RAZONES Y PROPORCIONES

¿Cómo se comparan dos cantidades numéricas? Si de dos niños uno tiene $12 y el otro $ 8, habrá dos maneras de comparar entre ellos su dinero.

Un niño le dice al otro : “tengo S/4 más que tú, lero lero …. A esta comparación que los niños han hecho restando sus cantidades le llamaremos : RAZÓN ARITMÉTICA

Si el otro le dijera :” Yo tengo 2/3 del dinero que tú tienes” A esta comparación que se ha obtenido al dividir las cantidades le llamaremos : RAZÓN GEOMÉTRICA

RESUMIENDO Razón: Es la comparación de dos cantidades . Existen dos tipos: Razón Aritmética : a – b = R.A Razón Geométrica: a/b = R.G

Razones Es una comparación entre dos cantidades, a y b. Expresiones: “8 de cada diez casos registrados son varones” se expresa como: 8:10 o 4:5 “128 onzas fluidos cuesta $3.84” se expresaría como: $3.84 $0.03 128onzas 1onza “8 yardas de papel cuesta $9.54”, el precio por yarda es: $9.54 $1.19 8yardas 1yarda

Razones y proporciones Cuando decimos “la razón entre el número a y el número b es...” estamos diciendo lo siguiente: “la división entre el número a y el número b es ...” O de otra forma: “a dividido por b es la razón entre a y b” La palabra razón entonces es sinónimo de división. Así de simple. ¿Porqué, entonces, usar razón en vez de división? Realicemos la siguiente división Esto es, dos divido por 3, o en nuestro nuevo lenguaje, la razón entre 2 y 3 es:

Razones y proporciones Pues bien, entonces la razón entre 2 y 3 es 0,66666. Calculemos ahora la razón entre 4 y 6, esto es No resulta complicado verificar que la “división” entre 4 y 6 tiene como resultado la misma razón entre 2 y 3 Por lo demás, De manera que, podemos decir que existe la “misma razón” entre 2 y 3 que entre 4 y 6.

Razones y proporciones Ahora daremos una explicación de porqué utilizar, en algunos casos, la parabra razón más que la palabra división Observe esta antena, compuesta por una barra vertical y una horizontal. La barra vertical tiene una longitud de tres metros, y la barra horizontal tiene una longitud de dos metros. De este modo la razón entre la longitud horizontal y la longitud vertical es de 2/3 2 metros 3 metros

Razones y proporciones Ahora construiremos una antena de longitud horizontal de 4 metros y de longitud vertical de 6 metros 6 metros 4 metros 3 metros 2 metros Esta nueva antena, más grande, tiene la misma razón entre la barra horizontal y la barra vertical que la antena más pequeña. De tal forma que, más que una división entre longitud vertical y longitud horizontal, la razón nos está indicando una forma de “construcción”, un cierto “patrón” de cómo construir antenas similares a la antena pequeña.

Razones y proporciones Entendiendo ahora la razón entre la cantidad a y la cantidad b como una medida de relación entre a y b, se tiene una poderosa herramienta de medición con muchas aplicaciones al entorno real Los demógrafos, que son los que estudian la evolución de las poblaciones establecen que la razón de natalidad anual es de Queriendo decir con esto de que por cada 1000 habitantes nacen al año 17 bebés. Entonces ¿por cada 2000 habitantes cúantos nacimientos ocurrirán durante el año? (recuerde la antena, en este caso la barra horizontal son los recien nacidos y la barra vertical los habitantes)

Razones y proporciones 2000 habitantes x recién nacidos 1000 habitantes 17 recién nacidos Ambas antenas, que representan esquematicamente a la población, deben estar en la misma razón, esto es Esto es, por cada 2000 habitantes nacerán 34 bebés anualmente.

Razones y proporciones La razón entre población y superficie se conoce, por los demógrafos, como densidad poblacional. Por ejemplo, se sabe que la población de la Segunda Región de Antofagasta es de 493984 personas, y también se sabe que la superficie de la Segunda Región es de 126000 kilómetros cuadrados. Por lo tanto, la razón entre población y superficie, esto es la densidad poblacional es de habitantes por kilómetro cuadrado ¡Cada un kilómetro cuadrado viven aproximadamente 4 personas!

