Matemáticas Aplicadas CS I DISTRIBUCIÓN NORMAL Tema 15 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I DISTRIBUCIÓN NORMAL Tema 15.2 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I DISTRIBUCIÓN NORMAL Uno de los patrones que más aparece en la práctica cuando se estudian variables aleatorias continuas es la distribución normal. Esta distribución permite describir fenómenos estadísticos donde los valores más usuales se agrupan en torno a uno central y los valores extremos son escasos. Ejemplos de distribución normal son: Aceptación de una norma, gusto por las costumbres, consumo de un bien, impacto de un producto, coeficiente intelectual, velocidad de cálculo, estatura de una persona, peso de un animal adulto, calibre de unos guisantes, errores de medidas, etc. Fue De Moivre (1733) quien investigó por primera vez la distribución normal. Pero no fue hasta 1809 cuando Gauss formuló la expresión analítica y la gráfica de la función de densidad, al estudiar los errores en las medidas @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Variable aleatoria en una distribución normal Una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ y se designa por N(μ , σ) si se cumplen las siguientes condiciones: 1.- La variable puede tomar cualquier valor real. 2.- La función de densidad o ecuación matemática es: 2 1 x – μ – --- -------- 1 2 σ f(x) = ---------------- e σ. √2.π La gráfica de la función de densidad es una curva llamada campana de Gauss. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Características de la Función de densidad, N(μ, σ) Llamada campana de Gauss por su forma, presenta los siguientes rasgos: Dominio: Dom f(x) = R. Imagen: Img f(x) = (0 , 1/ σ.√2π] Es simétrica respecto a la recta x = μ Máximo: Coincide con la media, la moda y la mediana. Máx = ( μ , 1/ σ√2π) Puntos de inflexión: En x = (μ – σ) y x = (μ + σ) Asíntota horizontal: y = 0 El área limitada entre los puntos ( μ - σ) y ( μ +σ) es 0,6826. El área limitada entre los puntos ( μ - 2σ) y ( μ +2σ) es 0,9544. El área limitada entre los puntos ( μ - 3σ) y ( μ +3σ) es prácticamente la unidad a efectos prácticos. Y Max 0 μ – σ μ μ + σ X @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Ejemplos gráficos de N(μ, σ) N(μ, σ) = N(0 , 1,25) N(μ, σ) = N(0, 2’5) N(μ, σ) = N(0, 3’25) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 X Como se aprecia, cuanto más altura tengan menos desviación típica presentan, con independencia del valor de la media, para que la superficie a abarcar sea la unidad. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Comparativa: A igual altura la misma desviación típica. N(μ, σ) = N(5 , 1) , N(μ, σ) = N(7 , 1) y N(μ, σ) = N(9 , 1) 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 xi @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Propiedades de la Media y la Desviación típica Si X es una distribución normal de media μ y desviación típica σ, entonces la variable y = m.x + n sigue también una distribución normal con media μ’ = m. μ + n y desviación típica σ’ = |m|.σ Ejemplo La variable X mide el tiempo en minutos que un corredor tarda en dar una vuelta a un circuito y sigue una distribución normal N(25, 4). Si la variable Y expresa lo que tardaría en dar dos vueltas con 10 minutos de descanso entre una y otra, es decir Y = 2.X + 10. ¿Cuál sería entonces la distribución de Y? Al ser Y = m.X + n sigue también una distribución normal. La nueva media, la de Y, será: μ’ = 2. μ + n = 2.25 + 10 = 60 La nueva desviación típica será: σ’ = |m|.σ = |2|.4 = 8 La nueva distribución normal será: N(60, 8) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Distribución normal estándar De las infinitas distribuciones N(μ , σ) tiene especial interés la distribución N(0, 1) , aquella que presenta por media el valor μ = 0 y por desviación típica el valor σ = 1. La función de densidad o ecuación matemática es: x2 – --- 1 2 f(x) = -------- e √2.π Como se puede apreciar es mucho más sencilla que la de N(μ , σ), lo que presenta la ventaja de poder realizarse los cálculos más fácilmente. Aún así no es nada fácil calcular áreas (probabilidades) con esta función de densidad. Para facilitar el trabajo existen Tablas que nos proporcionan directamente el valor de estas áreas para el caso de μ = 0, σ = 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Características de N(0, 1) La normal estándar N(0, 1) presenta los siguientes rasgos: Dominio: Dom f(x) = R. Imagen: Img f(x) = (0 , 0’4] Es simétrica respecto a la recta x = 0 Máximo: Coincide con la media, la moda y la mediana. Máx = ( 0, 0’4) Puntos de inflexión: En x = (– 1) y x = (+ 1) Asíntota horizontal: y = 0 El área limitada entre x = – 1 y x = 1 es 0,6826. El área limitada entre x = – 2 y x = 2 es 0,9544. El área limitada entre x = – 3 y x = 3 es prácticamente la unidad. En las Tablas elaboradas suelen venir áreas entre x = – 4 y x = 4 Y Max (0, 0’4) – 1 0 + 1 X @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I