CUERPOS EN EL ESPACIO

CUERPOS EN EL ESPACIO. ÍNDICE Poliedros. Leonhard Euler. Fórmula de Euler. Poliedros regulares. Prismas. Definición. Elementos. Clasificación. Paralelepípedos Pirámides. Definición y elementos. Cuerpos de revolución. Cilindro. Cono. Esfera. Ejemplos de la vida cotidiana.

POLIEDROS Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por cuatro o más polígonos planos. Los polígonos que limitan al poliedro se llaman caras. El lado común a dos caras se llama arista. El punto común a tres o más aristas se llama vértice. CARAS ARISTAS VÉRTICES

LEONHARD EULER Leonhard Euler fue un matemático suizo. Nació en Basilea en 1707 y murió en San Petersburgo en 1783. En el ámbito de la Geometría desarrolló conceptos básicos como los del ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo, y revolucionó el tratamiento de las funciones trigonométricas al adoptar ratios numéricos y relacionarlos con los números complejos mediante la denominada identidad de Euler. A él también le debemos la denominada fórmula de Euler, con la que se relacionan las caras, vértices y aristas de un poliedro. BIOGRAFÍA DE EULER

Si observamos estos números detenidamente, vemos que cumplen que: FÓRMULA DE EULER Vamos a observar la relación que existe entre el número de caras, vértices y aristas de un poliedro. Para ello, vamos a llamar C al número de caras, V al número de vértices y A al número de aristas de un poliedro cualquiera. Comencemos con un cubo. Vemos que: C = 6, V = 8, A =12 Si observamos estos números detenidamente, vemos que cumplen que: C + V – A = 6 + 8 – 12 = 2

FÓRMULA DE EULER Si hacemos un corte en una esquina obtenemos un nuevo poliedro irregular que guarda la misma relación entre sus caras, aristas y vértices. En este caso, C = 7, V = 10, A = 15. Estos números cumplen la misma condición: C + V – A = 7 + 10 – 15 = 2

La fórmula de Euler para Poliedros es la siguiente: Sea P un poliedro cualquiera, que tiene: Número de caras: C Número de vértices: V Número de aristas: A Entonces se cumple que: C + V – A = 2

POLIEDROS REGULARES Un poliedro se llama regular cuando cumple estas dos condiciones: Sus caras son polígonos regulares idénticos. En cada vértice del poliedro concurre el mismo número de caras. Solo hay cinco poliedros regulares: Tetraedro (4): Formado por cuatro triángulos equiláteros. Cubo o hexaedro (6): Formado por seis cuadrados. Octaedro (8): Formado por ocho triángulos equiláteros. Dodecaedro (12): Formado por doce pentágonos regulares. Icosaedro (20): Formado por veinte triángulos equiláteros.

PRISMAS. DEFINICIÓN BASES CARAS LATERALES Un prisma es un poliedro limitado por: Dos caras iguales y paralelas que son polígonos, llamados bases. Varios paralelogramos, llamados caras laterales. BASES CARAS LATERALES

PRISMAS. ELEMENTOS. Otros elementos importantes de un prisma son: ARISTA BÁSICA ARISTA LATERAL ALTURA APOTEMA BASE

PRISMAS. CLASIFICACIÓN

PARALELEPÍPEDOS Un paralelepípedo es un prisma de seis caras, cuyas bases son paralelogramos, iguales y paralelos dos a dos. Un paralelepípedo en el que la totalidad de sus caras son rectángulos se llama ortoedro. Un ortoedro queda determinado conociendo las longitudes de las tres aristas que concurren en un vértice. Se llaman las dimensiones del ortoedro: longitud, profundidad y altura. Un cubo es un ortoedro en el que las tres dimensiones son iguales. Es decir, las seis caras son cuadrados iguales.

PIRÁMIDES Una pirámide es un poliedro que tiene por base un polígono cualquiera y por caras laterales triángulos con un vértice común, que se llama vértice o cúspide de la pirámide. Los elementos de una pirámide son los siguientes: APOTEMA LATERAL O ALTURA DE LA CARA ARISTA LATERAL a a´ ALTURA DE LA PIRÁMIDE APOTEMA BASE ARISTA BÁSICA BASE

PIRÁMIDES. CLASIFICACIÓN

CUERPOS DE REVOLUCIÓN Se llaman cuerpos de revolución a los que se obtienen al girar una figura plana, alrededor de un eje.

CILINDRO El cilindro se obtiene al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. radio generatriz altura EJE GIRO RADIO GENERATRIZ BASE

CONO El cono se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. altura radio generatriz eje giro EJE GIRO GENERATRIZ RADIO BASE

ESFERA La esfera se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro . diámetro eje giro GENERATRIZ CENTRO RADIO EJE DE GIRO

EJEMPLOS EN EL ARTE Y EN LA VIDA COTIDIANA

ESPERO QUE HAYÁIS APRENDIDO MUCHO. HASTA PRONTO, CHAVALES. ESPERO QUE HAYÁIS APRENDIDO MUCHO. COMPROBAD VUESTRO APRENDIZAJE CON LAS ACTIVIDADES QUE APARECEN EN LA PÁGINA WEB. ¡¡¡¡ ADIOS !!!!