Proyecto ESTALMAT Andalucía 8 de octubre de 2005 Un juego en el que se gana siempre y los puentes de una ciudad famosa

Proyecto ESTALMAT Andalucía 8 de octubre de 2005 Propongo un juego Problema: Dada una figura formada por puntos y por líneas entre estos puntos: ¿Cuándo se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel, sin pintar más de una vez cada línea y sin atravesar ninguna de las líneas?

Proyecto ESTALMAT Andalucía 8 de octubre de 2005 ¿Se puede dibujar esta figura en las condiciones pedidas?

Proyecto ESTALMAT Andalucía 8 de octubre de 2005 ¿Y ésta?

Proyecto ESTALMAT Andalucía 8 de octubre de 2005 Königsberg = Kaliningrado

Proyecto ESTALMAT Andalucía 8 de octubre de 2005 Fundada en 1255 Formó parte de los Imperios Prusiano y Alemán Desde 1946 formó parte de la U.R.S.S. Cambió de nombre en 1947 Immanuel Kant Gustav R. Kirchhoff David Hilbert Algo de historia

Proyecto ESTALMAT Andalucía 8 de octubre de 2005 “¿Es posible recorrer todas las zonas de la ciudad, atravesando todos los puentes una y sólo una vez cada uno de ellos?” El problema de los puentes de Königsberg

Proyecto ESTALMAT Andalucía 8 de octubre de 2005 “… Se me ha informado que, mientras unos negaban la posibilidad de hacerlo y otros lo dudaban, nadie sostenía que fuese posible realmente. El problema podría resolverse haciendo cuidadosamente una tabla de todos los recorridos posibles asegurándose así, por inspección, de cuál de todos ellos, si es que alguno hay, satisface lo requerido. Este método de solución, sin embargo, es demasiado tedioso y difícil a causa del gran número de combinaciones posibles… Por tanto, lo descarté y traté de buscar otro que mostrase solamente si se puede descubrir un camino que satisfaga la condición prescrita.” Leonhard Euler:

Proyecto ESTALMAT Andalucía 8 de octubre de 2005 Para cruzar cada zona de la ciudad hay que entrar por un puente y salir por otro distinto. El número de aristas (líneas = puentes) que sale de cada vértice (punto = zona de la ciudad) debe ser par La solución de Euler: 1736

Proyecto ESTALMAT Andalucía 8 de octubre de 2005 Conclusión: La ruta de Königsberg es imposible. ¿O sea?

Proyecto ESTALMAT Andalucía 8 de octubre de 2005 En resumen La figura se puede dibujar si de cada punto sale una cantidad par de segmentos. ¿Cuándo se puede dibujar una figura de puntos y segmentos sin levantar el lápiz del papel, sin pintar más de una vez cada segmento y sin atravesar ninguno de ellos?

Proyecto ESTALMAT Andalucía 8 de octubre de 2005 Problema de la vida real Modelización Modelo Matemático Solución del Modelo Solución del Problema real Nueva teoría adaptada al modelo Traducción al mundo real El trabajo de los matemáticos

Proyecto ESTALMAT Andalucía 8 de octubre de 2005 ¡MUCHAS GRACIAS!