RAZÓN DE ÁREAS Y VOLÚMENES TEMA 11.4 RAZÓN DE ÁREAS Y VOLÚMENES @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Razón de las áreas Un triángulo es una figura, por lo que se aplica el criterio general de semejanza: Dos triángulos serán semejantes si tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales. Además, si dos triángulos son semejantes con razón de semejanza r, la razón de las áreas es r2 Áreas: 3.4 AABC = ------ = 6 2 6.8 AA’B’C’ = ----- = 24 AA’B’C’ 24 K = --------= ---- = 4 AABC 6 Vemos que k = r2 Pues 4 =22 C’=37º C=37º 10 cm 5 cm 4 cm 8 cm B=53º A=90º 3 cm B’=53º A’=90º 6 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Razón de volúmenes Un CUBO es un cuerpo formado por seis cuadrados. Dos cubos siempre son semejantes, pues lo son los cuadrados que lo forman. Si dos cuerpos son semejantes con razón de semejanza r, la razón de los volúmenes es r3 Volúmenes: r = 2/1 = 2 V1 = 1.1.1 = 1 V2 = 2.2.2 = 8 V2 8 K = ----- = --- = 8 V1 1 Vemos que k = r3 Pues 8 =23 a=1 cm a=2 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo 1 Un prisma recto presenta 3 m de largo, 4 m de ancho y 5 m de alto. Se duplica el tamaño de sus dimensiones ( 6 m, 8 m y 10 m respectivamente). ¿Cuánto ha aumentado el perímetro de la base?. ¿Cuánto ha aumentado el área de la base?. ¿Cuánto ha aumentado su volumen?. Perímetro antiguo: P = 3+3+4+4 = 14 m Perímetro nuevo: P’ = 6+6+8+8 = 28 m Vemos que r = 6/3 = 2 es igual que P’ / P = 28/14 = 2 Área base antigua: A = 3.4 = 12 m2 Área base nueva: A’ = 6.8 = 48 m2 Vemos que A’/A = 48/12 = 4 es igual que r2 = 22 = 4 Volumen prisma antiguo: V = 3.4.5 = 60 m3 Volumen prisma nuevo: V’ = 6.8.10 = 480 m3 Vemos que V’/V = 480/60 = 8 es igual que r3 = 23 = 8 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO 5 cm 5 cm Como se aprecia en la figura superior, al multiplicarse por 2 la base y la altura, al área ha quedado multiplicada por 4. De forma semejante el volumen ha quedado multiplicado por 8 3 cm 3 cm 4 cm 4 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo 2 Una pirámide regular de base cuadrada presenta un volumen de 100 cm3 y una altura de 12 cm. Hallar las dimensiones y el volumen de una pirámide semejante a la anterior y que presente una altura de 3 cm. El volumen de la pirámide es: V =Sb.h / 3 = l2.h / 3 Despejando el lado del cuadrado de la base: l2 = 3.V / h = 3.100 / 12 = 25  l = 5cm La razón entre las alturas es la razón de semejanza: r= 3 / 12 =1/ 4 =0,25 El nuevo lado de la base será: l´ = l.r = 5.0,25 = 1,25 cm El volumen de la pirámide semejante será: V =Sb.h / 3 = 1,252.3 / 3 = 1,5625 cm3 Comprobamos la razón entre volúmenes: r3 = V´/ V = 1,5625 / 100 = 0,015625 Veamos si esa razón es el cubo de r: r3 = 0,253 = 0,015625 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO