ALGORITMO DE FACTORIZACION DIRECTA. SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. JULIO CESAR GARCIA VARGAS

Factorizacion directa LU Su nombre se deriva de las palabras en ingles “Lower” y “Upper” En el método la matrz se descompone en dos matrices triangulares una superior y otra inferior. Debido a que A=L*U al encontrar L y U a partir de A no se altera en nada la ecuación, de tal forma A=LU 1 d g h a b c e f i L= U= 1 d g h a b c e f i = *

Factorizacion LU Pasos para resolver un sistema de ecuaciones para el método de descomposición LU Obtener la matriz triangular inferior L y la matriz triangular superior U. Resolver Ly= b ( para encontrar y) El resultado del paso anterior se guarda en una matriz nueva de nombre “y”. Realizar Ux=y (para encontrar x). El resultado del paso anterior se almacena en una matriz nueva llamada “x” la cual brinda los valores correspondientes a la incógnitas de la ecuación.

PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR (MATRIZ [U]) Para lograr lo anterior se requiere obtener un factor el cual es necesario para convertir a cero los valores abajo del pivote. Hacer cero todos los valores abajo del pivote sin convertir este en 1. Dicho factor es igual al número que se desea convertir en cero entre el número pivote. Este factor multiplicado por -1 se multiplica luego por el pivote y a ese resultado se le suma el valor que se encuentra en la posición a cambiar (el valor en la posición que se convertirá en cero).

PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR (MATRIZ [L]) Construir una matriz de igual orden que la matriz original con unos en la diagonal principal y ceros para los elementos que cumplan j > i. Como los elementos debajo de la diagonal principal se ubican el múltiplo de Gauss usado en la descomposición para conseguir el “cero” en la posición correspondiente.

FACTORIZACION LU EJEMPLO N°1 Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones: 4X1 -2X2 -X3 = 9 5X1 +X2 -X3 = 7 X1 +2X2 -X3 = 12 4 -2 -1 9 A = 5 1 -1 b = 7 1 2 -1 12

FACTORIZACION LU EJEMPLO N°1 SOLUCION 1. Se halla “U”: 4 -2 -1 5 1 -1 R2 R2 – (5/4)*R1 1 2 -1 R3 R3 – (1/4)*R1 4 -2 -1 0 7/2 ¼ 0 5/2 -3/4 R3 R3 – (5/2)/(7/2)*R2

FACTORIZACION LU EJEMPLO N°1 SOLUCION 1. Se halla “U”: 4 -2 -1 U = 0 7/2 ¼ 0 0 -13/14 2. Se halla “L”: 1 0 0 1 0 0 L = ? 1 0 L = 5/4 1 0 ? ? 1 ¼ 5/7 1

FACTORIZACION LU EJEMPLO N°1 3. Se verifica L*U = A 1 0 0 4 -2 -1 5/4 1 0 x 0 7/2 ¼ = ¼ 5/7 1 0 0 -13/14 4+0+0 -2+0+0 -1+0+0 4 -2 -1 5+0+0 -5/2+7/2+0 -5/4+1/4+0 = 5 1 -1 1+0+0 -1/2 +5/2+0 -1/4+5/28-13/14 1 2 -1

FACTORIZACION LU EJEMPLO N°1 4. Se despeja “Y” de L*Y = b Y1 = 9 Y1 = 9 5/4Y1 + Y2 = 7 Y2 = -17/4 1/4Y1 + 5/7Y2 +Y3 = 12 Y3 = 179/14 1 0 0 Y1 9 5/4 1 0 * Y2 = 7 ¼ 5/7 1 Y3 12

FACTORIZACION LU EJEMPLO N°1 5. Se despeja “X” de U*X = Y 4 -2 -1 X1 9 0 14/4 ¼ * X2 = -17/4 0 0 -13/14 X3 179/14 4X1 -2X2 -X3 = 9 X1 = -17/13 14/4X2 +1/4X3 = -17/4 X2 = -3/13 -13/14X3 = 179/14 X3 = -179/13

Gracias.