Métodos locales de interpolación: La motivación para el estudio de los métodos locales de interpolación radica en la dificultad de calcular el polinomio de interpolación para un número no pequeño de puntos. Además, cuanto mayor sea el número de puntos, es decir, cuanto más difícil resulte el cálculo del polinomio de interpolación, tanto más correcta será la aproximación obtenida mediante los métodos de interpolación locales. Los dos métodos locales de interpolación más sencillos son: - Interpolación por rectas, tomando los puntos de 2 en 2. - Interpolación por parábolas, tomando los puntos de 3 en 3.

Interpolación por rectas Polinomio de interpolación

Interpolación por rectas:

No están definidas las derivadas en los puntos x i ; sí, en cambio, en los puntos intermedios x i <x<x i+1, para los cuales la primera derivada es constante y las derivadas superiores se anulan: Aunque no están definidas las derivadas en los puntos x i ; sí que se pueden definir las derivadas por la derecha y por la izquierda que, en el caso, general, serán diferentes:

Fórmula para la integración con interpolación por rectas: Integración por trapecios: xixi = xixi =

Si todos los  x i son iguales:

Obtener la siguiente integral por el método de los trapecios con 4 cifras significativas correctas: Si tomamos h = 1 (3 puntos):

Si tomamos h = 1/2 (5 puntos):

Si tomamos h = 1/4 (9 puntos):

Si tomamos h = 1/8 (17 puntos): Si tomamos h = 1/16 (33 puntos): Si tomamos h = 1/32 (65 puntos):

Interpolación por parábolas: h h = x n +hx n -h =

El polinomio de interpolación que pasa por los puntos (x n-1, y n-1 ), (x n, y n ), (x n+1, y n+1 ) lo podríamos calcular sustituyendo dichos valores en la expresión general: Sin embargo resulta más sencillo tomar la siguiente expresión : y tener en cuenta que x n-1 = x n - h, y que x n+1 = x n + h :

Las primeras derivadas en los puntos intermedios x, x n-1 <x<x n+1 ahora no son constantes: Sí es constante la 2ª derivada y, por tanto, nulas todas las demás derivadas de orden superior:

Fórmula para la integración con interpolación por parábolas: Regla de Simpson : El valor de la integral de la parábola de interpolación desde x n -h hasta x n -h es: Si queremos integrar desde a ( = x 0 ) hasta b (=x n ): x 0, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, …, x n-2, x n-1, x n, (x 0, x 1, x 2 ), (x 2, x 3, x 4 ), …, (x n-2, x n-1, x n ) === ++…+=

Obtener la siguiente integral por el método de Simpson con 4 cifras significativas correctas: Si tomamos h = 1 (3 puntos)(1 intervalo):

Si tomamos h = 1/2 (5 puntos)(2 intervalos):

Si tomamos h = 1/3 (7 puntos)(3 intervalos):

Si tomamos h = 1/4 (9 puntos) (4 intervalos):

Calcular mediante los procedimientos de Simpson y de los trapecios (con 7 puntos en ambos casos) el valor de las siguientes integrales:

Calcular mediante los procedimientos de Simpson y de los trapecios (con 7 puntos en ambos casos) el valor de la siguiente integral: Si tomamos h = 1/2 (7 puntos): Por trapecios: ¡¡¡EN RADIANES!!!

Por Simpson:

Calcular mediante los procedimientos de Simpson y de los trapecios (con 7 puntos en ambos casos) el valor de la siguiente integral: Si tomamos h = 1/2 (7 puntos): Por trapecios:

Por Simpson:

Calcular mediante los procedimientos de Simpson y de los trapecios (con 7 puntos en ambos casos) el valor de la siguiente integral: Si tomamos h = 1/2 (7 puntos): Por trapecios:

Por Simpson: