Circuitos Eléctricos II Números Complejos Circuitos Eléctricos II

Definición La unidad imaginaria j se define como la solución positiva de la ecuación j2 + 1 = 0. Es decir, De la definición se tiene que, j2 = –1 j3 = j j2 = –j j4 = j2 j2= (–1) (–1) = 1 etcétera

Un número imaginario puro es el producto de un número real y la unidad imaginaria. Por ejemplo: j5, – j3.5, j7 x 10–5. Un número complejo es la suma de un número imaginario puro y un número real. En general será de la forma A = a + jb. Utilizaremos el tipo negrita para los números complejos, al escribirlos a mano se usará una barra sobre la letra. En el número A = a + jb, a es la parte real de A y b es la parte imaginaria de A. Estas se designan por a = Re[A] y b = Im[A].

Un número real es un número complejo cuya parte imaginaria es cero. Los número complejos se pueden representar en el plano utilizando el eje horizontal para la parte real y el vertical para la parte imaginaria. A esta representación se le llama diagrama de Argand. En la figura se representan los números complejos A = 3 – j2 y B = –4 + j3.

Definición de igualdad Dos número complejos son iguales si y solo si las partes reales son iguales y las partes imaginarias son iguales. Es decir, Si A = a + jb y B= c + jd A = B implica a = c y b = d

Operaciones con complejos Suma: (a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d)   Resta: (a + jb) – (c + jd) = (a – c) + j(b – d) Multiplicación: (a + jb)(c + jd) = (ac – bd) + j(bc + ad)

El conjugado de un número complejo A = a + jb se define como A El conjugado de un número complejo A = a + jb se define como A* = a – jb. Con esta definición podemos calcular el cociente de dos complejos A = a + jb y B= c + jd como A/B = (AB*)/(BB*) División: (a + jb)/(c + jd) = ((ac + bd) + j(bc – ad))/(c2 + d2)

Tarea #1 Sean A = –4 + j5, B = 3 – j2, C = –6 – j5; determine a) C – B b) –3B* +5C c) j5C2(A + B)* d) B Re[A] + A Re[B] e) (A + B)/(C – B)

Identidad de Euler Las funciones sen q, cos q y ez , se pueden desarrollar en series de potencias como: haciendo z = jq, se obtiene

comparando con las series para seno y coseno se concluye que e jq = cos q + jsen q es fácil mostrar que cos q = ½(e jq + e– jq ) sen q = -j ½(e jq – e– jq )

Forma exponencial Multiplicamos e jq = cos q + jsen q por C Ce jq = Ccos q + jCsen q La segunda parte de la igualdad representa un número complejo A = a + jb. Es fácil ver que a2 + b2 = C2 o También b/a = tan q o q = tan–1b/a También A = Ce jq

Tarea #2 Exprese los siguientes números complejos en forma exponencial utilizando un ángulo en el intervalo de –180° a 180° a) –18.5 – j26 b) 17.9 – j12.2 c) –21.6 + j31.2 Exprese cada uno de los números complejos en forma rectangular a) 61.2e–j111.1° b) –36.2ej108° c) 5e–j2.5 ojo el ángulo está en radianes

La forma polar La forma compleja A = Ce jq se puede abreviar como A= Cq. Por ejemplo el número A = –2 + j5 puede escribirse como 5.39111.8º. La multiplicación y división de complejos es más simple utilizando la forma polar. Sea A = Ce jq = Cq y B = De jf = Df, entonces (A)(B) = (Cq)(Df) = CD q+f (A)/(B) = (Cq)/(Df) = C/D q-f

Relación entre las 3 formas La siguiente fórmula resume las tres formas de complejos

Tarea #3 Exprese el resultados de cada una de esta manipulaciones de números complejos en forma polar, utilizando seis cifras significativas, solo por disfrutar del cálculo: a) (3.4425°*8.04–46°)/4.556° b) [2 – (1–41°)]/(0.341°) c) 50/(2.8783.6°+5.1663.2°) d) 418° – 6–75° + 528°

Comandos de Matlab para complejos complex(a,b) – regresa el complejo a +jb imag(c) – regresa Im[c] conj(c) – regresa c* angle(c) – regresa el angulo de fase abs(c) – regresa la magnitud de c real(c) – regresa Re[c] isreal(c) – regresa 1 si la parte imaginaria de c es 0

Ejemplos Resultados -9.0000 - 3.0000i -39.0000 -31.0000i Tarea #1 A = 4 + 5j, B = 3 – 2j, C = -6 – 5j; % a) C - B C - B % b) -3B* +5C -3*conj(B) + 5 * C % c) j5C2(A + B)* j^5*C^2*conj(A + B) % d) B Re[A] + A Re[B] B*real(A) + A*real(B) % e) (A + B)/(C - B) (A + B)/(C - B) Resultados -9.0000 - 3.0000i -39.0000 -31.0000i -3.8700e+002 +2.5700e+002i 24.0000 + 7.0000i -0.8000 - 0.0667i

Ejemplos A = -18.5 - 26j abs(A) angle(A)*180/pi A = 17.9 - 12.2j 31.9100 -125.4333 21.6622 -34.2769 37.9473 124.6952 -22.0318 -57.0968i 11.1864 -34.4282i -4.0057 + 2.9924i A = -18.5 - 26j abs(A) angle(A)*180/pi A = 17.9 - 12.2j A = -21.6 + 31.2j complex(61.2*cos(-111.1*pi/180),61.2*sin(-111.1*pi/180)) complex(-36.2*cos(108*pi/180),-36.2*sin(108*pi/180)) complex(5*cos(2.5),5*sin(2.5))

Tarea #4 1. Resuelva los siguientes problemas en Matlab a) Z + 2j = 3/Z b) Z = 2*ln(2 – 3j) c) sen Z = 3 d) tan Z = 2j 2. Escriba una función en Matlab que acepte un complejo y lo despliegue en forma polar. 3. Utilice la función que definió para mostrar los resultados del problema 1 en forma polar.