

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS2 Tema 14.7 * 2º B CS INFERENCIA DE LA PROPORCIÓN

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS3 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES En una población la proporción de elementos (personas, animales, cosas o entes) que posee una cierta característica es p. En una población de habitantes el 20% contrae una determinada enfermedad. O sea p=0,20 es la proporción de gente enferma. Si tomamos una muestra de 1000 habitantes, la proporción pr de gente enferma es del 17%, o sea pr=de 0,17. Si tomamos otra muestra de 1000 habitantes, la proporción pr de gente enferma es del 21%, o sea pr=de 0,21. Si tomamos otra muestra de 1000 habitantes, la proporción pr de gente enferma es del 23%, o sea pr=de 0,23. En cada una de las muestras habrá una proporción, pr, de gente que reúne dicha característica (estar enferma) distinta. ¿Cómo se distribuyen todos los posibles valores de pr?. Pues bien, los elementos con dicha característica en las muestras de tamaño n sigue una distribución normal de media p y desviación típica √(p.q/n). Es decir: N (p, √(p.q/n) )

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS4 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES PROBABILIDAD Y PROPORCIÓN Proporción: 20 de cada 100 individuos están enfermos  20 / 100 Proporción: El 20% de individuos están enfermos  20 % = 20 / 100 = 0,2 Probabilidad: Cada individuo tiene una probabilidad de 20/100=0,2 de estar enfermo. APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL A LA NORMAL Sea x el nº de elementos de la muestra que posee cierta característica. x es la Binomial B(n, p) Siendo p la probabilidad de que se posea la característica. q=(1 – p) será la probabilidad de que no se posea la característica Si n.p ≥ 5 y n.q ≥ 5 podemos considerar una buena aproximación a la normal. Esta aproximación es mejor cuanto mayor sea n y p esté lo más próximo a 0,5. Lo que debemos de estimar es qué proporción p de esta población tiene o no tiene la característica.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS5 EJEMPLO_1 Una fábrica de pasteles realiza un 3% defectuosos. Un cliente recibe un pedido de 500 pasteles de la fábrica. Hallar: a) Probabilidad de que encuentre más del 4% defectuosos. b) Probabilidad de que encuentre menos del 1% defectuosos. Resolución: Tres de cada 100 son defectuosos. Proporción o probabilidad de que un pastel resulte defectuoso: 3/100 = 0,03. Tenemos n=500 y p=0,03  Hallamos q = 1 – p = 1 – 0,03 = 0,97 Como n > 30, la variable aleatoria P de las proporciones muestrales se aproxima a una normal: N(p, √(pq/n) = N( 0’03, √(0,03.0,97/500) = N(0’03, 0’0076) Además podemos afirmar que es una buena aproximación, pues: n.p > 5  0’ = 15 > 5 y n.q > 5  0, = 485 > 5

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS6 … EJEMPLO_1 Resolución: a) Probabilidad de que encuentre más del 4% defectuosos. 0’04 – 0’03 P(pr ≥ 0,04) = P(Z ≥ ) = P(Z ≥ 1,3157) = 1 – P(Z ≤ 1,3157) = 0’0076 = 1 – 0,9059 = 0,0941 b) Probabilidad de que encuentre menos del 1% defectuosos. 0’01 – 0’03 P(pr ≤ 0,01) = P(Z ≤ ) = P(Z ≤ – 2,63) = P(Z ≥ 2,63) = 0’0076 = 1 – P(Z ≤ 2,63) = 1 – 0,9957 = 0,0043

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS7 EJEMPLO_2 El porcentaje de individuos que contraen una determinada enfermedad es del 20%. Consideramos una muestra de 1000 individuos. ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos el 21% de los individuos, tengan dicha enfermedad? Resolución: Tenemos n=1000 y p=0,2  Hallamos q = 1 – p = 0,8 La variable aleatoria P de las proporciones muestrales se aproxima a una normal N(p, √(pq/n) = N( 0’2, √(0,2.0,8/1000) = N(0’2, 0’0126) 0’21 – 0’2 Luego P(pr ≥ 0,21) = P(Z ≥ ) = 1 - P(Z ≥ 0,79) = 0,2148 0’0126 Además podemos afirmar que es una buena aproximación, pues: 0’ = 200 > 5 y 0, = 800 > 5

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS8 EJEMPLO_3 En un saco mezclamos judías blancas y judías pintas en la relación 14:1 respectivamente. Extraemos un puñado de 100 judías. Calcular la probabilidad de que la proporción de judías pintas esté comprendida entre 0,05 y 0,1. Resolución: Como hay una judía pinta de cada 15, tenemos n=100 y p=1/15 Hallamos q = 1 – p = 14/15 La variable aleatoria P de las proporciones muestrales se aproxima a una normal, pues n = 100 > 30 y n.p = 6,67 > 5, n.q = 93,33 > 5 N(p, √(pq/n) = N( 1/15, √[(1/15).(14/15)/100)] = N(0’0666, 0’025) 0’1 – 0’0666 0,05 – 0,666 Luego P(0,05 ≤ pr ≤ 0,1) = P(Z ≤ ) – P(Z ≤ ) = 0,025 0,025 = P(Z ≤ 1,3333) – P(Z ≤ – 0,6666) = 0,9088 – P(Z ≥ 0,6666) = = 0,9088 – (1 – P(Z ≤ 0,6666) ) = 0,9088 – 1 + 0,7475 = 0,6563

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS9 EJEMPLO_4 Una máquina produce tornillos. Se sabe que el 3% de ellos son defectuosos. Se embalan en cajas de 500. a)¿Cómo se distribuye la proporción pr de tornillos defectuosos en las cajas? b)Encontrar un intervalo en el cual se encuentre el 90% de las proporciones de tornillos defectuosos. Resolución: Tenemos que la proporción, p, de tornillos defectuosos es p=0,03 Cada caja es una muestra de 500 tornillos, luego n=500 Hallamos q = 1 – p = 0,97 Media: p=0,03 Desviación típica: σ = √(pq/n) = √(0,03.0,97/500) =0,0076 Será la normal N(0’03, 0’0076) Una probabilidad del 90% significa: 1 – α = 0,9  α/2 = 0,05  z α/2 = 1,645 El intervalo correspondiente es: (0,03 – 1,645. 0,0076, 0,03 + 1,645. 0,0076) = (0,0275, 0,0425) El 90% de las cajas tiene una proporción de tornillos defectuosos entre 2,75% y 4,25%.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS10 EJEMPLO_5 Supongamos que el 25% de los alumnos del instituto son de pueblos, y que todos los grupos son de 30 alumnos. a)¿Cómo se distribuye la proporción pr de alumnos de pueblos en las clases? b)Encontrar un intervalo en el cual se encuentre el 99% de las proporciones de dichos alumnos. Resolución: Tenemos que la proporción, p, de alumnos de pueblos p=0,25 Cada grupo es una muestra de 30 alumnos, luego n=30 Hallamos q = 1 – p = 0,75 Media: p=0,25 Desviación típica: σ = √(pq/n) = √(0,25.0,75/30) =0,0790 Será la normal N(0’25, 0’0790) Una probabilidad del 99% significa: 1 – α = 0,99  α/2 = 0,005  z α/2 = 2,575 El intervalo correspondiente es: (0,25 – 2,575. 0,0790, 0,25 + 2,575. 0,0790) = (0,0466, 0,4534) El 99% de las clases tiene una proporción de alumnos de pueblos entre el 4,66% y el 45,34%.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS11 EJEMPLO_6 Determinar el intervalo de confianza, con una significación del 0,05, para la proporción poblacional de fumadores entre los jóvenes menores de 21 años, a partir de una muestra de tamaño 900 en la cual la proporción de fumadores ha resultado p = 0,3. Resolución: Una significación del 0,05 significa: α = 0,05  α/2 = 0,025  1 – α = 0,95  z α/2 = 1,96 Tenemos que la proporción, p, de fumadores menores p=0,3 Hallamos q = 1 – p = 0,7 Media: p=0,3 Desviación típica: σ = √(pq/n) = √(0,3.0,7/900) =0,0153 Será la normal N(0’3, 0’0153) El intervalo correspondiente es: (0,3 – 1,96. 0,0153, 0,3 + 1,96. 0,0153) = (0,27, 0,33) El 95% de las muestras de tamaño 900 nos darán una media situada entre el 27 % y el 33 % de fumadores.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS12 EJEMPLO_7 Determinar el intervalo de confianza, con una significación del 0,05, para la proporción poblacional de fumadores entre los jóvenes menores de 21 años, a partir de una muestra de tamaño 900 en la cual la proporción de fumadores no se ha podido determinar. Resolución: Una significación del 0,05 significa: α = 0,05  α/2 = 0,025  1 – α = 0,95  z α/2 = 1,96 Tenemos que la proporción, p, de fumadores menores es desconocida. En ese caso calculamos la desviación típica para los valores más desfavorables, que son p=q=0,5: σ = √(pq/n) = √(0,5.0,5/900) = 0,0167 Será la normal N(p, 0’0167) El intervalo correspondiente es: (p – 1,96. 0,0167, 0,3 + 1,96. 0,0167) = (p – 0,0326, p + 0,0326) Si tomamos p = 0,3 (como en el Ejemplo 6), vemos que el intervalo es ligeramente mayor, del 26,73 % y el 33,26 de fumadores. Ello es así porque p=q=0,5 es el caso más desfavorable, con mayor error.