ANUALIDADES ORDINARIAS (VENCIDAS) Y ANTICIPADAS Una anualidad es una serie de pagos que cumple con las siguientes condiciones: 1. Todos los pagos son de igual valor. 2. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo. 3. a todos los pagos se les aplica la misma tasa de interés. 4. El número de pagos es igual al número de periodos.

ANUALIDAD ORDINARIA O VENCIDA es aquella en que los pagos se efectúan al final del periodo. ANUALIDAD ANTICIPADA es aquella en que los pagos se efectúan al principio del periodo.

EJEMPLOS: · Calcular el valor futuro y el valor presente de la siguiente anualidad ordinaria. $2.000 semestrales durante 8 ½ años al 8%, capitalizable semestralmente. M = 2.000 [(1 + 0, 04)17 -1] = 47.395,07 valor futuro 0,04 C = 2.000 [1 – (1+ 0, 04)-17] = 24.331,34 valor presente 0,04

Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, con pagos de$3.000 mensuales por mes anticipado, si la tasa de interés es del 12% convertible mensualmente. C = 3.000 [1 – (1+ 0,01)-180] (1+0.01) = 252.464,64 0,01

Problemas de Anualidades Vencidas Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ciertas ordinarias. 1. $2.000.000 semestrales durante 8 ½ años al 8%, capitalizable semestralmente. 2. $4.000.000 anuales durante 6 años al 7,3%, capitalizable anualmente. 3. $200.000 mensuales durante 3 años 4 meses, al 8% con capitalización mensual. 4. Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: $20.000.000 de contado; $1.000.000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un último pago de $2.500.000 un mes después de pagada la última mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9%con capitalización mensual. 5. ¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14.000.000 de cuota inicial; $1.600.000 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de $2.500.000, si se carga el 12% con capitalización mensual?

6. Una mina en explotación tiene una producción anual de $800’000 6. Una mina en explotación tiene una producción anual de $800’000.000 y se estima que se agotaráen 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento del dinero es del 8%. 7. En el ejercicio 6 Se estima que al agotarse la mina habrá activos recuperables por el valor de $150´000.000. Encontrar el valor presente, incluidas las utilidades, si estas representan el 25% de la producción. 8. En el momento de nacer su hija, un señor depositó $1.500.000 en una cuenta que abona el 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumento sus consignaciones a $3.000.000. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años. 9. Una persona deposita $1´000.000 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20 años.

Problemas de Anualidades Anticipadas 10. Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, con pagos de$3.00.000 mensuales por mes anticipado, si la tasa de interés es del 12% convertible mensualmente. 11. Una persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad: (a) $40´000.000 de contado; (b)$19.000.000 de contado y $5´000.000 semestrales, durante 2 ½ años (c) $20.000.000 portrimestre anticipado durante 3 años y un pago de $2´500.000, al finalizar el cuarto año. ¿Qué oferta debe escoger si la tasa de interés es del 8% anual? 12. ¿Cuál es el valor presente de una renta de $500.000 depositada a principio de cada mes, durante15 años en una cuenta de ahorros que gana el 9%, convertible mensualmente?

13. ¿Qué suma debe depositarse a principio de cada año, en un fondo que abona el 6% para proveerla sustitución de los equipos de una compañía cuyo costo es de $20.000.000 y con una vida útilde 5 años, si el valor de salvamento se estima en el 10% del costo? 14. Sustituir una serie de pagos de $800.000 al final de cada año, por el equivalente en pagos Mensuales anticipados, con un interés del 9% convertible mensualmente. 15. Un empleado consigna $300.000 al principio de cada mes en una cuenta de ahorros que paga el 8%, convertible mensualmente. ¿En cuánto tiempo logrará ahorrar $30.000.000?

Anualidades Diferidas Recuerda que las anualidades diferidas son aquéllas en las que el pago de la primera renta se pospone pordeterminado tiempo, o en las que se busca el monto de una anualidad en una fecha posterior al vencimiento de los pagos. Dada su naturaleza resulta poco relevante si se trata de una anualidad vencida o de una anualidad anticipada. Por lo tanto, en esta nota estudiaremos a las Anualidades, Simples, Ciertas, Vencidas y Diferidas así como a las Anualidades, Simples, Ciertas, Anticipadas y Diferidas.

Valor Actual La gráfica de tiempo y valor de una anualidad diferida que involucra a su valor actual es como sigue: La gráfica indica que los pagos inician cuatro periodos después de la fecha de contratación de la operación. Si desconocemos el importe de C primero tendríamos que obtener el valor actual de las seis rentas y después obtener el valor actual de dicha cantidad a la fecha cero.

Se puede demostrar que es irrelevante cómo considerar a los pagos, si como vencidos o como anticipados. Lo importante es saber de qué fecha sería el valor actual de la anualidad, según la consideren como vencida o anticipada, para determinar cuántos periodos restan para llegar a la fecha cero.

Si consideras pagos vencidos el valor actual correspondiente será de un periodo anterior al primer pago y, por lo tanto, el valor actual de la operación se encuentra a 1−k periodos del primer pago, donde k indica el número de periodos entre el inicio de la operación (fecha en la que se encuentra C) y el primer pago. Atendiendo a la gráfica el problema sería resuelto como sigue:

Por otro lado, si consideran pagos anticipados el valor actual de la anualidad será de la misma fecha en que se efectúa el primer pago, de manera que harían falta periodos para llegar a la fecha cero o de contratación de la operación. Algebraicamente tendríamos: Compara estas dos expresiones y asegúrate de entender que son iguales. Con excepción de los números empleados en este ejemplo ambas ecuaciones muestran la forma común para resolver casi cualquier problema de anualidades diferidas que involucre valor actual; simplemente se resuelve la ecuación para la variable desconocida

Monto Remítete a la gráfica anterior. Observa que si se te pidiera el monto de esa anualidad a la fecha de vencimiento de la operación se vuelve irrelevante que la anualidad sea diferida, ya que sólo deseamos saber cuánto valen esos seis pagos con determinada tasa de interés en la misma fecha en que se efectúa el último pago; en otras palabras, es un problema de anualidad vencida. Sin embargo, se podría presentar una situación como la que muestra la siguiente gráfica:

Supón que desconocemos M y se nos brinda determinada tasa de interés Supón que desconocemos M y se nos brinda determinada tasa de interés. Para resolver el problema tenemos primero que obtener el monto de la anualidad para, en un segundo paso, computar el valor del mismo tantos periodos después como nos lo solicite el caso. Una vez más no es importante por sí misma la forma en que se consideran los pagos, lo significativo es saber de qué fecha sería el monto obtenido en función de esa elección. Asumiendo pagos vencidos el monto de la anualidad sería de la misma fecha del último pago, y sólo haría falta llevar esa cantidad k periodos después para obtener el monto final deseado. En este caso k señala el número de periodos entre el último pago y la fecha en la que se solicita el monto.

La ecuación quedaría como sigue: Si asumimos pagos anticipados, el monto de dicha anualidad correspondería a un periodo posterior al último pago y, por lo tanto, restarían k-1 periodos para obtener el monto correcto. Algebraicamente:

Claramente las dos ecuaciones son iguales entre sí. Al igual que con las dos ecuaciones para valor actual, a partir de estas de monto podemos resolver para cualquier variable. Las distintas mecánicas ya las hemos estudiado en notas anteriores.