Razones y proporciones Se dice en los organismos de salud que, en invierno, la razón de enfermedades bronquiales es que se enfermará un estudiante de cada tres Si la población estudiantil de la ciudad de Antofagasta es de 130000 estudiantes, ¿cuántos se enfermarán este invierno aproximadamente? razón = estudiantes enfermos número de estudiantes = ¡Aproximadamente 43333 estudiantes se enfermarán este invierno!

Razones y proporciones Si dos cantidades a y b están en la razón r, es decir r = a/b. Entonces si se tiene que otras dos cantidades, digamos c y d, están en la misma razón, es decir r = c/d, se dice que c y d están en la misma proporción que a y b. Suponga lo siguiente: se tiene la urna con 1 bolita blanca y tres rojas Se quiere mantener la misma proporción pero esta vez se desea que hayan 9 bolitas rojas, ¿cuántas bolitas blancas deben estar? bolitas blancas

Ejemplos de Razones La extensión territorial de Puerto Rico es de 3,515 millas cuadradas y su población aproximadamente es de 3,679,192. ¿Cuál es la densidad de población de Puerto Rico? 2. Los costos de producir un producto se dividen en costos fijos y costos variables. Supongamos que se ha determinado que la relación de costos fijos a costos variables es de 3 a 5. Si el total de costos de una línea de producción es de $40,000, ¿Cómo se distribuyen los costos? Solución

Soluciones 3,679,192 3515 1046.71180654338549075391180654339 La densidad es de aproximadamente 1047 habitantes por milla cuadrada. Primero se determina la razón de costos fijos al costo total (3/8) y costos variables a costo total (5/8). C. Fijos = 3 * $40.000 = $15.000 8 C. Variables = 5 * $40.000 = $25.000

PROPORCIÓN Si igualamos dos razones, por ejemplo: 10-4 = 6 – 2 ó 10-4 = 6 – 2 ó 12/8 = 9/6 Formaremos una : PROPORCIÓN

En ambos casos, se lee: A es a B como C es a D. Una proporción es una igualdad de dos razones equivalentes. En general una proporción se escribe: A:B=C:D ó A/B=C/D En ambos casos, se lee: A es a B como C es a D. Las proporciones pueden ser: Directa inversa Compuesta Proporciones

Proporciones Directas Dados cuatro números, se dice que forman o están en proporción directa si la relación del 1° número al 2° es igual a la relación entre el 3° y el 4°. En una proporción directa a mayor cantidad una variable, mayor cantidad la otra.

Ejemplo de proporción directa Un grupo de pintores lleva una cantidad de pintura (15 litros) para 10 cuadros aprox. ¿Cuántos litros de pintura tendrán que llevar si quieren pintar 14 cuadros? Solución

Solución Problema De Proporción Directa 15 10 = X 14 15 5 = = X 7 = 5X = 15 * 7 3 15 * 7 = X = 5 1 = 21 litros

Proporción Inversa o Indirecta En una proporción indirecta a mayor cantidad una variable, menor cantidad la otra. Ejemplo: A mayor número de fotocopiadoras, menor el número de tiempo que tomará fotocopiar un trabajo. Proporción inversa o indirecta: Si dos variables influyen en una situación determinada, se dirán inversamente proporcional, o formarán una proporción inversa si, lógicamente al aumento de una variable la otra disminuye.

Ejemplo de Proporción Inversa o Indirecta Un vehículo toma dos horas y media en recorrer una distancia a una velocidad promedio de 48 millas por hora. ¿cuánto tomará a una velocidad de 60 millas por hora en recorrer la misma distancia? Solución

Solución La proporción se estableces de la manera siguiente: 48 millas 2.5 horas 60 millas x horas La proporción inversa correspondiente se establece como: 48 x 60 2.5 Se resuelve y obtenemos x = 2 horas. Esto es, el avión tomará dos horas.

Proporciones Compuestas En los problemas en que intervienen tres o más variables, se establecen proporciones que se resuelven consecutivamente. Cada variable se relaciona separadamente con la incógnita.

Ejercicios de explicación: Seis cajas de conserva de 8 tarros cada una valen $72.000 ¿Cuánto valen 10 cajas de 12 tarros cada una? Establecemos las razones : 6 cajas 8 tarros $72.000 ; ; $ x 12 tarros 10 cajas 2. Resolvemos relacionando número de cajas y precio : 6 cajas $72.000 ; 10 cajas $ x