Inferencia Estadística

CONTENIDO Introducción Propiedades de los estimadores Estimaciones Puntuales y de Intervalo Distribuciones Derivadas del Muestreo Uso de las Tablas Intervalos de Confianza Tamaño de muestra y estimación

Objetivos Describir las características de la inferencia estadística Definir las propiedades de los estadísticos de una muestra Describir cómo se calculan los estimadores puntuales y por intervalo

Introduccion La inferencia estadística comprende dos tipos de procesos: Estimación y Pruebas de Hipótesis Estimación es el procedimiento mediante el cual obtenemos conclusiones respecto a parámetros o características de la población, a través de la muestra.

Introducción En investigación, generalmente se obtiene una muestra de la población a estudiar y con ésta se calculan los estadísticos de interés. Como estos estadísticos son aleatorios (solo se tomó una muestra) se debe realizar un proceso llamado Inferencia Estadística para obtener una estimación de los (estadísticos) parámetros de la población. Este ultimo proceso es llamado Estimación Paramétrica. En el caso en que la distribución poblacional no es conocida, o no se puede suponer un modelo de distribución adecuado, se hace uso de la Estimación No‑paramétrica para las inferencias estadísticas.

Distribuciones derivadas del muestreo Una de las propiedades de la media de la muestra, es que cualesquiera que sea la distribución de X, cuando la muestra es suficientemente grande, la media de la muestra tendrá una distribución aproximadamente normal. Esto se deriva del Teorema Central del Límite.

Teorema central del límite Si se tiene una muestra aleatoria de tamaño n, tomada de una población con media  y varianza 2, si n es suficientemente grande, se distribuye aproximadamente normal con media  y varianza 2/n. Es así que la variable aleatoria: se distribuirá aproximadamente normal estándar (con media 0 y varianza 1)

Distribución de la media muestral 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 =1.7 Distribución de X Distribución de

Distribución Z de la media de la muestra Si la nueva variable es la media de la muestra, la media de la distribución es μ (aplicando el teorema central del límite), y la varianza de la distribución de la media de la muestra es σ2/n, donde n es el tamaño de la muestra. Eso se resume en la ecuación a la derecha. Calcule la media y la varianza de Z para la media de una muestra de tamaño 20 (n=20) cuya distribución tiene una media μ de 5 y una varianza σ2 de 0.82

Estimación Al seleccionar una muestra de una población podemos utilizarla para tratar de estimar un parámetro poblacional. Este método, conocido como estimación de parámetros se puede realizar de dos maneras: La estimación puntual y la estimación por intervalos. La primera básicamente es asignarle un número al parámetro (por eso es puntual), y la segunda consiste en encontrar un intervalo donde esperamos que el parámetro se encuentre con cierta probabilidad.

Estimación Para realizar cualquiera de los dos tipos de estimación, se parte de un estimador (estadístico de la muestra), que debido a que es una función de las observaciones de la muestra, tiene una distribución de probabilidades.

Inferencia estadística El proceso aleatorio de selección de la muestra nos asegura ciertas características distribucionales de las observaciones de la muestra, mismas que nos sirven para proponer "estimadores" de los parámetros poblacionales. Un estimador es una función de las observaciones de una muestra. Un parámetro es una característica del modelo de probabilidad (distribucional) supuesto para la población. MUESTRA POBLACION

INFERENCIA ESTADISTICA Existen algunas características deseables que pueden tener los estimadores: Estimador Insesgado Estimador Consistente Estimador de Varianza Mínima

PROCESO PARA LA INFERENCIA ESTADISTICA Definición de la variable en estudio. Definición de la población: Definir y delimitar la población para poder obtener la muestra. Modelo probabilístico de distribución de la variable en la población considerada. Selección del procedimiento aleatorio de obtención de la muestra de acuerdo al modelo de distribución de probabilidades de la población. Enumeración de las propiedades distribucionales de la muestra. Inferencia estadística.

ESTIMACION PUNTUAL POBLACION Frecuencia Relativa HUMEDAD 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 MEDIA POBLACION: 1.7827 DESVIACION ESTANDAR POBLACION: 0.1772 POBLACION Los estimadores puntuales son estadísticos de la muestra que estiman parámetros de la población MUESTRA

ESTIMACION PUNTUAL λ Estimador de la Media de la Distribución Modelo de Distribución Media de la Distribución Varianza de la Distribución Binomial np np(1-p) Poisson λ λ Normal μ σ2

ESTIMACION PUNTUAL  μ Modelo de Distribución Media de la Distribución Varianza de la Distribución Estimador de la media de dist. Estimador de la varianza de dist. Binomial p {p(1-p)}/n np np(1-p) n Poisson  Normal μ

INTERVALOS DE CONFIANZA Un intervalo de confianza para un parámetro de la población consiste en uno o dos valores límites dentro de los cuales se espera que esté contenido el parámetro poblacional con cierta probabilidad. Los intervalos de confianza pueden ser superiores, inferiores o para ambos lados. Intervalo de confianza para la media de una población con distribución aproximadamente normal y varianza conocida (2)

INTERVALOS DE CONFIANZA Intervalo de confianza para la media de una población con distribución aproximadamente normal y varianza conocida (2)

INTERVALOS DE CONFIANZA Intervalo de confianza para la media de una población con distribución aproximadamente normal y varianza desconocida

INTERVALOS DE CONFIANZA

INTERVALOS DE CONFIANZA Intervalo de confianza para la varianza de una población con distribución aproximadamente normal

INTERVALOS DE CONFIANZA Intervalo de confianza para la proporción (p) de una población con distribución binomial, usando una muestra grande (Teorema Central del Límite)

Ejercicios Se pondrán ejercicios en clase

TAMAÑO DE MUESTRA Y ESTIMACIÓN La confiabilidad de una estimación depende del nivel de confianza establecido y del tamaño de la muestra. Si se hace un intervalo de confianza de 99%, éste será más confiable que uno de 95%; pero también el intervalo de 99% será más grande que el 95%. Cuanto más grande es el tamaño de la muestra, mayor será la confiabilidad de la estimación.

CÓMO CALCULAR EL TAMAÑO DE MUESTRA Seleccione las características a medir que sean más importantes y dentro de éstas las que tengan mayor variación (A esta característica vamos a llamarle W). Calcule, o estime con una muestra preliminar o con datos de otros estudios, la varianza, desviación estándar o coeficiente de variación de W. Establezca una diferencia mínima d0 que desea detectar entre dos unidades de la muestra. d0 = W1-W2

Cómo Calcular el Tamaño de Muestra Por ejemplo, se desea detectar una diferencia mínima de 0.5 mm de mercurio entre dos mediciones de presión arterial. Aquí, d0 = 0.5. A partir de la desviación estándar o del coeficiente de variación de W de algún trabajo anterior o de la literatura científica, se calcula la varianza (s2W). Las fórmulas para calcular el tamaño de muestra serán:

n = (s2W •t2(/2, gl. error)) /d20 Cómo Calcular el Tamaño de Muestra n = (s2W •t2(/2, gl. error)) /d20 Si no se tiene el dato de grados de libertad del error (gl. error), se puede usar: n = (sW2•Z2(/2)) /d20 Si la medición es de atributos (una proporción o porcentaje p): n =(z2/2•p2W•(1-pW)2)/d20

RESUMEN Introducción Estimadores Propiedades de los estimadores Estimación Puntual Intervalos de confianza Tamaño de muestra y estimación