ECUACIONES DE RECTAS Ecuación vectorial ? ¿Cuántas rectas pasan por el punto A = (1, -3) y tienen como dirección la misma que la del vector Toda recta queda determinada por un punto y un vector llamado vector director de la recta. ¿Cuántos vectores directores tienen una recta? Cualquier otro vector que tenga la misma dirección que

Si trasladas el punto A mediante el vector obtenemos el punto A´ que pertenece a la recta A´= (1, -3) + (-2,4 ) = (-1,1)

= (1, -3) + (-4,8) = (-3,5) Si trasladas el punto A mediante el vector obtenemos el punto B que pertenece a la recta B = (1, -3) + 2 · (-2,4 ) = = (1, -3) + (-4,8) = (-3,5)

Si trasladas el punto A mediante el vector obtenemos el punto C que pertenece a la recta

Si trasladas el punto A mediante el vector obtenemos el punto D que pertenece a la recta Cualquier punto de la recta P = (x,y) se puede escribir como: En coordenadas la ecuación de nuestra recta se escribiría:

t = 1 obtenemos A´=(-1,1) t = 2 el punto B =(-3,5) t = ½ el punto C=(0,-1) La ecuación vectorial de una recta es de la forma

Ejemplos: 1.-Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto A(0,-4) y tiene como vector director Obtén además del punto A, tres puntos más de ella.

2.-Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A(-2,1) y B(0,1). Determina un punto más de la recta. Punto: A(-2,1) Vector director:

3.- Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A(0,3) y B(4,7). Determina un punto más de la recta. Punto: A= (0,3) Vector director: Ecuación vectorial:

Ecuaciones paramétricas Sabemos que la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto A = (1, -3) y tiene como vector director es ecuaciones paramétricas

Las ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por A = (a,b) y tiene vector director son: Ejemplos: 1.-Encuentra las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A(-2,3) y tiene como vector director . Determina tres puntos de la recta distintos de A.

2.- Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A(0,-4) y tiene como vector director (-1,7) 3.-Determina las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por A(2,3) y tiene como vector director (-1,0). Encuentra dos puntos además de A. Puntos:

4.-Dados los puntos A(-1,7) y B(0,1) calcula: Las ecuaciones paramétricas de la recta. Punto A(-1,7) vector director b) Tres puntos que pertenezcan a la recta.

5.- Escribe la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta de la figura. Pasa por los puntos A(-1,2) y B(3,1) Tomamos uno cualquiera de los puntos A(-1,2), y como vector director el vector Ecuación vectorial: Ecuaciones paramétricas:

Ecuación continua Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por A(-1,2), y tiene vector director es ecuación continua La ecuación continua de la recta que pasa por A = (a,b) y tiene vector director es:

Ejemplos: 1.-Escribe la ecuación continua de la recta que pasa por A(3,-1) y B(4,5) Punto A(3,-1) vector director Ecuación continua: 2.-¿Se puede escribir la ecuación de la recta que pasa por A(2,3) y tiene como vector director (-1,0) en forma continua? NO!! 3.-Determina la ecuación continua de la recta Punto A(2,0) vector director

Ecuación explícita Punto A(2,0) vector director La ecuación continua de la recta que pasa por A(-1,2), y tiene vector director es Si despejamos la incógnita y obtenemos: ecuación explícita que simplificada queda como

La ecuación explícita de la recta que pasa por A(-1,2), y tiene vector director es pendiente de la recta n es la ordenada en el origen La ecuación explícita de una recta es de la forma

Ejemplos 1.-Las gráficas de las rectas cuyas ecuaciones explicita son y = 2x +3 e y = 2x+ 5 son:

2.- Las gráficas de las rectas cuyas ecuaciones explicita son

3.- Las gráficas de las rectas cuyas ecuaciones explicita son

4.- Las gráficas de las rectas cuyas ecuaciones explicita son y = -2x+1 e y = x + 3

Ejercicios 1.-Calcula la ecuación explícita de la recta que pasa por A(0,-4) y tiene como vector director Si pasa por A(0,-4) significa que corta al eje Y a la altura -4, es decir n = -4 Por tanto, la ecuación explícita es

2. -Dada la recta y = 3x – 3, ¿cuál es la pendiente 2.-Dada la recta y = 3x – 3, ¿cuál es la pendiente? Determina un vector director de la recta. por tanto un vector director es (1,3)

3.-Determina la ecuación explícita de la recta Observamos que corta al eje Y a la altura del 0, es decir, n = 0 Para encontrar la pendiente buscamos un vector director Ecuación explícita: y = 1 x +0 → y = x

4.- Calcula la ecuación explícita de la recta que pasa por A(4,1) y tiene como vector director Pasaremos de la forma continua a la forma explícita.

Ecuación punto – pendiente La ecuación continua de la recta que pasa por A(-1,2), y tiene vector director es ecuación punto – pendiente La ecuación punto - pendiente de una recta que pasa por A(a,b) y tiene pendiente m es de la forma

Ecuación general o implícita Ejemplo Calcula la ecuación punto – pendiente de la recta que pasa por A(4,1) y tiene como vector director Ecuación general o implícita La ecuación continua de la recta que pasa por A(-1,2), y tiene vector director es ecuación general o implícita

La ecuación continua de la recta que pasa por A(-1,2), y tiene vector director es Observa que los coeficientes de x e y de la ecuación es el par (2, 4). ¿Qué representa este par? Dado un vector de componentes (a, b) entonces el vector (-b, a) es perpendicular a él. es un vector perpendicular al vector director de la recta

En general, la ecuación general o implícita de una recta es de la forma donde son las componentes de un vector perpendicular a dicha recta. Ejemplos 1.-Dada la recta x + y – 3 = 0, calcula un vector director, otro perpendicular, la pendiente de la recta y dos puntos que pertenezcan a dicha recta. Un vector perpendicular se extrae de los coeficientes de x e y : Un vector director será uno perpendicular al anterior: La pendiente es fácil si conocemos las componentes de un vector director:

x + y – 3 = 0 Para obtener puntos de la recta basta con dar valores a una de las incógnitas y despejar la otra: x = 0  0 + y – 3 = 0  y = 3 P( 0, 3) x = 1  1 + y – 3 = 0  y = 2 Q( 1, 2) x = -1  -1 + y – 3 = 0  y = 4 R( -1, 4)

2.-Calcula la ecuación general o implícita de la recta que pasa por los puntos P(-3,2) y Q(1,1) Vector director: Ecuación continua: Ecuación general:

3.-Calcula la ecuación general de la recta que pasa por A(0,-1) y B(3,2) Vector director: Ecuación continua: Ecuación general:

4.- Calcula la ecuación general de la recta que tiene como expresión vectorial (x , y) = (1,1) + t · (3,1) Vector director (3, 1) Punto de la recta: (1,1) Ecuación continua: Ecuación general:

Posición de dos rectas en el plano 5.-Si la pendiente de una recta es m = 2 y sabemos que pasa por el punto A(0,-1). Escribe su ecuación general. vector director de la recta Punto A(0,1). Ecuación continua: La ecuación general es 2x - y + 1 = 0 Posición de dos rectas en el plano Dos rectas pueden ser paralelas, coincidentes o secantes. Paralelas: tienen la misma dirección y no tienen puntos comunes. Coincidentes: tienen la misma dirección y todos los puntos comunes. Secantes: tienen distinta dirección y un punto común que es el punto de corte de ambas.

Ejemplos: 1.- Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas ¿Tienen la misma dirección? Distinta pendiente por tanto son secantes.

Pendiente de r: Pendiente de r´: vector perpendicular (2,4) → vector director (-4,2) → pendiente: Por el momento son paralelos. Tomaremos un punto de una de las rectas, si es de la otra las rectas serán coincidentes. t = 1 → (x,y) = (1,1) + 1· (-2,1) = (-1, 2) Veamos si el punto A(-1,2) es de la otra recta: 2 · (-1) + 4· 2 -1 ≠ 0 . No es de la recta, por tanto no son coincidentes.

2.- Estudia la posición relativa de las rectas. Veamos si tienen la misma dirección, para ello compararemos las pendientes de ambas: Por el momento son paralelas. Tomaremos un punto de una de las rectas, si es de la otra las rectas serán coincidentes x = 1 → y = 2 · 1 + 6 = 8 A( 1,8) Veamos si A( 1,8) es de la otra recta: son coincidentes

Pendiente de r: Pendiente de r´: Vector perpendicular (1, -5) → vector director (5,1) → pendiente: Distintas pendientes, por tanto son secantes. 3.-Di cual es la posición relativa de las siguientes rectas en el plano: Pendiente de r: vector perpendicular (1, 3) → vector director (-3,1) → pendiente: Pendiente de r´: vector perpendicular (3, 9) → vector director (-9,3) → pendiente:

Misma pendiente, por tanto por el momento son paralelas Misma pendiente, por tanto por el momento son paralelas. Veamos si son coincidentes. x = 1 → 1 + 3y +2 = 0 → 3y = -3 → y = -1 punto A(1, -1) Veamos si A(1, -1) es de la otra recta: 3 · 1 + 9 · (-1) + 6 = 0 las rectas son coincidentes. Observación: Si simplificas la segunda ecuación obtienes la primera. Las dos ecuaciones representan a la misma recta

Rectas paralelas 1.- Calcula la recta paralela a la recta de ecuación 2x – 3y + 4 = 0 en el punto A(1, 1) Si son rectas paralelas el vector director de una de ellas lo es de la otra. (2,-3) vector perpendicular → (3, 2) vector director Pasa por A(1, 1) su ecuación continua será

2.-Determina la ecuación de la recta que pasa por C(0,1) y es paralela a la recta definida por los puntos A(3,-2) y B(4,1) Vector director de la recta que pasa por A y B: Pasa por C(0, 1) su ecuación continua será:

Rectas perpendiculares Dedos rectas perpendiculares observamos dos hechos: 1.-Los vectores directores son perpendiculares. 2.-Un vector perpendicular a una de las rectas es director de la otra.

Ejemplo Determina la recta perpendicular a la recta de ecuación 2x – 3y + 4 = 0 en el punto A(1, 1) Un vector perpendicular de 2x – 3y + 4 = 0 es es un vector director de la recta perpendicular. Como la recta perpendicular pasa por A(1, 1) su ecuación continua será: