PROBLEMAS DE PROGRESIONES TC 7 * ESPAD III PROBLEMAS DE PROGRESIONES

Problema_1 Un obrero debe trasportar una carretilla de arena desde un gran montón a cada uno de los 30 árboles situados en hilera al borde de un parque. Del montón de arena al primer árbol hay 10 metros y los árboles están separados entre sí por 5 metros. ¿Qué distancia total habrá recorrido desde que inicia el trabajo hasta que retorna al punto de partida tras el último viaje?. PREVIO: Dibujamos el plano de situación. Arena 10 m 5 m 5 m

RESOLUCIÓN: En el primer viaje recorre: a1 = 10+10 = 20 En el segundo viaje recorre: a2 = 10+5+5+10 = 30 En el tercer viaje recorre: a3 = 10+5+5+5+5+10 = 40 Está claro que es una PA, pues la diferencia es constante. Tenemos a1 = 20, d = 10 , n = 30 Lo que recorre el último viaje será: a30 = a1 + (30 – 1 ).10 = 20 + 29.10 = 20 + 290 = 300 m En total recorrerá: S = (a1 + a30 ) .(30/2) = (20+300).15 = 320 . 15 = 4.800 m En total recorre casi 5 km.

Problema_2 Mónica le dice a Carlos: “Tu me das 0,01 € un día, 0,02 € otro día, 0,04 € otro día, y así sucesivamente durante un mes. A cambio yo te doy 1 € un día, 2 € otro día, 3 € otro día, y así hasta un mes. ¿Aceptas?. “ Carlos enseguida aceptó, pues parecía muy evidente que a cambio de muy pocos euros se iba a llevar algunos cientos de euros. ¿Quíen crees que salió perdiendo?. RESOLUCIÓN: Lo que da Mónica a Carlos: ( an )= 1 , 2 , 3 , 4 , 5, … Es una PA, donde a1 = 1 , d = 1 y n = 30 Lo que da Carlos a Mónica: ( an )= 0,01 , 0,02 , 0,04 , 0,08, … Es una PG, donde a1 = 0,01 , r = 2 y n = 30

Para hallar la suma de todo que que le da Mónica a Carlos y viciversa necesitamos saber el valor del último término, lo que se dan mutuamente el último día. Lo que da Mónica a Carlos el último día: a30 = a1 + (n-1).d = 1 + (30 – 1).1 = 1 + 29 = 30 € Lo que da Carlos a Mónica el último día: n-1 30-1 a30 = a1 . r = 0,01. 2 = 5.368.709 € Veamos ahora la suma de ambos: Lo que da Mónica a Carlos en total: S = (a1 + a30 ). 15 = (1+30).15 = 31.15 = 465 € Lo que da Carlos a Mónica en total: S = (a1 - a30 . r ) / ( 1-r) = (0,01 – 5368709.2) / (1- 2) = 10.737.418 €

Problema_3 En un depósito de agua se produce una grieta que aumenta al paso de los días de modo que perdemos 5 litros el primer día, 10 el segundo día, 20 el tercer día, y así sucesivamente. Al mismo tiempo al depósito le llegan 100 litros el primer día, 200 litros el segundo día, 300 litros el tercer día, y así sucesivamente. Al cabo de 10 días, ¿habrá agua en el depósito, inicialmente vacío?. ¿Y a los 12 días?. RESOLUCIÓN: Lo que llega al depósito: ( an )= 100 , 200 , 300 , 400 , 500, … Es una PA, donde a1 = 100 , d = 100 y n = 10 ( días) Lo que pierde el depósito: ( an )= 5 , 10 , 20 , 40, 80, … Es una PG, donde a1 = 5 , r = 2 y n = 10 ( días)

Para hallar la suma de todo lo que llega y de todo lo que pierde, necesitamos saber el valor del último término, lo que llega y lo que pierde el último día. Lo que llega el último día: a10 = a1 + (n-1).d = 100 + (10 – 1).100 = 100 + 900 = 1.000 litros Lo que pierde el último día: n-1 10-1 a10 = a1 . r = 5. 2 = 5 . 512 = 2.560 litros Veamos ahora la suma de ambos: Lo que llega en total: S = (a1 + a10 ). 5 = (100+1000).5 = 1100 . 5 = 5.500 litros Lo que pierde en total: S = (a1 - a10 . r ) / ( 1-r) = (5 – 2560.2) / (1- 2) = 5.115 litros

A los 10 días tendremos agua, pues es mayor la cantidad suministrada que la perdida. Veamos al cabo de 12 días: Lo que llega el último día: a12 = a1 + (n-1).d = 100 + (12 – 1).100 = 100 + 1100 = 1.200 litros Lo que pierde el último día: n-1 12-1 a12 = a1 . r = 5. 2 = 5 . 2048 = 10.240 litros Veamos ahora la suma de ambos: Lo que llega en total: S = (a1 + a10 ). 5 = (100+1200).5 = 1300 . 5 = 6.500 litros Lo que pierde en total: S = (a1 - a12 . r ) / ( 1-r) = (5 – 10240.2) / (1- 2) = 20.475 litros

Problema_4 Al pagar una motocicleta, nos ofrecen la posibilidad de hacerlo en cómodos plazos mensuales (letras). El 1º mes pagamos 100 € y cada uno de los once meses restantes el 5% más que el mes anterior. ¿Qué tipo de progresión es?. ¿Qué pagaremos el último mes?. ¿Cuáles han sido los intereses si la motocicleta costaba 1200 €?. Resolución: a1 = 100 a2 = 100 + 5%(100) = 100 + 5 = 105 a3 = 105 + 5%(105) = 105 + 5,25 = 110,25 Vemos que no es una PA pues la diferencia no es constante. 105 – 100 <> 110,25 – 105 a2 = a1 r  r = a2 / a1 = 105 /100 = 1,05 a3 = a2 r  110,25 = 105.1,05  110,25 = 110,25 Vemos que es una PG de razón 1,05

… Resolución: El último mes habremos pagado por la letra: a12 = a1 . 1,0511 = 100 . 1,71 = 171 € En total habremos pagado por la motocicleta: S = a1 .(1 – rn)/ (1 – r) = 100 .(1 – 1,0512)/ (1 – 1,05) = = 100 ( 1 – 1,7958)/(– 0,05) = – 79,58 / (– 0,05) = 1592 € Intereses abonados: 1592 – 1200 = 392 €