Teoría De grafos

Índice 1-Introducción 2- Partes de un grafo 3- Clasificación de las relaciones según sus propiedades 4- Ejemplo *Grafo *Matriz *Grafico cartesiano *Propiedades con las que cumple

Introducción

La teoría de grafos es un campo de estudio de las matemáticas y las ciencias de la computación, que estudia las propiedades de los grafos

Partes de un grafo

Vértices(Nodos): Son los objetos representados por punto dentro del grafo. Aristas(Ramas o Lados): son las líneas que unen dos vértices. Aristas Adyacentes: dos aristas son adyacentes si convergen sobre el mismo vértice.

Aristas Múltiples o Paralelas: dos aristas son múltiples o paralelas si tienen los mismos vértices en común o incidente sobre los mismos vértices. Lazo: es una arista cuyos extremos inciden sobre el mismo vértice.

Clasificación de las relaciones según sus propiedades

Propiedad Reflexiva: Dado un conjunto A y una relación R sobre A, diremos que R es reflexiva si para cualquier elemento x de A, el par ordenado (x,x) es un elemento de R. A = {1,2,3,4} R = {(1,1),(1,2),(2,2),(3,3),(3,2),(4,4)} 1 2 3 4 La reflexiva se observará como un lazo existente en cada nodo

No Reflexiva: Si a la relación le pertenecen sólo algunos elementos de la diagonal y otros no, se le denomina no reflexiva. A = {1,2,3,4} R = {(1,1),(1,2),(2,2),(3,2),(4,4)} 1 2 3 4

Irreflexiva o arreflexiva: Si ningún elemento de la diagonal pertenece a la relación, recibe el nombre de irreflexiva o arreflexiva. A = {1,2,3,4} R = {(1,2),(3,2)} 1 2 3 4

Propiedad Simétrica: Dado un conjunto A y una relación R sobre A, diremos que R es simétrica si y sólo si, para cualquier par ordenado de R, el par obtenido permutando sus componentes, también pertenecen a R. A = {1,2,3,4} R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,3)} 1 2 3 Siempre que exista un arco desde un nodo a hacia un nodo b, también existirá un nodo de b hacia a. Entre cada dos vértices distintos existen dos aristas o no existe ninguno.

No Simétrica: Si R es una relación en la cual, existe algún (x,y) €R, la relación se dice que es no simétrica. 1 2 A = {1,2,3,4} R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3)} 3 4 Es no simétrica Cuando no todos los vértices tienen su simétrica

Asimétrica: para cada par (a, b) que pertenece a R, el par (a, b) no pertenece. 1 2 A = {1,2,3,4} R = {(1,2),(1,4)(2,3),(2,4),(3,1),(4,3)} 3 4 Entre cada dos vértices distintos del mismo, existe un arco o no existe ninguno.

Relación Transitiva: Dado un conjunto A y una relación R sobre A, diremos que R es transitiva, si y sólo si, para todo par de elementos (x, y) ,(x, z) de la relación, se verifica que (x, z) también pertenece a la relación. 1 2 A = {1,2,3,4} R = {(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),} 3 4 Si D es el grafo de una relación transitiva y existen arcos desde a hasta b y desde b hasta c, entonces existirá un arco desde a hasta c.

Relación de Equivalencia. Una relación sobre un conjunto A, se llama relación de equivalencia, si y sólo si es Reflexiva, Simétrica y Transitiva. A = {1,2,3} R={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3) 1 3 2

Ejemplo

Las muchachas de TIC´S han decidido visitar 5 empresas, con el fin de saber que crecimiento a tenido cada empresa. Quieren saber que empresa es la mas cercas de Tijuana para ahorrar tiempo, ya que tienen pronosticado usar dos semanas para visitar las empresas. Los lugares de cada empresa son: Tijuana, Monterrey, La Paz, D.F Y Puerto Vallarta.

Saldrán de TIJUANA ya que es en donde se encuentra la empresa principal, de ahí se dirigirán a LA PAZ por ser la empresa mas chica y cercana . En donde solo permanecerán medio día.

Tijuana Monterrey La Paz Puerto Vallarta D.F.

DE LA PAZ se dirigirán a la empresa de MONTERREY , por una promoción que les ofrecieron donde al comprar dos boletos les incluyen un recorrido por el Museo y el Planetario.

Tijuana Monterrey La Paz Puerto Vallarta D.F.

De MONTERREY decidieron ir la empresa que se encuentra en el D. F De MONTERREY decidieron ir la empresa que se encuentra en el D.F. Y a provecharan el viaje para visitar a su amiga Adriana.

Tijuana Monterrey La Paz Puerto Vallarta D.F.

Para concluir con la visita, del D. F Para concluir con la visita, del D.F. se dirigirán a PUERTO VALLARTA donde esta la ultima empresa

Tijuana Monterrey La Paz Puerto Vallarta D.F.

Con el tiempo que se ahorraron, su recorrido duro 4 días y utilizaran los días que les quedaron para darse unas buenas vacaciones.

Grafo

Reflexiva: No cumple con la propiedad por que no contiene lazos. 1- Tijuana 2- La Paz 3- Monterrey 4- D.F. 5- Puerto Vallarta A = {1,2,3,4,5} R = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)} No Reflexiva: Al igual que la reflexiva, no cumple con la propiedad por no tener lazos. Irreflexiva: No contiene ningún lazo por lo tanto si cumple con la propiedad. Simétrica: No cumple con la propiedad por que la arista que existe del nodo a al nodo b también debe existir del nodo b al nodo a. 1 No simétrica: No cumple con la propiedad por que ninguna de las aristas regresa a su punto. 5 2 Asimétrica: Si cumple con la propiedad, Por que las aristas no regresan a su punto. Transitiva: Si cumple con la propiedad por que lleva una secuencia. Equivalente: No es equivalente, por no ser Reflexiva y Simétrica ya que solo cumple con la propiedad transitiva. 4 3

Matriz de Relación

A = {1,2,3,4,5} R = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)} 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 MR

Grafico cartesiano

A = {1,2,3,4,5} R = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}

Matemáticas Discretas 1 Tema Teoría de grafos Integrantes De la cruz de la luz Ana Claudia 13210419 Ruíz Alcaráz Marisol 13210055