DISTRIBUCION NORMAL GRUPO # 7 JUAN BANIGNO RATLIFF FRAY VALENTIN CLOTER GEOVANNI JAVIER ANDINO GUSTAVO TRAVANINO DOMINGO ARNOLDO MEJIA REINALDO INESTROZA

Función de densidad Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de parámetros μ y σ y se denota X~N(μ, σ) si su función de densidad está dada por: donde μ (miu) es la media y σ (sigma) es la desviación típica (σ2 es la varianza).

Se llama distribución normal "estándar" a aquélla en la que sus parámetros toman los valores μ = 0 y σ = 1 En este caso la función de densidad tiene la siguiente expresión:

El Teorema del Límite Central El Teorema del límite central asegura que la distribucion de muestreo de la media se aproxima a la normal al incrementarse el tamaño de la muestra. La importancia práctica del Teorema del límite central es que nos permite usar estadística de muestra para hacer inferencias con respecto a los parámetros de población, sin saber sobre la forma de la distribución de frecuencia de esa población mas que lo podamos obtener de la muestra. Una distribución binomial de parámetros n y p es aproximadamente normal para grandes valores de n, y p no demasiado cercano a 1 ó 0 (algunos libros recomiendan usar esta aproximación sólo si np y n(1 − p) son ambos, al menos, 5; en este caso se debería aplicar una corrección de continuidad). La normal aproximada tiene parámetros μ = np, σ2 = np(1 − p).

Aproximación normal a la distribución binomial 𝑃 𝑋≤𝑥 = 𝑘=0 ∞ 𝑏(𝑘;𝑛,𝑝) ≈𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑥+0.5 = 𝑃( 𝑍≤ 𝑥+0.5−𝑛𝑝 𝑛𝑝𝑞 )

PROBLEMA El catedrático requiere mantener en su clase de matemáticas un promedio de 69.2, está variable normalmente distribuida tiene una desviacion estandar de 13.4. Cual es la probabilidad de que las notas entre 50 y 58 contribuyan a mantener el promedio? Solucion: X=50 x = 58 Z=50-69.2/13.4 z = 58 – 69.2/13.4 Z = -1.43 z = -0.84

P(-1. 43 < z < -0. 84 ) A(-1. 43, – 0. 84) = a(-1. 43,0) – A(-0 P(-1.43 < z < -0.84 ) A(-1.43, – 0.84) = a(-1.43,0) – A(-0.84,0) = 0.4236 – 0.2996 =0.124 P(50 < x < 58) = 0.124 -1.43 -0.84 0

b) Cual es la probabilidad de que las notas mayores que 80 contribuyan a mantener el promedio? X > 80 x = 80 Entonces z = 80 – 69.2/13.4 =0.81 P(x > 80) = P(z > 0.81) A = (0.81, +∞)=𝐴 0, +∞ −𝐴 0,0.81 = 0.5−0.2910 = 0.791 P(z > 0.81) = 0.791 …………… 79.1%

CONCLUSIONES La distribución normal es la más usada en la probabilidad y la estadística, dado a que muchas poblaciones numéricas tienen distribuciones que se ajustan con precisión a una curva normal. El teorema central del límite nos permite aproximar la distribución binomial en una distribución normal