PROBABILIDAD. REGLA DE LAPLACE DÍA 56 * 1º BAD CS

Experimentos aleatorios SUCESOS ALEATORIOS Hay muchos fenómenos en los que, antes de que se produzcan, se puede predecir el resultado. Mientras que hay otros que dependen del azar y se les llama sucesos aleatorios. En éstos últimos por mucho que se repita el experimento y en las mismas condiciones, no se puede predecir el resultado. El conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama ESPACIO MUESTRAL y se designa por E. Ejemplos: Lanzamiento de una moneda al aire. Lanzamiento de un dado al aire. Extraer una carta de una baraja. Extraer una bola en un sorteo de lotería. Etc.

LEY DEL AZAR LEY DEL AZAR Aunque no se puede predecir el resultado de un suceso donde interviene el azar, por ejemplo al lanzar un dado al aire, si se repite la experiencia muchas veces, se observa que cada uno de los distintos resultados aparece aproximadamente el mismo número de veces. Las frecuencias absolutas y relativas tienden a igualarse. Veamos un ejemplo: Si lanzamos un dado (no trucado) al aire 6 veces, lo más seguro es que no obtengamos los seis resultados posibles. Si lo lanzamos 60 veces, es muy posible, casi seguro, obtener los seis resultados, aunque con distintas frecuencias relativas. Si lo lanzamos 6 millones de veces, es muy posible que cada resultado del 1 al 6 haya salido aproximadamente un millón de veces. Si seguimos lanzando el dado millones de veces más, la frecuencia de todas las modalidades se igualará, y tendrá un valor de: fr = 1/6 = 0,166

LEY DE LAPLACE LEY DE LAPLACE La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. casos favorables P(A) = ------------------------------------ casos posibles o totales Para que se pueda aplicar la fórmula de Laplace TODOS y cada uno de los sucesos elementales deben ser EQUIPROBABLES, tener la misma probabilidad de que sucedan. Ejemplo Lanzamiento de un dado al aire. Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  6 Casos favorables al suceso “Salir par” {2, 4, 6}  3 P(A) = P(de que nos resulte par) = 3 / 6 = 0,5

Axiomas IMPOSIBILIDAD Y CERTEZA Como el valor de las frecuencias relativas siempre está entre el 0 y el 1, el valor de la Probabilidad de un suceso será siempre: 0 ≤ P(A) ≤ 1 Cuando un suceso no se pueda dar nunca, se llama suceso imposible . P(Suceso imposible) = 0 Cuando un suceso se da siempre, se llama suceso seguro. P(Suceso seguro) = 1. Ejemplos: Sea A el suceso “Obtener un 7 en el lanzamiento de un dado normal” Como es un suceso imposible, entonces P(A) = 0 Sea A el suceso “Obtener un número entero en el lanzamiento de un dado normal” Como es un suceso seguro, entonces P(A) = 1

EXPERIENCIAS COMPUESTAS Son el resultado de combinar dos o más experiencias aleatorias simples. Ejemplos: Lanzar dos monedas al aire. Lanzar tres dados al aire. Extraer una bola de una urna y luego otra bola de otra urna. Extraer tres bolas a la vez de una misma urna. Pueden darse dos casos muy importantes: Extracciones CON REEMPLAZAMIENTO. Será cuando lo extraído se devuelva donde estaba tras mirar el resultado, antes de la siguiente extracción. Un caso particular, pero muy importante, es reemplazar el objeto extraído por otro de distinta modalidad (color, número, etc). Extracciones SIN REEMPLAZAMIENTO. Será cuando lo extraído NO se devuelva donde estaba tras mirar el resultado, antes de la siguiente extracción. Un caso particular, pero muy importante, es cuando se realizan todas las extracciones a la vez, en cuyo caso no podemos hablar de orden en los resultados.

SUCESOS COMPATIBLES Dos sucesos, A y B, se los llama sucesos compatibles cuando se pueden dar a la vez. Ejemplo: Sea A el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un 6” Sea B el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un número par” Ambos sucesos se pueden dar a la vez, luego son compatibles. Sea A el suceso “Al extraer una carta ésta sea un rey” Sea B el suceso “Al extraer una carta ésta sea de copas“ Ambos sucesos se pueden dar a la vez, pues hay un rey de copas, luego son compatibles.

SUCESOS INCOMPATIBLES Dos sucesos, A y B, se los llama sucesos incompatibles cuando no se pueden dar a la vez. Ejemplo: Sea A el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un 5” Sea B el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un número par” Ambos sucesos no se pueden dar a la vez, luego son incompatibles. Sea A el suceso “Al extraer una carta ésta sea un rey o un tres” Sea B el suceso “Al extraer una carta ésta sea un as o un dos“

SUCESOS CONTRARIOS Cuando en un experimento aleatorio sólo hay dos posibilidades o dos sucesos posibles, que se excluyen mutuamente, se los llama sucesos contrarios. En una moneda, lo contrario de resultar Cara es resultar Cruz. En un dado, lo contrario de resultar Par es resultar Impar. En un dado lo contrario de resultar un 5 es no resultar un 5. Todos los experimentos aleatorios los podemos expresar como espacio muestral de dos únicos sucesos: El que interesa y el contrario. _ _ Como P(A) + P( A ) = 1 ; P( A ) = 1 - P(A) Ejemplo: Al lanzar un dado al aire, que el resultado sea un 5 o que no sea un 5. P(5) = 1 / 6 = 0,1667 _ P(5) = 1 – 1/6 = 5 / 6 = 0,8333