A L A1 L1 ESCALAMIENTO GEOMÉTRICO 1 Empecemos con un cubo: Imaginemos un cubo de lado L. Desde primaria sabemos que el área de cada una de las seis caras es A = L2, por lo que la superficie total es de 6L2. También sabemos que el volumen del cubo es V = L3. También es fácil ver que el perímetro de cada cara es P = 4L, y que la suma de la longitud de todas las aristas es 12L. L A Ahora partamos el cubo: Ahora imaginemos que partimos el cubo en ocho partes iguales haciendo tres cortes perpendiculares entre sí. Cada uno de los ocho cubitos resultantes tendrá una longitud L1 = L/2, una superficie total de 6A1 = 6L12 = 6(L/2)2 = (3/2)L2 y un volumen de V1 = L13 = (L/2)3 = L3/8. L1 A1 Preguntas sobre los ocho cubitos: ¿Cuál es el volumen total de los ocho cubitos? Lógicamente, el volumen total de los ocho cubitos tiene que ser igual al volumen del cubo original. Esta obviedad se puede demostrar si vemos que el volumen de los ocho cubitos es igual a 8V1 = 8L3/8 = L3 = V. ¿Cuál es el área total de los ocho cubitos? La superficie total de los ocho cubitos es 8x6A1 = 48L12 = 48(L/2)2 = 12L2. Sigamos partiendo cubos Si continuamos el proceso y a cada cubito lo partimos en ocho cubititos de lado L2 = L1/2 = L/4, cada uno de los cubititos tendrá una superficie total de 6A2 = 6L22 = 6(L/4)2 = (3/8)L2, y un volumen de V2 = L23 = (L/4)3 = L3/64. El volumen total de los 64 cubititos es, lógicamente, igual al del cubo original. Su superficie total es 64x(3/8)L2 = 24L2. H. T. Arita 2005

Si continuamos el proceso: 2 Si continuamos el proceso: Si seguimos partiendo los cubos en ocho cubos más pequeños cada vez, podemos construir una tabla de áreas y volúmenes: Lado Área de una cara Superficie total de cada cubo Superficie total de todos los cubos Volumen de cada cubo Volumen total de todos los cubos L L2 6L2 L3 L/2 L2/4 (3/2)L2 12L2 L3/8 L/4 L2/16 (3/8)L2 24L2 L3/64 L/8 L2/64 (3/32)L2 48L2 L3/512 L/16 L2/256 (3/128)L2 96L2 L3/4096 Algunas gráficas: Para explorar las relaciones entre longitud, área y volumen, hagamos algunas gráficas relacionando estas variables. En todos los casos, cada punto representa una escala (o más bien, en este caso, un tamaño de cubo). Supongamos que el cubo original mide L = 1,000 mm. Una gráfica del área de cada cara vs. la longitud del lado, nos da una gráfica como la de la derecha. La ecuación de la función es Área = (Lado)2 y la R2 es exactamente de 1.0 (son datos exactos derivados matemáticamente, no en forma empírica). En escala logarítmica, esta relación se vuelve lineal. La ecuación se puede derivar muy fácilmente: A = L2. por tanto, log(A) = 2 log(L). Entonces la gráfica log-log nos debe dar una recta con pendiente = 2. Para el volumen de cada cubo, el razonamiento es idéntico, y la gráfica debe dar una recta con pendiente = 3. log(V) = 3 log(L) log(A) = 2 log(L) H. T. Arita 2005

log(At) = 2 log(L) + log(6) 3 Ahora pongamos en una sola gráfica dos valores de área: el área de una cara de los cubos de diferentes tamaños, dada por la fórmula A = L2, y la superficie total de los cubos, dada por la fórmula At = 6A = 6L2. La primera, usando logaritmos, nos da como ya vimos que log(A) = 2 log(L); la segunda implica que log(At) = 2 log(L) + log(6). En una gráfica log-log, las dos líneas deben ser paralelas (por tener la misma pendiente, que en este caso es 2), pero la línea de At debe estar por arriba de la de A. De hecho, para cada par de puntos, la línea de At estará a una distancia igual a log(6) por arriba de la de A. log(At) = 2 log(L) + log(6) log(A) = 2 log(L) ¿Qué nos enseñan estos ejemplos? Varias cosas: Una función potencia (vgr., y = 2x3) produce una gráfica curva en escala natural. Una transformación logarítmica “rectifica” la relación. En el ejemplo anterior, y = 2x3 implica log(y) = 3log(x) + log(2). En una gráfica log-log de una función potencia, la pendiente es igual a la potencia a la que está elevada la variable independiente. La ordenada al origen es igual a log(constante que multiplica a la variable independiente). Si dos funciones son del mismo grado (el exponente de la variable independiente es el mismo), sus gráficas en escala log-log serán paralelas, y su posición relativa (su “altura”) dependerá del valor de la constante que multiplica a la variable independiente. H. T. Arita 2005

Escalamiento de cocientes 4 Escalamiento de cocientes Las relaciones anteriores nos explican porqué un bloque de hielo dura mucho más que la misma cantidad de hielo en cubitos: el volumen es el mismo, pero el área expuesta es muchísimo mayor en los cubitos que en el bloque completo. De hecho, podemos obtener una regla general: El volumen de un cubo es V = L3, y la superficie total expuesta es At = 6L2. Por tanto, el cociente Área/Volumen, o qué tanta superficie está expuesta en relación con la cantidad total de materia, viene dado por: At / V = 6L2 / L3 = 6/L Esta ecuación nos dice que el cociente Área / Volumen decrece con el tamaño (medido como la longitud del cubo). En otras palabras, cubos más grandes tendrán proporcionalmente menos área total por unidad de volumen que cubos más pequeños. Es fácil ver que la regla aplica para otros cuerpos geométricos regulares. Por ejemplo, para esferas de radio R, la relación sería: At / V = 4pR2 / (4/3 pR3) = 3/R = 6/D, si D es el diámetro de las esferas. Esta es la teoría atrás de la llamada regla de Bergman, que dice que dentro de una especie los organismos tienden a ser más grandes en latitudes más altas. Se supone que los organismos más grandes tendrán menor superficie expuesta por unidad de volumen, por lo que perderán menos calor. Por tanto, los organismos más grandes serían más aptos para subsistir en climas más fríos. H. T. Arita 2005

Longitud de las aristas 5 La función lineal Ya vimos que para cubos de diferentes tamaños, la longitud total de las aristas está dada por: Ltot = 12 L, donde L es la longitud de una de las aristas, es decir, el lado del cubo. Esta relación tan sencilla es lineal, pues al dibujar una gráfica de la longitud total en función del lado se obtiene una línea recta con pendiente m = 12 y ordenada al origen b = 0. m = 72 / 6 = 12 Longitud de las aristas Dy = 96 – 24 = 72 Dx = 8 – 2 = 6 Lado del cubo Para corroborar esa afirmación, calculemos la pendiente a partir de la gráfica de arriba. Tomando arbitrariamente dos puntos de la recta (2, 24) y (8, 72), calculamos la pendiente en función de los incrementos en x y y: La ordenada al origen es 0, ya que la línea cruza el punto (0, 0) de la gráfica. Una pendiente m = 12 implica que un incremento en una unidad en x implica un incremento en 12 unidades en la variable y. H. T. Arita 2005

b y x 6 Escalamiento en una esfera Imaginemos una célula perfectamente esférica. Al crecer la célula (aumentando su tamaño lineal, o sea, su radio o diámetro), el volumen de la célula y la superficie expuesta crecen también, pero siguiendo funciones diferentes. De hecho, las relaciones básicas son: donde P es el perímetro del círculo máximo de la esfera, r es el radio, A es la superficie total de la esfera y V su volumen. La función potencia La función potencia tiene la forma general: Esta función puede aplicarse tanto a relaciones lineales (b = 1), como curvilíneas (b < 1 o b > 1). y b x H. T. Arita 2005

7 En escala logarítmica todas las funciones anteriores se rectifican. La pendiente en cada caso es el valor de b. Log (Y) Log (X) Ahora veamos qué pasa con los parámetros de nuestra célula esférica. En escala normal, se ve claramente la diferencia de incremento en perímetro (proporcional al radio), área (proporcional al radio al cuadrado) y volumen (proporcional al radio al cubo): Radio H. T. Arita 2005

8 En escala logarítmica las funciones se rectifican. Las pendientes corresponden a los valores del exponente del radio (1 para el perímetro, 2 para el área, 3 para el volumen). Para células pequeñas, el perímetro tiene un valor más alto que el área y el volumen, pero al aumentar el tamaño, rápidamente se incrementan estos dos últimos parámetros. (Claro, la comparación directa no es válida, porque las unidades son diferentes). P, A, V Radio H. T. Arita 2005