DIFERENCIAS FINITAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO .Solución a las ecuaciones de maxwell. .Método numérico para resolver problemas que analíticamente serian muy complicados. .Macroscópicos geometrías complejas. .Ecuaciones de Maxwell en instantes de tiempo n

DIFERENCIAS FINITAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Ecuaciones de maxwell.

Ecuaciones básicas para aplicar FDTD RESOLVIENDO SUSTITUYENDO

Diferencia finita .Es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). . Se relaciona con las derivadas. derivada de una función

Diferencia finita Se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central. Anterior Posterior Central

Algoritmo de Yee Conjunto de ecuaciones diferencias finitas para resolver las ecuaciones de maxwell Una región tridimensional se divide en una grilla de celdas cubicas de coordenadas : Cada función se escriben en condición del espacio y el tiempo: Incrementos espaciales

Algoritmo de Yee Derivadas espaciales y temporales En donde la derivada espacial en cada instante n se actualiza la derivada temporal en n+1/2

Algoritmo de Yee Grilla para evaluar E y B Los componentes del campo E se hallan en la mitad de las aristas mientras que las componentes de H están en el centro de las caras

Algoritmo de Yee Ejemplo, : Obtenemos su correspondiente ecuación en diferencias finitas: se actualiza el campo E en cada instante de tiempo n y con la ecuación se actualiza el campo magnético B en cada instante de tiempo (n+½).

Nodo de grilla utilizado para hallar el campo B, plano Ez Ey puntos medios pertenecientes a la cara

Método de las diferencias finitas en el dominio del tiempo El método de las diferencias finitas en el dominio del tiempo (FDTD) es un algoritmo que permite resolver la versión diferencial de las ecuaciones de Maxwell por medio de una aproximación de diferencias finitas.

Ventajas del método Entre sus ventajas más destacadas se encuentra que, por ser un método temporal, permite obtener una respuesta de banda ancha en una sola ejecución del programa. Otra de las razones para usar FDTD es su escalabilidad, la cual hace posible mantener una complejidad computacional baja cuando el tamaño del problema crece. En los problemas de antenas es útil para hallar parámetros de estado estacionario como el patrón de radiación y la ganancia. Asimismo puede ser empleado para determinar parámetros de banda ancha, como los de dispersión.

Estabilidad El tamaño de la grilla debe ser tal que los campos electromagnéticos no cambien sustancialmente de un nodo a otro de la grilla La grilla debe ser una fracción de longitud de onda Criterios: Siendo c la velocidad de la onda, L una medida lineal del elemento como el ancho de la celda o su largo y At es el intervalo de tiempo resriccion

Desventajas del FDTD Este método, tiene los siguientes puntos en contra: -Ofrece una pobre representación de las fronteras curvadas, ya que la precisión de segundo orden se pierde por la discretización empleada. -No es adecuado para resolver los detalles más pequeños, ya que la discretización espacial empleada sugiere una aproximación por cubos, lo cual supone la pérdida de detalles como puntas y curvas1.

Funcionamiento esquemático